Definir la funci\u00f3n<\/p>\n
\n sumaDivisores :: Integer -> Integer\n<\/pre>\ntal que (sumaDivisores x)<\/code> es la suma de los divisores de x<\/code>. Por ejemplo,<\/p>\n\n sumaDivisores 12 == 28\n sumaDivisores 25 == 31\n sumaDivisores (product [1..25]) == 93383273455325195473152000\n length (show (sumaDivisores (product [1..30000]))) == 121289\n maximum (map sumaDivisores [1..10^5]) == 403200\n<\/pre>\nSoluciones<\/h4>\n\nimport Data.List (genericLength, group, inits)\nimport Data.Numbers.Primes (primeFactors)\nimport Test.QuickCheck\n\n-- 1\u00aa soluci\u00f3n\n-- ===========\n\nsumaDivisores1 :: Integer -> Integer\nsumaDivisores1 = sum . divisores\n\n-- (divisores x) es la lista de los divisores de x. Por ejemplo,\n-- divisores 60 == [1,5,3,15,2,10,6,30,4,20,12,60]\ndivisores :: Integer -> [Integer]\ndivisores = map (product . concat)\n . productoCartesiano\n . map inits\n . group\n . primeFactors\n\n-- (productoCartesiano xss) es el producto cartesiano de los conjuntos\n-- xss. Por ejemplo,\n-- \u03bb> producto [[1,3],[2,5],[6,4]]\n-- [[1,2,6],[1,2,4],[1,5,6],[1,5,4],[3,2,6],[3,2,4],[3,5,6],[3,5,4]]\nproductoCartesiano :: [[a]] -> [[a]]\nproductoCartesiano [] = [[]]\nproductoCartesiano (xs:xss) =\n [x:ys | x <- xs, ys <- productoCartesiano xss]\n\n-- 2\u00aa soluci\u00f3n\n-- ===========\n\nsumaDivisores2 :: Integer -> Integer\nsumaDivisores2 = sum\n . map (product . concat)\n . sequence\n . map inits\n . group\n . primeFactors\n\n-- 3\u00aa soluci\u00f3n\n-- ===========\n\n-- Si la descomposici\u00f3n de x en factores primos es\n-- x = p(1)^e(1) . p(2)^e(2) . .... . p(n)^e(n)\n-- entonces la suma de los divisores de x es\n-- p(1)^(e(1)+1) - 1 p(2)^(e(2)+1) - 1 p(n)^(e(2)+1) - 1\n-- ------------------- . ------------------- ... -------------------\n-- p(1)-1 p(2)-1 p(n)-1\n-- Ver la demostraci\u00f3n en http:\/\/bit.ly\/2zUXZPc\n\nsumaDivisores3 :: Integer -> Integer\nsumaDivisores3 x =\n product [(p^(e+1)-1) `div` (p-1) | (p,e) <- factorizacion x]\n\n-- (factorizacion x) es la lista de las bases y exponentes de la\n-- descomposici\u00f3n prima de x. Por ejemplo,\n-- factorizacion 600 == [(2,3),(3,1),(5,2)]\nfactorizacion :: Integer -> [(Integer,Integer)]\nfactorizacion = map primeroYlongitud . group . primeFactors\n\n-- (primeroYlongitud xs) es el par formado por el primer elemento de xs\n-- y la longitud de xs. Por ejemplo,\n-- primeroYlongitud [3,2,5,7] == (3,4)\nprimeroYlongitud :: [a] -> (a,Integer)\nprimeroYlongitud (x:xs) =\n (x, 1 + genericLength xs)\n\n-- Comprobaci\u00f3n de equivalencia\n-- ============================\n\n-- La propiedad es\nprop_sumaDivisores :: Positive Integer -> Bool\nprop_sumaDivisores (Positive x) =\n all (== sumaDivisores1 x)\n [ sumaDivisores2 x\n , sumaDivisores3 x\n ]\n\n-- La comprobaci\u00f3n es\n-- \u03bb> quickCheck prop_sumaDivisores\n-- +++ OK, passed 100 tests.\n\n-- Comparaci\u00f3n de eficiencia\n-- =========================\n\n-- La comparaci\u00f3n es\n-- \u03bb> sumaDivisores1 251888923423315469521109880000000\n-- 1471072204661054993275791673480320\n-- (10.63 secs, 10,614,618,080 bytes)\n-- \u03bb> sumaDivisores2 251888923423315469521109880000000\n-- 1471072204661054993275791673480320\n-- (2.51 secs, 5,719,399,056 bytes)\n-- \u03bb> sumaDivisores3 251888923423315469521109880000000\n-- 1471072204661054993275791673480320\n-- (0.01 secs, 177,480 bytes)\n<\/pre>\n