{"id":8339,"date":"2023-11-19T06:00:08","date_gmt":"2023-11-19T04:00:08","guid":{"rendered":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/?p=8339"},"modified":"2024-05-17T18:43:34","modified_gmt":"2024-05-17T16:43:34","slug":"19-nov-23","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/19-nov-23\/","title":{"rendered":"M\u00e9todo de bisecci\u00f3n para calcular ra\u00edces de una funci\u00f3n"},"content":{"rendered":"\n<p>El m\u00e9todo de bisecci\u00f3n para calcular una ra\u00edz de una funci\u00f3n en el intervalo [a,b] se basa en el teorema de Bolzano:<\/p>\n<blockquote><p>\n  Si f(x) es una funci\u00f3n continua en el intervalo &#92;([a, b]&#92;), y si, adem\u00e1s, en los extremos del intervalo la funci\u00f3n &#92;(f&#92;) toma valores de signo opuesto &#92;((f(a)f(b) &lt; 0)&#92;), entonces existe al menos un valor &#92;(c&#92;) en &#92;((a, b)&#92;) para el que &#92;(f(c) = 0&#92;)\u00bb.\n<\/p><\/blockquote>\n<p>El m\u00e9todo para calcular una ra\u00edz de la funci\u00f3n &#92;(f&#92;) en el intervalo &#92;([a,b]&#92;) con un error menor que &#92;(e&#92;) consiste en tomar el punto medio del intervalo &#92;(c = &#92;frac{a+b}{2}&#92;) y considerar los siguientes casos:<\/p>\n<ul>\n<li>Si &#92;(|f(c)| &lt; e&#92;), hemos encontrado una aproximaci\u00f3n del punto que anula &#92;(f&#92;) en el intervalo con un error aceptable.<\/li>\n<li>Si &#92;(f(c)&#92;) tiene signo distinto de &#92;(f(a)&#92;), repetir el proceso en el intervalo &#92;([a,c]&#92;).<\/li>\n<li>Si no, repetir el proceso en el intervalo &#92;([c,b]&#92;).<\/li>\n<\/ul>\n<p>Definir la funci\u00f3n<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   biseccion :: (Double -> Double) -> Double -> Double -> Double -> Double\n<\/pre>\n<p>tal que <code>biseccion f a b e<\/code> es una aproximaci\u00f3n del punto del intervalo <code>[a,b]<\/code> en el que se anula la funci\u00f3n <code>f<\/code>, con un error menor que <code>e<\/code>, calculada mediante el m\u00e9todo de la bisecci\u00f3n. Por ejemplo,<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   biseccion (\\x -> x^2 - 3) 0 5 0.01             ==  1.7333984375\n   biseccion (\\x -> x^3 - x - 2) 0 4 0.01         ==  1.521484375\n   biseccion cos 0 2 0.01                         ==  1.5625\n   biseccion (\\x -> log (50-x) - 4) (-10) 3 0.01  ==  -5.125\n<\/pre>\n<p><!--more--><\/p>\n<p><b>Soluciones<\/b><\/p>\n<p>A continuaci\u00f3n se muestran las <a href=\"#haskell\">soluciones en Haskell<\/a> y las <a href=\"#python\">soluciones en Python<\/a>.<\/p>\n<p><a name=\"haskell\"><\/a><br \/>\n<b>Soluciones en Haskell<\/b><\/p>\n<pre lang=\"haskell\">\nmodule Metodo_de_biseccion_para_calcular_ceros_de_una_funcion where\n\nimport Test.Hspec (Spec, hspec, it, shouldBe)\n\n-- 1\u00aa soluci\u00f3n\n-- ===========\n\nbiseccion :: (Double -> Double) -> Double -> Double -> Double -> Double\nbiseccion f a b e\n  | abs (f c) < e = c\n  | f a * f c < 0 = biseccion f a c e\n  | otherwise     = biseccion f c b e\n  where c = (a+b)\/2\n\n-- 2\u00aa soluci\u00f3n\n-- ===========\n\nbiseccion2 :: (Double -> Double) -> Double -> Double -> Double -> Double\nbiseccion2 f a b e = aux a b\n  where aux a' b' | abs (f c) < e   = c\n                  | f a' * f c < 0  = aux a' c\n                  | otherwise       = aux c b'\n          where c = (a'+b')\/2\n\n-- Verificaci\u00f3n\n-- ============\n\nverifica :: IO ()\nverifica = hspec spec\n\nspec :: Spec\nspec = do\n  it \"e1\" $\n    biseccion (\\x -> x^2 - 3) 0 5 0.01             `shouldBe`  1.7333984375\n  it \"e2\" $\n    biseccion (\\x -> x^3 - x - 2) 0 4 0.01         `shouldBe`  1.521484375\n  it \"e3\" $\n    biseccion cos 0 2 0.01                         `shouldBe`  1.5625\n  