{"id":6621,"date":"2022-02-18T06:00:15","date_gmt":"2022-02-18T04:00:15","guid":{"rendered":"http:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/?p=6621"},"modified":"2022-04-15T12:06:04","modified_gmt":"2022-04-15T10:06:04","slug":"suma-de-los-numeros-amigos-menores-que-n","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/suma-de-los-numeros-amigos-menores-que-n\/","title":{"rendered":"Suma de los n\u00fameros amigos menores que n"},"content":{"rendered":"<p>Dos <a href=\"https:\/\/bit.ly\/36gSRHt\">n\u00fameros amigos<\/a> son dos n\u00fameros enteros positivos distintos tales que la suma de los divisores propios de cada uno es igual al otro. Los divisores propios de un n\u00famero incluyen la unidad pero no al propio n\u00famero. Por ejemplo, los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110. La suma de estos n\u00fameros equivale a 284. A su vez, los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142. Su suma equivale a 220. Por tanto, 220 y 284 son amigos.<\/p>\n<p>Definir la funci\u00f3n<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   sumaAmigosMenores :: Integer -> Integer\n<\/pre>\n<p>tal que (sumaAmigosMenores n) es la suma de los n\u00fameros amigos menores que n. Por ejemplo,<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   sumaAmigosMenores 2000   == 2898\n   sumaAmigosMenores (10^5) == 852810\n<\/pre>\n<h4>Soluciones<\/h4>\n<pre lang=\"haskell\">\nimport Data.List (genericLength, group, inits, nub, sort, subsequences)\nimport Data.Numbers.Primes (primeFactors)\n\n-- 1\u00aa soluci\u00f3n                                                   --\n-- ===========\n\nsumaAmigosMenores1 :: Integer -> Integer\nsumaAmigosMenores1 n =\n  sum [x+y | (x,y) <- amigosMenores1 n]\n\n-- (amigosMenores1 n) es la lista de los pares de n\u00fameros amigos (con la\n-- primera componente menor que la segunda) que son menores que n. Por\n-- ejemplo,\n--    amigosMenores1 2000  ==  [(220,284),(1184,1210)]\namigosMenores1 :: Integer -> [(Integer,Integer)]\namigosMenores1 n =\n  takeWhile (\\(_,y) -> y < n) sucesionAmigos1\n\nsucesionAmigos1 :: [(Integer,Integer)]\nsucesionAmigos1 =\n  [(x,y) | x <- [1..],\n           let y = sumaDivisoresPropios1 x,\n           y > x,\n           sumaDivisoresPropios1 y == x]\n\n-- (sumaDivisoresPropios1 x) es la suma de los divisores propios de\n-- x. Por ejemplo,\n--    sumaDivisoresPropios1 220  ==  284\n--    sumaDivisoresPropios1 284  ==  220\nsumaDivisoresPropios1 :: Integer -> Integer\nsumaDivisoresPropios1 = sum . divisoresPropios1\n\n-- (divisoresPropios1 x) es la lista de los divisores propios de x. Por\n-- ejemplo,\n--    divisoresPropios1 220  ==  [1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110]\n--    divisoresPropios1 284  ==  [1,2,4,71,142]\ndivisoresPropios1 :: Integer -> [Integer]\ndivisoresPropios1 x = [n | n <- [1..x-1], x `mod` n == 0]\n\n-- 2\u00aa soluci\u00f3n                                                   --\n-- ===========\n\nsumaAmigosMenores2 :: Integer -> Integer\nsumaAmigosMenores2 n =\n  sum [x+y | (x,y) <- amigosMenores2 n]\n\namigosMenores2 :: Integer -> [(Integer,Integer)]\namigosMenores2 n =\n  takeWhile (\\(_,y) -> y < n) sucesionAmigos2\n\nsucesionAmigos2 :: [(Integer,Integer)]\nsucesionAmigos2 =\n  [(x,y) | x <- [1..],\n           let y = sumaDivisoresPropios2 x,\n           y > x,\n           sumaDivisoresPropios2 y == x]\n\nsumaDivisoresPropios2 :: Integer -> Integer\nsumaDivisoresPropios2 = sum . divisoresPropios2\n\ndivisoresPropios2 :: Integer -> [Integer]\ndivisoresPropios2 x = filter ((== 0) . mod x) [1..x-1]\n\n-- 3\u00aa soluci\u00f3n                                                   --\n-- ===========\n\nsumaAmigosMenores3 :: Integer -> Integer\nsumaAmigosMenores3 n =\n  sum [x+y | (x,y) <- amigosMenores3 n]\n\namigosMenores3 :: Integer -> [(Integer,Integer)]\namigosMenores3 n =\n  takeWhile (\\(_,y) -> y < n) sucesionAmigos3\n\nsucesionAmigos3 :: [(Integer,Integer)]\nsucesionAmigos3 =\n  [(x,y) | x <- [1..],\n           let y = sumaDivisoresPropios3 x,\n           y > x,\n           sumaDivisoresPropios3 y == x]\n\nsumaDivisoresPropios3 :: Integer -> Integer\nsumaDivisoresPropios3 = sum . divisoresPropios3\n\ndivisoresPropios3 :: Integer -> [Integer]\ndivisoresPropios3 =\n  init . nub . sort . map product . subsequences . primeFactors\n\n-- 4\u00aa soluci\u00f3n                                                   --\n-- ===========\n\nsumaAmigosMenores4 :: Integer -> Integer\nsumaAmigosMenores4 n =\n  sum [x+y | (x,y) <- amigosMenores4 n]\n\namigosMenores4 :: Integer -> [(Integer,Integer)]\namigosMenores4 n =\n  takeWhile (\\(_,y) -> y < n) sucesionAmigos4\n\nsucesionAmigos4 :: [(Integer,Integer)]\nsucesionAmigos4 =\n  [(x,y) | x <- [1..],\n           let y = sumaDivisoresPropios4 x,\n           y > x,\n           sumaDivisoresPropios4 y == x]\n\nsumaDivisoresPropios4 :: Integer -> Integer\nsumaDivisoresPropios4 = sum . divisoresPropios4\n\ndivisoresPropios4 :: Integer -> [Integer]\ndivisoresPropios4 =\n  init\n  . sort\n  . map (product . concat)\n  . productoCartesiano\n  . map inits\n  . group\n  . primeFactors\n\n-- (productoCartesiano xss) es el producto cartesiano de los conjuntos\n-- xss. Por ejemplo,\n--    \u03bb> productoCartesiano [[1,3],[2,5],[6,4]]\n--    [[1,2,6],[1,2,4],[1,5,6],[1,5,4],[3,2,6],[3,2,4],[3,5,6],[3,5,4]]\nproductoCartesiano :: [[a]] -> [[a]]\nproductoCartesiano []       = [[]]\nproductoCartesiano (xs:xss) =\n  [x:ys | x <- xs, ys <- productoCartesiano xss]\n\n-- 5\u00aa soluci\u00f3n                                                   --\n-- ===========\n\nsumaAmigosMenores5 :: Integer -> Integer\nsumaAmigosMenores5 n =\n  sum [x+y | (x,y) <- amigosMenores5 n]\n\namigosMenores5 :: Integer -> [(Integer,Integer)]\namigosMenores5 n =\n  takeWhile (\\(_,y) -> y < n) sucesionAmigos5\n\nsucesionAmigos5 :: [(Integer,Integer)]\nsucesionAmigos5 =\n  [(x,y) | x <- [1..],\n           let y = sumaDivisoresPropios5 x,\n           y > x,\n           sumaDivisoresPropios5 y == x]\n\nsumaDivisoresPropios5 :: Integer -> Integer\nsumaDivisoresPropios5 = sum . divisoresPropios5\n\ndivisoresPropios5 :: Integer -> [Integer]\ndivisoresPropios5 =\n  init\n  . sort\n  . map (product . concat)\n  . sequence\n  . map inits\n  . group\n  . primeFactors\n\n-- 6\u00aa soluci\u00f3n                                                   --\n-- ===========\n\nsumaAmigosMenores6 :: Integer -> Integer\nsumaAmigosMenores6 n =\n  sum [x+y | (x,y) <- amigosMenores6 n]\n\namigosMenores6 :: Integer -> [(Integer,Integer)]\namigosMenores6 n =\n  takeWhile (\\(_,y) -> y < n) sucesionAmigos6\n\nsucesionAmigos6 :: [(Integer,Integer)]\nsucesionAmigos6 =\n  [(x,y) | x <- [1..],\n           let y = sumaDivisoresPropios6 x,\n           y > x,\n           sumaDivisoresPropios6 y == x]\n\nsumaDivisoresPropios6 :: Integer -> Integer\nsumaDivisoresPropios6 =\n  sum\n  . init\n  . map (product . concat)\n  . sequence\n  . map inits\n  . group\n  . primeFactors\n\n-- 7\u00aa soluci\u00f3n                                                   --\n-- ===========\n\nsumaAmigosMenores7 :: Integer -> Integer\nsumaAmigosMenores7 n =\n  sum [x+y | (x,y) <- amigosMenores7 n]\n\namigosMenores7 :: Integer -> [(Integer,Integer)]\namigosMenores7 n =\n  takeWhile (\\(_,y) -> y < n) sucesionAmigos7\n\nsucesionAmigos7 :: [(Integer,Integer)]\nsucesionAmigos7 =\n  [(x,y) | x <- [1..],\n           let y = sumaDivisoresPropios7 x,\n           y > x,\n           sumaDivisoresPropios7 y == x]\n\n-- Si la descomposici\u00f3n de x en factores primos es\n--    x = p(1)^e(1) . p(2)^e(2) . .... . p(n)^e(n)\n-- entonces la suma de los divisores de x es\n--    p(1)^(e(1)+1) - 1     p(2)^(e(2)+1) - 1       p(n)^(e(2)+1) - 1\n--   ------------------- . ------------------- ... -------------------\n--        p(1)-1                p(2)-1                  p(n)-1\n-- Ver la demostraci\u00f3n en http:\/\/bit.ly\/2zUXZPc\n\nsumaDivisoresPropios7 :: Integer -> Integer\nsumaDivisoresPropios7 x =\n  product [(p^(e+1)-1) `div` (p-1) | (p,e) <- factorizacion x] - x\n\n-- (factorizacion x) es la lista de las bases y exponentes de la\n-- descomposici\u00f3n prima de x. Por ejemplo,\n--    factorizacion 600  ==  [(2,3),(3,1),(5,2)]\nfactorizacion :: Integer -> [(Integer,Integer)]\nfactorizacion = map primeroYlongitud . group . primeFactors\n\n-- (primeroYlongitud xs) es el par formado por el primer elemento de xs\n-- y la longitud de xs. Por ejemplo,\n--    primeroYlongitud [3,2,5,7] == (3,4)\nprimeroYlongitud :: [a] -> (a,Integer)\nprimeroYlongitud (x:xs) = (x, 1 + genericLength xs)\n\n-- Comparaci\u00f3n de eficiencia\n-- =========================\n\n-- La comparaci\u00f3n es\n--    \u03bb> sumaAmigosMenores1 6000\n--    19026\n--    (10.37 secs, 5,261,392,352 bytes)\n--    \u03bb> sumaAmigosMenores2 6000\n--    19026\n--    (3.86 secs, 3,161,700,400 bytes)\n--    \u03bb> sumaAmigosMenores3 6000\n--    19026\n--    (0.15 secs, 308,520,248 bytes)\n--    \u03bb> sumaAmigosMenores4 6000\n--    19026\n--    (0.23 secs, 271,421,184 bytes)\n--    \u03bb> sumaAmigosMenores5 6000\n--    19026\n--    (0.13 secs, 230,042,112 bytes)\n--    \u03bb> sumaAmigosMenores6 6000\n--    19026\n--    (0.12 secs, 202,638,880 bytes)\n--    \u03bb> sumaAmigosMenores7 6000\n--    19026\n--    (0.13 secs, 159,022,448 bytes)\n--\n--    \u03bb> sumaAmigosMenores3 (10^5)\n--    852810\n--    (4.83 secs, 10,726,377,728 bytes)\n--    \u03bb> sumaAmigosMenores4 (10^5)\n--    852810\n--    (4.79 secs, 7,832,234,120 bytes)\n--    \u03bb> sumaAmigosMenores5 (10^5)\n--    852810\n--    (2.79 secs, 6,837,118,464 bytes)\n--    \u03bb> sumaAmigosMenores6 (10^5)\n--    852810\n--    (2.39 secs, 6,229,730,472 bytes)\n--    \u03bb> sumaAmigosMenores7 (10^5)\n--    852810\n--    (2.65 secs, 5,170,949,168 bytes)\n<\/pre>\n<p>El c\u00f3digo se encuentra en <a href=\"https:\/\/github.com\/jaalonso\/Exercitium\/blob\/main\/src\/Suma_de_numeros_amigos_menores_que_n.hs\">GitHub<\/a>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Dos n\u00fameros amigos son dos n\u00fameros enteros positivos distintos tales que la suma de los divisores propios de cada uno es igual al otro. 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