{"id":836,"date":"2014-12-19T08:33:21","date_gmt":"2014-12-19T06:33:21","guid":{"rendered":"http:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/?p=836"},"modified":"2016-05-01T20:46:28","modified_gmt":"2016-05-01T18:46:28","slug":"2015-como-raiz-cuadrada-de-la-suma-de-tres-cubos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/2015-como-raiz-cuadrada-de-la-suma-de-tres-cubos\/","title":{"rendered":"2015 como ra\u00edz cuadrada de la suma de tres cubos"},"content":{"rendered":"<p>Todos los a\u00f1os, en las proximidades del final de a\u00f1o suelen aparecer cuestiones con propiedades del n\u00famero del nuevo a\u00f1o. Una sobre el 2015 es la publicada el martes en la entrada <a href=\"http:\/\/bit.ly\/1uYJexg\">2015 como ra\u00edz de la suma de tres cubos<\/a> del blog <a href=\"http:\/\/bit.ly\/1uYJhZV\">N\u00fameros y algo m\u00e1s<\/a> en la que se pide calcular tres n\u00fameros tales que 2015 sea igual a la ra\u00edz cuadrada de la suma de dichos tres n\u00fameros.<\/p>\n<p>A partir de dicha entrada, se propone el siguiente problema: Definir la sucesi\u00f3n<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   raicesCuadradasDeSumasDe3Cubos :: [Integer]\n<\/pre>\n<p>cuyos elementos son los n\u00fameros que se pueden escribir como ra\u00edces cuadradas de sumas de tres cubos. Por ejemplo,<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   take 9 raicesCuadradasDeSumasDe3Cubos = [6,9,15,27,48,72,53,59,78]\n<\/pre>\n<p>El 6 est\u00e1 en la sucesi\u00f3n porque 1\u00b3+2\u00b3+3\u00b3 = 36 y la ra\u00edz cuadrada de36 es 6 y el 9 est\u00e1 porque 3\u00b3+3\u00b3+3\u00b3 = 81 y la ra\u00edz cuadrada de 81 es 9. Algunos n\u00fameros tienen varias descomposiones como ra\u00edz cuadrada de suma de tres cubos; por ejemplo, el 71 se puede escribir como la ra\u00edz cuadrada de la suma de los cubos de 6, 9 y 16 y tambi\u00e9n como la de 4, 4, y 17.<\/p>\n<p>A partir de la sucesi\u00f3n se plantean las siguientes cuestiones:<\/p>\n<ul>\n<li>\u00bfQu\u00e9 lugar ocupa el 2015 en la sucesi\u00f3n?<\/li>\n<li>\u00bfCu\u00e1l ser\u00e1 el pr\u00f3ximo a\u00f1o que se podr\u00e1 escribir como la ra\u00edz cuadrada de suma de tres cubos?<\/li>\n<li>\u00bfCu\u00e1les son las descomposiciones de 2015 como ra\u00edz cuadrada de suma de tres cubos?<\/li>\n<li>\u00bfCu\u00e1les son los a\u00f1os hasta el 2015 que se pueden escribir como ra\u00edz cuadrada de suma de tres cubos de m\u00e1s formas distintas?<\/li>\n<\/ul>\n<h4>Soluciones<\/h4>\n<pre lang=\"haskell\">\nimport Data.List (sort)\n\nraicesCuadradasDeSumasDe3Cubos :: [Integer]\nraicesCuadradasDeSumasDe3Cubos =\n    [n | n <- [1..], not (null (descomposiciones n))]\n\n-- (descomposiciones n) es la lista de ternas de n\u00fameros tales que n es la\n-- ra\u00edz cuadrada de la suma de los cubos de los tres n\u00fameros de la\n-- terna. Por ejemplo,\n--    descomposiciones  6  ==  [(1,2,3)]\n--    descomposiciones  9  ==  [(3,3,3)]\n--    descomposiciones 71  ==  [(6,9,16),(4,4,17)]\ndescomposiciones :: Integer -> [(Integer,Integer,Integer)]\ndescomposiciones n = \n    [(a,b,c) | c <- [1..floor ((fromIntegral (n*n))**(1\/3))],\n               b <- [1..c],\n               let d = n^2 - c^3 - b^3,\n               d > 0,\n               let a = round ((fromIntegral d)**(1\/3)),\n               a <= b,\n               a^3 == d]    \n\n-- El c\u00e1lculo de la posici\u00f3n de 2015 es\n--    ghci> length (takeWhile (<=2015) raicesCuadradasDeSumasDe3Cubos)\n--    343\n\n-- El c\u00e1lculo del pr\u00f3ximo a\u00f1o expresable como la ra\u00edzcuadrada de la suma\n-- de tres cubos es\n--    ghci> head (dropWhile (<=2015) raicesCuadradasDeSumasDe3Cubos)\n--    2022\n\n-- (masDescomponibles xs) es la lista de elementos de xs que se pueden\n-- escribir de m\u00e1s formas como ra\u00edz cuadrada de suma de tres cubos.\nmasDescomponibles :: [Integer] -> [Integer]\nmasDescomponibles xs =\n    [y | (x,y) <- takeWhile (\\p -> fst p == u) zs]\n    where zs = reverse (sort [(length (descomposiciones x),x) | x <- xs])\n          u  = fst (head zs)\n\n-- El c\u00e1lculo de los a\u00f1os hasta el 2015 con mayor n\u00famero de\n-- descomposiciones es\n--    ghci> masDescomponibles (takeWhile (<=2015) raicesCuadradasDeSumasDe3Cubos)\n--    [1728]\n<\/pre>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Todos los a\u00f1os, en las proximidades del final de a\u00f1o suelen aparecer cuestiones con propiedades del n\u00famero del nuevo a\u00f1o. Una sobre el 2015 es la publicada el martes en la entrada 2015 como ra\u00edz de la suma de tres cubos del blog N\u00fameros y algo m\u00e1s en la que se pide calcular tres n\u00fameros&#8230;<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_kad_post_transparent":"","_kad_post_title":"","_kad_post_layout":"","_kad_post_sidebar_id":"","_kad_post_content_style":"","_kad_post_vertical_padding":"","_kad_post_feature":"","_kad_post_feature_position":"","_kad_post_header":false,"_kad_post_footer":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"footnotes":"","_jetpack_memberships_contains_paid_content":false},"categories":[7],"tags":[8,59,282,183,80,71,181,141,11,32,184,14,34],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/836"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=836"}],"version-history":[{"count":7,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/836\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1385,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/836\/revisions\/1385"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=836"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=836"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=836"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}