ForMatUS: Pruebas en Lean de P ∨ Q ⊢ Q ∨ P
He añadido a la lista Lógica con Lean el vídeo en el que se comentan 9 pruebas en Lean de la propiedad conmutativa de la disyunción usando los estilos declarativos, aplicativos, funcional y automático.
A continuación, se muestra el vídeo
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-- Pruebas de P ∨ Q ⊢ Q ∨ P -- ======================== import tactic variables (P Q R : Prop) -- ---------------------------------------------------- -- Ej. 1. (p. 11) Demostrar -- P ∨ Q ⊢ Q ∨ P -- ---------------------------------------------------- -- 1ª demostración example (h1 : P ∨ Q) : Q ∨ P := or.elim h1 ( assume h2 : P, show Q ∨ P, from or.inr h2 ) ( assume h3 : Q, show Q ∨ P, from or.inl h3 ) -- 2ª demostración example (h1 : P ∨ Q) : Q ∨ P := or.elim h1 ( λ h, or.inr h ) ( λ h, or.inl h ) -- 3ª demostración example (h1 : P ∨ Q) : Q ∨ P := or.elim h1 or.inr or.inl -- 4ª demostración example (h1 : P ∨ Q) : Q ∨ P := h1.elim or.inr or.inl -- 5ª demostración example (h1 : P ∨ Q) : Q ∨ P := or.rec or.inr or.inl h1 -- 6ª demostración example (h1 : P ∨ Q) : Q ∨ P := -- by library_search or.swap h1 -- 7ª demostración example (h1 : P ∨ Q) : Q ∨ P := begin cases h1 with h2 h3, { exact or.inr h2, }, { exact or.inl h3, }, end -- 7ª demostración example (P ∨ Q) : Q ∨ P := begin cases ‹P ∨ Q›, { exact or.inr ‹P›, }, { exact or.inl ‹Q›, }, end -- 8ª demostración example (h1 : P ∨ Q) : Q ∨ P := begin cases h1 with h2 h3, { right, exact h2, }, { left, exact h3, }, end -- 9ª demostración example (h1 : P ∨ Q) : Q ∨ P := -- by hint by tauto -- 10ª demostración example (h1 : P ∨ Q) : Q ∨ P := by finish -- ---------------------------------------------------- -- Ej. 2 (p. 12). Demostrar -- Q → R ⊢ P ∨ Q → P ∨ R -- ---------------------------------------------------- -- 1ª demostración example (h1 : Q → R) : P ∨ Q → P ∨ R := assume h2 : P ∨ Q, or.elim h2 ( assume h3 : P, show P ∨ R, from or.inl h3 ) ( assume h4 : Q, have h5 : R := h1 h4, show P ∨ R, from or.inr h5 ) -- 2ª demostración example (h1 : Q → R) : P ∨ Q → P ∨ R := assume h2 : P ∨ Q, or.elim h2 ( assume h3 : P, or.inl h3 ) ( assume h4 : Q, show P ∨ R, from or.inr (h1 h4) ) -- 3ª demostración example (h1 : Q → R) : P ∨ Q → P ∨ R := assume h2 : P ∨ Q, or.elim h2 ( assume h3 : P, or.inl h3 ) ( assume h4 : Q, or.inr (h1 h4) ) -- 4ª demostración example (h1 : Q → R) : P ∨ Q → P ∨ R := assume h2 : P ∨ Q, or.elim h2 ( λ h3, or.inl h3 ) ( λ h4, or.inr (h1 h4) ) -- 5ª demostración example (h1 : Q → R) : P ∨ Q → P ∨ R := assume h2 : P ∨ Q, or.elim h2 or.inl (λ h, or.inr (h1 h) ) -- 6ª demostración example (h1 : Q → R) : P ∨ Q → P ∨ R := λ h2, or.elim h2 or.inl (λ h, or.inr (h1 h)) -- 7ª demostración example (h1 : Q → R) : P ∨ Q → P ∨ R := λ h2, or.elim h2 or.inl (or.inr ∘ h1) -- 8ª demostración example (h1 : Q → R) : P ∨ Q → P ∨ R := λ h2, h2.elim or.inl (or.inr ∘ h1) -- 9ª demostración example (h1 : Q → R) : P ∨ Q → P ∨ R := -- by library_search or.imp_right h1 -- 10ª demostración example (h1 : Q → R) : P ∨ Q → P ∨ R := begin intro h2, cases h2 with h3 h4, { exact or.inl h3, }, { exact or.inr (h1 h4), }, end -- 11ª demostración example (h1 : Q → R) : P ∨ Q → P ∨ R := begin intro h2, cases h2 with h3 h4, { left, exact h3, }, { right, exact (h1 h4), }, end -- 12ª demostración example (h1 : Q → R) : P ∨ Q → P ∨ R := begin rintro (h3 | h4), { left, exact h3, }, { right, exact (h1 h4), }, end -- 13ª demostración example (h1 : Q → R) : P ∨ Q → P ∨ R := -- by hint by tauto -- 14ª demostración example (h1 : Q → R) : P ∨ Q → P ∨ R := by finish -- ---------------------------------------------------- -- Ej. 4 (p. 15). Demostrar -- ¬P ∨ Q ⊢ P → Q -- ---------------------------------------------------- -- 1ª demostración example (h1 : ¬P ∨ Q) : P → Q := assume h2 : P, or.elim h1 ( assume h3 : ¬P, have h4 : false, from h3 h2, show Q, from false.elim h4) ( assume h5 : Q, show Q, from h5) -- 2ª demostración example (h1 : ¬P ∨ Q) : P → Q := assume h2 : P, or.elim h1 ( assume h3 : ¬P, have h4 : false, from h3 h2, show Q, from false.elim h4) ( assume h5 : Q, h5) -- 3ª demostración example (h1 : ¬P ∨ Q) : P → Q := assume h2 : P, or.elim h1 ( assume h3 : ¬P, have h4 : false, from h3 h2, show Q, from false.elim h4) ( λ h5, h5) -- 4ª demostración example (h1 : ¬P ∨ Q) : P → Q := assume h2 : P, or.elim h1 ( assume h3 : ¬P, have h4 : false, from h3 h2, show Q, from false.elim h4) id -- 5ª demostración example (h1 : ¬P ∨ Q) : P → Q := assume h2 : P, or.elim h1 ( assume h3 : ¬P, show Q, from false.elim (h3 h2)) id -- 6ª demostración example (h1 : ¬P ∨ Q) : P → Q := assume h2 : P, or.elim h1 ( assume h3 : ¬P, false.elim (h3 h2)) id -- 7ª demostración example (h1 : ¬P ∨ Q) : P → Q := assume h2 : P, or.elim h1 ( λ h3, false.elim (h3 h2)) id -- 8ª demostración example (h1 : ¬P ∨ Q) : P → Q := λ h2, or.elim h1 (λ h3, false.elim (h3 h2)) id example (h1 : ¬P ∨ Q) : P → Q := λ h2, h1.elim (λ h3, false.elim (h3 h2)) id example (h1 : ¬P ∨ Q) : P → Q := λ h2, h1.elim (λ h3, (h3 h2).elim) id -- 9ª demostración example (h1 : ¬P ∨ Q) : P → Q := -- by library_search imp_iff_not_or.mpr h1 -- 10ª demostración example (h1 : ¬P ∨ Q) : P → Q := begin intro h2, cases h1 with h3 h4, { apply false.rec, exact h3 h2, }, { exact h4, }, end -- 11ª demostración example (h1 : ¬P ∨ Q) : P → Q := begin intro h2, cases h1 with h3 h4, { exact false.elim (h3 h2), }, { exact h4, }, end -- 12ª demostración example (h1 : ¬P ∨ Q) : P → Q := begin intro h2, cases h1 with h3 h4, { exfalso, exact h3 h2, }, { exact h4, }, end -- 13ª demostración example (h1 : ¬P ∨ Q) : P → Q := -- by hint by tauto -- 14ª demostración example (h1 : ¬P ∨ Q) : P → Q := by finish |