{"id":6435,"date":"2021-05-21T06:00:23","date_gmt":"2021-05-21T04:00:23","guid":{"rendered":"http:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/?p=6435"},"modified":"2021-05-28T08:41:12","modified_gmt":"2021-05-28T06:41:12","slug":"ultimos-digitos-de-una-sucesion","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/ultimos-digitos-de-una-sucesion\/","title":{"rendered":"\u00daltimos d\u00edgitos de una sucesi\u00f3n"},"content":{"rendered":"

El enunciado del problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola del 2000<\/a> es<\/p>\n

\n Consid\u00e9rese la sucesi\u00f3n definida como a(1) = 3, y a(n+1) = a(n) + a(n)\u00b2. Determ\u00ednense las dos \u00faltimas cifras de a(2000).\n<\/p><\/blockquote>\n

Definir las sucesiones<\/p>\n

\n   sucesionA :: [Integer]\n   sucesionB :: [Integer]\n<\/pre>\n
tales que<\/p>\n
    \n
  • sucesionA es la lista de los t\u00e9rminos de la sucesi\u00f3n a(n). Por ejemplo,<\/li>\n<\/ul>\n
    \n     take 4 sucesionA  ==  [3,12,156,24492]\n<\/pre>\n
      \n
    • sucesionB es la lista de los dos \u00faltimos d\u00edgitos de los t\u00e9rmino de la sucesi\u00f3n a(n). Por ejemplo,<\/li>\n<\/ul>\n
      \n     take 4 sucesionB     ==  [3,12,56,92]\n     sucesionB !! (10^6)  ==  56\n<\/pre>\n
      Usando la sucesionB, calcular la respuesta a la pregunta del problema de la Olimpiada.<\/p>\n
      Soluciones<\/h4>\n
      [schedule on=’2021-05-28′ at=\u00bb06:00″]<\/p>\n
      \n-- 1\u00aa definici\u00f3n de sucesionA\n-- ==========================\n\nsucesionA :: [Integer]\nsucesionA = map a [1..]\n  where a 1 = 3\n        a n = b + b^2\n          where b = a (n-1)\n\n-- 2\u00aa definici\u00f3n de sucesionA\n-- ==========================\n\nsucesionA2 :: [Integer]\nsucesionA2 = iterate (\\x -> x + x^2) 3\n\n-- Comparaci\u00f3n de eficiencia\n-- =========================\n\n-- La comparaci\u00f3n es\n--    \u03bb> length (show (maximum (take 26 sucesionA)))\n--    18408940\n--    (3.90 secs, 1,213,573,208 bytes)\n--    \u03bb> length (show (maximum (take 26 sucesionA2)))\n--    18408940\n--    (3.91 secs, 1,182,719,984 bytes)\n\n-- 1\u00aa definici\u00f3n de sucesionB\n-- ==========================\n\nsucesionB :: [Integer]\nsucesionB = map (`mod` 100) sucesionA\n\n-- 2\u00aa definici\u00f3n de sucesionB\n-- ==========================\n\n-- Observando el siguiente c\u00e1lculo\n--    \u03bb> take 20 sucesionB\n--    [3,12,56,92,56,92,56,92,56,92,56,92,56,92,56,92,56,92,56,92]\n\nsucesionB2 :: [Integer]\nsucesionB2 =\n  3 : 12 : cycle [56,92]\n\n-- Comprobaci\u00f3n de equivalencia\n-- ============================\n\n-- La comprobaci\u00f3n es\n--    \u03bb> take 25 sucesionB == take 25 sucesionB2\n--    True\n\n-- Comparaci\u00f3n de eficiencia\n-- =========================\n\n-- La comparaci\u00f3n es\n--    \u03bb> sucesionB !! 30\n--    56\n--    (10.09 secs, 978,586,056 bytes)\n--    \u03bb> sucesionB2 !! 30\n--    56\n--    (0.01 secs, 98,568 bytes)\n\n-- C\u00e1lculo de la respuesta\n-- =======================\n\n-- El c\u00e1lculo dela respuesta es\n--    \u03bb> sucesionB2 !! 1999\n--    92\n-- Por tanto a(2000) termina en 92.\n<\/pre>\n
      Nuevas soluciones<\/h4>\n
        \n
      • En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.\n
      • El c\u00f3digo se debe escribir entre una l\u00ednea con <pre lang="haskell"> y otra con <\/pre>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
        El enunciado del problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola del 2000 es Consid\u00e9rese la sucesi\u00f3n definida como a(1) = 3, y a(n+1) = a(n) + a(n)\u00b2. Determ\u00ednense las dos \u00faltimas cifras de a(2000). Definir las sucesiones sucesionA :: [Integer] sucesionB :: [Integer] tales que sucesionA es la lista de los…<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_kad_post_transparent":"","_kad_post_title":"","_kad_post_layout":"","_kad_post_sidebar_id":"","_kad_post_content_style":"","_kad_post_vertical_padding":"","_kad_post_feature":"","_kad_post_feature_position":"","_kad_post_header":false,"_kad_post_footer":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"footnotes":"","_jetpack_memberships_contains_paid_content":false},"categories":[2],"tags":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/6435"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=6435"}],"version-history":[{"count":4,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/6435\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":6488,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/6435\/revisions\/6488"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=6435"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=6435"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=6435"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}