{"id":8324,"date":"2023-11-04T06:00:28","date_gmt":"2023-11-04T04:00:28","guid":{"rendered":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/?p=8324"},"modified":"2024-05-17T18:45:10","modified_gmt":"2024-05-17T16:45:10","slug":"04-nov-23","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/04-nov-23\/","title":{"rendered":"M\u00e9todo de Newton para calcular ra\u00edces"},"content":{"rendered":"\n<p>Los ceros de una funci\u00f3n pueden calcularse mediante el m\u00e9todo de Newton bas\u00e1ndose en las siguientes propiedades:<\/p>\n<ul>\n<li>Si &#92;(b&#92;) es una aproximaci\u00f3n para el punto cero de &#92;(f&#92;), entonces<br \/>\n&#92;[ b-&#92;frac{f(b)}{f'(b)} &#92;]<br \/>\ndonde &#92;(f&#8217;&#92;) es la derivada de &#92;(f&#92;), es una mejor aproximaci\u00f3n.<\/li>\n<li>el l\u00edmite de la sucesi\u00f3n &#92;(x_n&#92;) definida por<br \/>\n&#92;begin{align}<br \/>\n x_0     &amp;= 1 &#92;&#92;<br \/>\n x_{n+1} &amp;= x_n-&#92;frac{f(x_n)}{f'(x_n)}<br \/>\n&#92;end{align}<br \/>\nes un cero de &#92;(f&#92;).<\/li>\n<\/ul>\n<p>Definir la funci\u00f3n<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   puntoCero :: (Double -> Double) -> Double\n<\/pre>\n<p>tal que <code>puntoCero f<\/code> es un cero de la funci\u00f3n <code>f<\/code> calculado usando la propiedad anterior. Por ejemplo,<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   puntoCero cos  ==  1.5707963267949576\n<\/pre>\n<p><!--more--><\/p>\n<p><b>Soluciones<\/b><\/p>\n<p>A continuaci\u00f3n se muestran las <a href=\"#haskell\">soluciones en Haskell<\/a> y las <a href=\"#python\">soluciones en Python<\/a>.<\/p>\n<p><a name=\"haskell\"><\/a><br \/>\n<b>Soluciones en Haskell<\/b><\/p>\n<pre lang=\"haskell\">\nimport Test.Hspec (Spec, hspec, it, shouldBe)\n\n-- 1\u00aa soluci\u00f3n\n-- ===========\n\npuntoCero :: (Double -> Double) -> Double\npuntoCero f = puntoCeroAux f 1\n  where puntoCeroAux f' x | aceptable x = x\n                          | otherwise   = puntoCeroAux f' (mejora x)\n        aceptable b = abs (f b) < 0.00001\n        mejora b    = b - f b \/ derivada f b\n\n-- (derivada f x) es el valor de la derivada de la funci\u00f3n f en el punto\n-- x con aproximaci\u00f3n 0.0001. Por ejemplo,\n--    derivada sin pi == -0.9999999983354435\n--    derivada cos pi == 4.999999969612645e-5\nderivada :: (Double -> Double) -> Double -> Double\nderivada f x = (f (x+a) - f x)\/a\n  where a = 0.0001\n\n-- 2\u00aa soluci\u00f3n\n-- ===========\n\npuntoCero2 :: (Double -> Double) -> Double\npuntoCero2 f = until aceptable mejora 1\n  where aceptable b = abs (f b) < 0.00001\n        mejora b    = b - f b \/ derivada f b\n\n-- Verificaci\u00f3n\n-- ============\n\nverifica :: IO ()\nverifica = hspec spec\n\nspec :: Spec\nspec = do\n  it \"e1\" $\n    puntoCero cos `shouldBe` 1.5707963267949576\n  it \"e2\" $\n    puntoCero2 cos `shouldBe` 1.5707963267949576\n\n-- La verificaci\u00f3n es\n--    \u03bb> verifica\n--\n--    e1\n--    e2\n--\n--    Finished in 0.0002 seconds\n--    2 examples, 0 failures\n<\/pre>\n<p><a name=\"python\"><\/a><br \/>\n<b>Soluciones en Python<\/b><\/p>\n<pre lang=\"python\">\nfrom math import cos, pi, sin\nfrom typing import Callable\n\n# 1\u00aa soluci\u00f3n\n# ===========\n\n# derivada(f, x) es el valor de la derivada de la funci\u00f3n f en el punto\n# x con aproximaci\u00f3n 0.0001. Por ejemplo,\n#    derivada(sin, pi) == -0.9999999983354435\n#    derivada(cos, pi) == 4.999999969612645e-5\ndef derivada(f: Callable[[float], float], x: float) -> float:\n    a = 0.0001\n    return (f(x+a) - f(x)) \/ a\n\ndef puntoCero(f: Callable[[float], float]) -> float:\n    def aceptable(b: float) -> bool:\n        return abs(f(b)) < 0.00001\n    def mejora(b: float) -> float:\n        return b - f(b) \/ derivada(f, b)\n    def aux(g: Callable[[float], float], x: float) -> float:\n        if aceptable(x):\n            return x\n        return aux(g, mejora(x))\n    return aux(f, 1)\n\n# 2\u00aa soluci\u00f3n\n# ===========\n\ndef puntoCero2(f: Callable[[float], float]) -> float:\n    def aceptable(b: float) -> bool:\n        return abs(f(b)) < 0.00001\n    def mejora(b: float) -> float:\n        return b - f(b) \/ derivada(f, b)\n    y = 1.0\n    while not aceptable(y):\n        y = mejora(y)\n    return y\n\n# Verificaci\u00f3n\n# ============\n\ndef test_puntoCero () -> None:\n    assert puntoCero(cos) == 1.5707963267949576\n    assert puntoCero(cos) - pi\/2 == 6.106226635438361e-14\n    assert puntoCero(sin) == -5.8094940533562345e-15\n    assert puntoCero2(cos) == 1.5707963267949576\n    assert puntoCero2(cos) - pi\/2 == 6.106226635438361e-14\n    assert puntoCero2(sin) == -5.8094940533562345e-15\n    print(\"Verificado\")\n\n# La comprobaci\u00f3n es\n#    >>> test_puntoCero()\n#    Verificado\n<\/pre>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Los ceros de una funci\u00f3n pueden calcularse mediante el m\u00e9todo de Newton bas\u00e1ndose en las siguientes propiedades: Si &#92;(b&#92;) es una aproximaci\u00f3n para el punto cero de &#92;(f&#92;), entonces &#92;[ b-&#92;frac{f(b)}{f'(b)} &#92;] donde &#92;(f&#8217;&#92;) es la derivada de &#92;(f&#92;), es una mejor aproximaci\u00f3n. el l\u00edmite de la sucesi\u00f3n &#92;(x_n&#92;) definida por &#92;begin{align} x_0 &amp;= 1&#8230;<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_kad_post_transparent":"default","_kad_post_title":"default","_kad_post_layout":"default","_kad_post_sidebar_id":"","_kad_post_content_style":"default","_kad_post_vertical_padding":"default","_kad_post_feature":"","_kad_post_feature_position":"","_kad_post_header":false,"_kad_post_footer":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"footnotes":"","_jetpack_memberships_contains_paid_content":false},"categories":[581],"tags":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8324"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=8324"}],"version-history":[{"count":6,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8324\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":8575,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8324\/revisions\/8575"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=8324"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=8324"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=8324"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}