{"id":7081,"date":"2022-06-10T06:00:11","date_gmt":"2022-06-10T04:00:11","guid":{"rendered":"http:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/?p=7081"},"modified":"2022-06-07T08:22:23","modified_gmt":"2022-06-07T06:22:23","slug":"distancia-esperada-entre-dos-puntos-de-un-cuadrado-unitario","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/distancia-esperada-entre-dos-puntos-de-un-cuadrado-unitario\/","title":{"rendered":"Distancia esperada entre dos puntos de un cuadrado unitario"},"content":{"rendered":"<p>Definir, por simulaci\u00f3n, la funci\u00f3n<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   distanciaEsperada :: Int -> IO Double\n<\/pre>\n<p>tal que <code>(distanciaEsperada n)<\/code> es la distancia esperada entre <code>n<\/code> puntos del cuadrado unitario de v\u00e9rtices opuestos (0,0) y (1,1), elegidos aleatoriamente. Por ejemplo,<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   distanciaEsperada 10     ==  0.43903617921423593\n   distanciaEsperada 10     ==  0.6342350621260004\n   distanciaEsperada 100    ==  0.5180418995364429\n   distanciaEsperada 100    ==  0.5288261085653962\n   distanciaEsperada 1000   ==  0.5143804432569616\n   distanciaEsperada 10000  ==  0.5208360147922616\n<\/pre>\n<p>El valor exacto de la distancia esperada es<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   ve = (sqrt(2) + 2 + 5*log(1+sqrt(2)))\/15 = 0.5214054331647207\n<\/pre>\n<p>Definir la funci\u00f3n<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   graficaDistanciaEsperada :: [Int] -> IO ()\n<\/pre>\n<p>tal que <code>(graficaDistanciaEsperada ns)<\/code> dibuja las gr\u00e1ficas de los pares <code>(n, distanciaEsperada n)<\/code> para <code>n<\/code> en la lista creciente <code>ns<\/code> junto con la recta <code>y = ve<\/code>, donde <code>v<\/code>e es el valor exacto. Por ejemplo, <code>(graficaDistanciaEsperada [10,30..4000])<\/code> dibuja<br \/>\n<a href=\"https:\/\/i0.wp.com\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/Distancia_esperada_entre_dos_puntos.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/Distancia_esperada_entre_dos_puntos.png?resize=640%2C480\" alt=\"\" width=\"640\" height=\"480\" class=\"aligncenter size-full wp-image-5680\" srcset=\"https:\/\/i0.wp.com\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/Distancia_esperada_entre_dos_puntos.png?w=640&amp;ssl=1 640w, https:\/\/i0.wp.com\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/Distancia_esperada_entre_dos_puntos.png?resize=300%2C225&amp;ssl=1 300w\" sizes=\"(max-width: 640px) 100vw, 640px\" data-recalc-dims=\"1\" \/><\/a><\/p>\n<h4>Soluciones<\/h4>\n<pre lang=\"haskell\">\nimport Data.List     (genericLength)\nimport System.Random (newStdGen, randomRIO, randomRs)\nimport Control.Monad (replicateM)\nimport Graphics.Gnuplot.Simple\n\n-- 1\u00aa soluci\u00f3n\n-- ===========\n\n-- Un punto es un par de n\u00fameros reales.\ntype Punto = (Double, Double)\n\n-- (puntosDelCuadrado n) es una lista de n puntos del cuadrado\n-- unitario de v\u00e9rtices opuestos (0,0) y (1,1). Por ejemplo, \n--    \u03bb> puntosDelCuadrado 3\n--    [(0.6067427807212623,0.24785843546479303),\n--     (0.9579158098726746,8.047408846191773e-2),\n--     (0.856758357789639,0.9814972717003113)]\n--    \u03bb> puntosDelCuadrado 3\n--    [(1.9785720974027532e-2,0.6343219201012211),\n--     (0.21903717179861604,0.20947986189590784),\n--     (0.4739903340716357,1.2262474491489095e-2)]\npuntosDelCuadrado :: Int -> IO [Punto]\npuntosDelCuadrado n = do\n  gen <- newStdGen\n  let xs = randomRs (0,1) gen\n      (as, ys) = splitAt n xs\n      (bs, _)  = splitAt n ys\n  return (zip as bs)\n  \n-- (distancia p1 p2) es la distancia entre los puntos p1 y p2. Por\n-- ejemplo,\n--    distancia (0,0) (3,4)  ==  5.0\ndistancia :: Punto -> Punto -> Double\ndistancia (x1,y1) (x2,y2) = sqrt ((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)\n\n-- (distancias ps) es la lista de las distancias entre los elementos 1\u00ba\n-- y 2\u00ba, 3\u00ba y 4\u00ba, ... de ps. Por ejemplo,\n--    distancias [(0,0),(3,4),(1,1),(7,9)]  ==  [5.0,10.0]\ndistancias :: [Punto] -> [Double]\ndistancias []         = []\ndistancias (p1:p2:ps) = distancia p1 p2 : distancias ps\n\n-- (media xs) es la media aritm\u00e9tica de los elementos de xs. Por ejemplo,\n--    media [1,7,1]  ==  3.0\nmedia :: [Double] -> Double\nmedia xs =\n  sum xs \/ genericLength xs\n\n-- (distanciaEsperada n) es la distancia esperada entre n puntos\n-- aleatorios en el cuadrado unitario. Por ejemplo,\n--    \u03bb> distanciaEsperada 100\n--    0.4712858421448363\n--    \u03bb> distanciaEsperada 100\n--    