it \"e4\" $\n    biseccion (\\x -> log (50-x) - 4) (-10) 3 0.01  `shouldBe`  -5.125\n  it \"e5\" $\n    biseccion2 (\\x -> x^2 - 3) 0 5 0.01             `shouldBe`  1.7333984375\n  it \"e6\" $\n    biseccion2 (\\x -> x^3 - x - 2) 0 4 0.01         `shouldBe`  1.521484375\n  it \"e7\" $\n    biseccion2 cos 0 2 0.01                         `shouldBe`  1.5625\n  it \"e8\" $\n    biseccion2 (\\x -> log (50-x) - 4) (-10) 3 0.01  `shouldBe`  -5.125\n\n-- La verificaci\u00f3n es\n--    \u03bb> verifica\n--\n--    e1\n--    e2\n--    e3\n--    e4\n--    e5\n--    e6\n--    e7\n--    e8\n--\n--    Finished in 0.0008 seconds\n--    8 examples, 0 failures\n<\/pre>\n<p><a name=\"python\"><\/a><br \/>\n<b>Soluciones en Python<\/b><\/p>\n<pre lang=\"python\">\nfrom math import cos, log\nfrom typing import Callable\n\n# 1\u00aa soluci\u00f3n\n# ===========\n\ndef biseccion(f: Callable[[float], float],\n              a: float,\n              b: float,\n              e: float) -> float:\n    c = (a+b)\/2\n    if abs(f(c)) < e:\n        return c\n    if f(a) * f(c) < 0:\n        return biseccion(f, a, c, e)\n    return biseccion(f, c, b, e)\n\n# 2\u00aa soluci\u00f3n\n# ===========\n\ndef biseccion2(f: Callable[[float], float],\n               a: float,\n               b: float,\n               e: float) -> float:\n    def aux(a1: float,  b1: float) -> float:\n        c = (a1+b1)\/2\n        if abs(f(c)) < e:\n            return c\n        if f(a1) * f(c) < 0:\n            return aux(a1, c)\n        return aux(c, b1)\n    return aux(a, b)\n\n# Verificaci\u00f3n\n# ============\n\ndef test_biseccion() -> None:\n    assert biseccion(lambda x : x**2 - 3, 0, 5, 0.01) == 1.7333984375\n    assert biseccion(lambda x : x**3 - x - 2, 0, 4, 0.01) == 1.521484375\n    assert biseccion(cos, 0, 2, 0.01) == 1.5625\n    assert biseccion(lambda x : log(50-x) - 4, -10, 3, 0.01) == -5.125\n    assert biseccion2(lambda x : x**2 - 3, 0, 5, 0.01) == 1.7333984375\n    assert biseccion2(lambda x : x**3 - x - 2, 0, 4, 0.01) == 1.521484375\n    assert biseccion2(cos, 0, 2, 0.01) == 1.5625\n    assert biseccion2(lambda x : log(50-x) - 4, -10, 3, 0.01) == -5.125\n    print(\"Verificado\")\n\n\n# La comprobaci\u00f3n es\n#    >>> test_biseccion()\n#    Verificado\n<\/pre>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>El m\u00e9todo de bisecci\u00f3n para calcular una ra\u00edz de una funci\u00f3n en el intervalo [a,b] se basa en el teorema de Bolzano: Si f(x) es una funci\u00f3n continua en el intervalo &#92;([a, b]&#92;), y si, adem\u00e1s, en los extremos del intervalo la funci\u00f3n &#92;(f&#92;) toma valores de signo opuesto &#92;((f(a)f(b) &lt; 0)&#92;), entonces existe al&#8230;<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_kad_post_transparent":"default","_kad_post_title":"default","_kad_post_layout":"default","_kad_post_sidebar_id":"","_kad_post_content_style":"default","_kad_post_vertical_padding":"default","_kad_post_feature":"","_kad_post_feature_position":"","_kad_post_header":false,"_kad_post_footer":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"footnotes":"","_jetpack_memberships_contains_paid_content":false},"categories":[581],"tags":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8339"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=8339"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8339\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":8572,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8339\/revisions\/8572"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=8339"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=8339"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=8339"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}