{"id":6504,"date":"2021-06-10T06:00:53","date_gmt":"2021-06-10T04:00:53","guid":{"rendered":"http:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/?p=6504"},"modified":"2022-01-26T12:15:43","modified_gmt":"2022-01-26T10:15:43","slug":"productos-de-sumas-de-progresiones-aritmeticas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/productos-de-sumas-de-progresiones-aritmeticas\/","title":{"rendered":"Productos de sumas de progresiones aritm\u00e9ticas"},"content":{"rendered":"<p>El enunciado de un problema para la IMO (Olimpiada Internacional de Matem\u00e1ticas) de 1978 es<\/p>\n<blockquote><p>\n  Para cada n\u00famero entero d \u2265 1, sea M(d) el conjunto de todos  enteros positivos que no se pueden escribir como una suma de una progresi\u00f3n aritm\u00e9tica de diferencia d, teniendo al menos dos sumandos y formadas por enteros positivos. Sean A = M(1), B = M(2)-{2} y C = M(3). Demostrar que todo c \u2208 C se puede escribir de una \u00fanica manera como c = ab con a \u2208 A, b \u2208 B.\n<\/p><\/blockquote>\n<p>Definir las funciones<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   conjuntoA   :: [Integer]\n   conjuntoB   :: [Integer]\n   conjuntoC   :: [Integer]\n   productosAB :: Integer -> [(Integer,Integer)]\n<\/pre>\n<p>tales que<\/p>\n<ul>\n<li>conjuntoA es la lista de los elementos del conjunto A; es decir, de los n\u00fameros que no se pueden escribir como sumas de progresiones aritm\u00e9ticas de diferencia uno, con al menos dos t\u00e9rminos, de n\u00fameros enteros positivos. Por ejemplo,<\/li>\n<\/ul>\n<pre lang=\"text\">\n     conjuntoA !! 2                      ==  4\n     length (show (conjuntoA !! (10^7))) == 3010300\n<\/pre>\n<ul>\n<li>conjuntoB es la lista de los elementos del conjunto B; es decir,  los n\u00fameros (distintos de dos) que no se pueden escribir como sumas de progresiones aritm\u00e9ticas de diferencia dos, con al menos dos t\u00e9rminos, de n\u00fameros enteros positivos. Por ejemplo,<\/li>\n<\/ul>\n<pre lang=\"text\">\n     conjuntoB !! 3       ==  5\n     conjuntoB !! (10^6)  ==  15485863\n<\/pre>\n<ul>\n<li>conjuntoC es la lista de los elementos del conjunto C; es decir,  los n\u00fameros que no se pueden escribir como sumas de progresiones aritm\u00e9ticas de diferencia tres, con al menos dos t\u00e9rminos, de n\u00fameros enteros positivos. Por ejemplo,<\/li>\n<\/ul>\n<pre lang=\"text\">\n     conjuntoC !! 4  ==  6\n<\/pre>\n<ul>\n<li>(productosAB x) es la lista de los pares (a,b) tales que a es un elementos del conjunto A, b es un elemento del conjunto B y su producto es x. Por ejemplo,<\/li>\n<\/ul>\n<pre lang=\"text\">\n     productosAB 10  ==  [(2,5)]\n     productosAB 15  ==  []\n<\/pre>\n<p>Comprobar con QuickCheck la propiedad del problema de la Olimpiada; es decir, para todo c \u2208 C la lista (productosAB c) tiene exactamente un elemento.<\/p>\n<h4>Soluciones<\/h4>\n<pre lang=\"haskell\">\nimport Data.List (foldr1)\nimport Data.Numbers.Primes (primes,primeFactors)\nimport Test.QuickCheck\n\n-- Nota: Se usar\u00e1n las funciones definidas en los ejercicios\n-- anteriores.\n\nconjuntoA :: [Integer]\nconjuntoA = [2^k | k <- [0..]]\n\nconjuntoB :: [Integer]\nconjuntoB = 1 : tail primes\n\nconjuntoC :: [Integer]\nconjuntoC = noSonSumasDePADeDiferencia 3\n\nnoSonSumasDePADeDiferencia :: Integer -> [Integer]\nnoSonSumasDePADeDiferencia d =\n  diferencia [1..] (sonSumasDePADeDiferencia d)\n\nsonSumasDePADeDiferencia :: Integer -> [Integer]\nsonSumasDePADeDiferencia d =\n  mezclaTodas [sumasDePADeDiferencia d a | a <- [1..]]\n\nsumasDePADeDiferencia :: Integer -> Integer -> [Integer]\nsumasDePADeDiferencia d a =\n  tail (scanl1 (+) [a,a+d..])\n\nmezclaTodas :: Ord a => [[a]] -> [a]\nmezclaTodas = foldr1 xmezcla\n  where xmezcla (x:xs) ys = x : mezcla xs ys\n\nmezcla :: Ord a => [a] -> [a] -> [a]\nmezcla (x:xs) (y:ys) | x < y  = x : mezcla xs (y:ys)\n                     | x == y = x : mezcla xs ys\n                     | x > y  = y : mezcla (x:xs) ys\n\ndiferencia :: [Integer] -> [Integer] -> [Integer]\ndiferencia (x:xs) (y:ys)\n  | x == y    = diferencia xs ys\n  | otherwise = x : diferencia xs (y:ys)\n\nproductosAB :: Integer -> [(Integer,Integer)]\nproductosAB c =\n  [(a,b) | a <- takeWhile (<= c) conjuntoA,\n           c `mod` a == 0,\n           let b = c `div` a,\n           b `pertenece` conjuntoB]\n\npertenece :: Integer -> [Integer] -> Bool\npertenece x ys =\n  x == head (dropWhile (< x) ys)\n\n-- La propiedad es\nprop_productosAB :: Int -> Property\nprop_productosAB k =\n  k >= 0 ==>\n  length (productosAB (conjuntoC !! k)) == 1\n\n-- La comprobaci\u00f3n es\n--    \u03bb> quickCheck prop_productosAB\n--    +++ OK, passed 100 tests.\n<\/pre>\n<h4>Nuevas soluciones<\/h4>\n<ul>\n<li>En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.\n<li>El c\u00f3digo se debe escribir entre una l\u00ednea con &#60;pre lang=&quot;haskell&quot;&#62; y otra con &#60;\/pre&#62;\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>El enunciado de un problema para la IMO (Olimpiada Internacional de Matem\u00e1ticas) de 1978 es Para cada n\u00famero entero d \u2265 1, sea M(d) el conjunto de todos enteros positivos que no se pueden escribir como una suma de una progresi\u00f3n aritm\u00e9tica de diferencia d, teniendo al menos dos sumandos y formadas por enteros positivos&#8230;.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_kad_post_transparent":"","_kad_post_title":"","_kad_post_layout":"","_kad_post_sidebar_id":"","_kad_post_content_style":"","_kad_post_vertical_padding":"","_kad_post_feature":"","_kad_post_feature_position":"","_kad_post_header":false,"_kad_post_footer":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"footnotes":"","_jetpack_memberships_contains_paid_content":false},"categories":[2],"tags":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/6504"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=6504"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/6504\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":6544,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/6504\/revisions\/6544"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=6504"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=6504"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=6504"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}