0.4947745206856711\ndistanciaEsperada :: Int -> IO Double\ndistanciaEsperada n = do\n  ps <- puntosDelCuadrado (2*n)\n  return (media (distancias ps))\n\n-- 2\u00aa soluci\u00f3n\n-- ===========\n\ndistanciaEsperada2 :: Int -> IO Double\ndistanciaEsperada2 n = do\n  ps <- puntosDelCuadrado2 (2*n)\n  return (media (distancias ps))\n\n-- (puntosDelCuadrado2 n) es una lista de n puntos del cuadrado\n-- unitario de v\u00e9rtices opuestos (0,0) y (1,1). Por ejemplo, \n--    \u03bb> puntosDelCuadrado2 3\n--    [(0.9836699352638695,0.5143414844876929),\n--     (0.8715237339877027,0.9905157772823782),\n--     (0.29502946161912935,0.16889248111565192)]\n--    \u03bb> puntosDelCuadrado2 3\n--    [(0.20405570457106392,0.47574116941605116),\n--     (0.7128182811364226,3.201419787777959e-2),\n--     (0.5576891231675457,0.9994474730919443)]\npuntosDelCuadrado2 :: Int -> IO [Punto]\npuntosDelCuadrado2 n =\n  replicateM n puntoDelCuadrado2\n\n-- (puntoDelCuadrado2 n) es un punto del cuadrado unitario de v\u00e9rtices\n-- opuestos (0,0) y (1,1). Por ejemplo,  \n--    \u03bb> puntoDelCuadrado2\n--    (0.7512991739803923,0.966436016138578)\n--    \u03bb> puntoDelCuadrado2\n--    (0.7306826194847795,0.8984574498515252)\npuntoDelCuadrado2 :: IO Punto\npuntoDelCuadrado2 = do\n  x <- randomRIO (0, 1.0)\n  y <- randomRIO (0, 1.0)\n  return (x, y)\n\n-- 3\u00aa soluci\u00f3n\n-- ===========\n\ndistanciaEsperada3 :: Int -> IO Double\ndistanciaEsperada3 n = do\n  ds <- distanciasAleatorias n\n  return (media ds)\n\n-- (distanciasAleatorias n) es la lista de las distancias aleatorias\n-- entre n pares de puntos del cuadrado unitario. Por ejemplo, \n--    \u03bb> distanciasAleatorias 3\n--    [0.8325589110989705,0.6803336613847881,0.1690051224111662]\n--    \u03bb> distanciasAleatorias 3\n--    [0.3470124940889039,0.459002678562019,0.7665623634969365]\ndistanciasAleatorias :: Int -> IO [Double]\ndistanciasAleatorias n = \n  replicateM n distanciaAleatoria\n\n-- distanciaAleatoria es la distancia de un par de punto del cuadrado\n-- unitario elegidos aleatoriamente. Por ejemplo,\n--    \u03bb> distanciaAleatoria\n--    0.8982361685460913\n--    \u03bb> distanciaAleatoria\n--    0.9777207485571939\n--    \u03bb> distanciaAleatoria\n--    0.6042223512347842\ndistanciaAleatoria :: IO Double\ndistanciaAleatoria = do \n  p1 <- puntoDelCuadrado2\n  distancia p1 <$> puntoDelCuadrado2\n\n-- 4\u00aa soluci\u00f3n\n-- ===========\n\ndistanciaEsperada4 :: Int -> IO Double\ndistanciaEsperada4 n =\n  media <$> distanciasAleatorias n\n\n-- Gr\u00e1fica\n-- =======\n\ngraficaDistanciaEsperada :: [Int] -> IO ()\ngraficaDistanciaEsperada ns = do\n  ys <- mapM distanciaEsperada ns\n  let e = (sqrt 2 + 2 + 5 * log (1 + sqrt 2)) \/ 15\n  plotLists [ Key Nothing\n            -- , PNG \"Distancia_esperada_entre_dos_puntos.png\"\n            ]\n            [ zip ns ys\n            , zip ns (repeat e)]\n<\/pre>\n<p>El c\u00f3digo se encuentra en <a href=\"https:\/\/github.com\/jaalonso\/Exercitium\/blob\/main\/src\/Distancia_esperada_entre_dos_puntos_de_un_cuadrado_unitario.hs\">GitHub<\/a>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Definir, por simulaci\u00f3n, la funci\u00f3n distanciaEsperada :: Int -> IO Double tal que (distanciaEsperada n) es la distancia esperada entre n puntos del cuadrado unitario de v\u00e9rtices opuestos (0,0) y (1,1), elegidos aleatoriamente. Por ejemplo, distanciaEsperada 10 == 0.43903617921423593 distanciaEsperada 10 == 0.6342350621260004 distanciaEsperada 100 == 0.5180418995364429 distanciaEsperada 100 == 0.5288261085653962 distanciaEsperada 1000 == 0.5143804432569616&#8230;<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_kad_post_transparent":"","_kad_post_title":"","_kad_post_layout":"","_kad_post_sidebar_id":"","_kad_post_content_style":"","_kad_post_vertical_padding":"","_kad_post_feature":"","_kad_post_feature_position":"","_kad_post_header":false,"_kad_post_footer":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"footnotes":"","_jetpack_memberships_contains_paid_content":false},"categories":[2],"tags":[573,577],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/7081"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=7081"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/7081\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":7082,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/7081\/revisions\/7082"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=7081"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=7081"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=7081"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}