{"id":6161,"date":"2021-03-12T06:00:21","date_gmt":"2021-03-12T04:00:21","guid":{"rendered":"http:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/?p=6161"},"modified":"2021-03-19T11:23:00","modified_gmt":"2021-03-19T09:23:00","slug":"representaciones-de-un-numero-como-potencia","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/representaciones-de-un-numero-como-potencia\/","title":{"rendered":"Representaciones de un n\u00famero como potencia"},"content":{"rendered":"<p>El n\u00famero 512 se puede escribir de tres maneras como potencias:<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   512 = 2\u2079 = 8\u00b3 = 512\u00b9\n<\/pre>\n<p>Definir las funciones<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   potencias       :: Integer -> [(Integer,Integer)]\n   numeroPotencias :: Integer -> Int\n<\/pre>\n<p>tales que<\/p>\n<ul>\n<li>(potencias x) es la lista de las representaciones de x como potencias de n\u00fameros enteros positivos. Por ejemplo,<\/li>\n<\/ul>\n<pre lang=\"text\">\n     potencias 7      ==  [(7,1)]\n     potencias 8      ==  [(2,3),(8,1)]\n     potencias 512    ==  [(2,9),(8,3),(512,1)]\n     potencias 16384  ==  [(2,14),(4,7),(128,2),(16384,1)]\n     potencias 65536  ==  [(2,16),(4,8),(16,4),(256,2),(65536,1)]\n<\/pre>\n<ul>\n<li>(numeroPotencias x) de las representaciones de x como potencias de n\u00fameros enteros positivos. Por ejemplo,<\/li>\n<\/ul>\n<pre lang=\"text\">\n     numeroPotencias 7          ==  1\n     numeroPotencias 8          ==  2\n     numeroPotencias 512        ==  3\n     numeroPotencias 16384      ==  4\n     numeroPotencias 65536      ==  5\n     numeroPotencias (2^(10^5)) ==  36\n<\/pre>\n<h4>Soluciones<\/h4>\n<pre lang=\"haskell\">\nimport Data.List (group,genericLength)\nimport Data.Numbers.Primes (primeFactors)\n\npotencias :: Integer -> [(Integer,Integer)]\npotencias x = [(a^d,b `div` d) | d <- divisores b]\n  where ps = factorizacionPrima x\n        b   = mcd (map snd ps)\n        a   = product [c^(e `div` b) | (c,e) <- ps]\n\n-- (divisores x) es la lista de los divisores de x. Por ejemplo,\n--    divisores 120  ==  [1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120]\ndivisores :: Integer -> [Integer]\ndivisores x =\n  [y | y <- [1..x], x `mod` y == 0]\n\n-- (factorizacionPrima x) es la factorizaci\u00f3n prima de x. Por ejemplo,\n--    factorizacionPrima 1200  ==  [(2,4),(3,1),(5,2)]\nfactorizacionPrima :: Integer -> [(Integer,Integer)]\nfactorizacionPrima x =\n  [(head xs, genericLength xs) | xs <- group (primeFactors x)]\n\n-- (mcd xs) es el m\u00e1ximo com\u00fan divisor de xs. Por ejemplo,\n--    mcd [12,30,42]  ==  6\nmcd :: Integral a => [a] -> a\nmcd xs = foldr1 gcd xs\n\n-- 1\u00aa definici\u00f3n de numeroPotencias\n-- ================================\n\n--    numeroPotencias 7          ==  1\n--    numeroPotencias 8          ==  2\n--    numeroPotencias 512        ==  3\n--    numeroPotencias 16384      ==  4\n--    numeroPotencias 65536      ==  5\n--    numeroPotencias (2^(10^5)) ==  36\nnumeroPotencias :: Integer -> Int\nnumeroPotencias = length . potencias\n\n-- 2\u00aa definici\u00f3n de numeroPotencias\n-- ================================\n\nnumeroPotencias2 :: Integer -> Int\nnumeroPotencias2 n =\n  numeroDivisores (mcd (map length (group (primeFactors n))))\n\n-- (numeroDivisores n) es el n\u00famero de divisores de n. Por ejemplo,\n--    numeroDivisores 12  ==  6\n--    numeroDivisores 14  ==  4\nnumeroDivisores :: Int -> Int\nnumeroDivisores =\n  product . map ((+1) . length) . group . primeFactors\n\n-- Comparaci\u00f3n de eficiencia de numeroPotencias\n-- ============================================\n\n-- La comparaci\u00f3n es\n--    \u03bb> numeroPotencias (2^(10^5))\n--    36\n--    (0.40 secs, 707,287,312 bytes)\n--    \u03bb> numeroPotencias2 (2^(10^5))\n--    36\n--    (0.35 secs, 675,954,872 bytes)\n<\/pre>\n<h4>Nuevas soluciones<\/h4>\n<ul>\n<li>En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.\n<li>El c\u00f3digo se debe escribir entre una l\u00ednea con &#60;pre lang=&quot;haskell&quot;&#62; y otra con &#60;\/pre&#62;\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>El n\u00famero 512 se puede escribir de tres maneras como potencias: 512 = 2\u2079 = 8\u00b3 = 512\u00b9 Definir las funciones potencias :: Integer -> [(Integer,Integer)] numeroPotencias :: Integer -> Int tales que (potencias x) es la lista de las representaciones de x como potencias de n\u00fameros enteros positivos. 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