{"id":6031,"date":"2021-02-04T06:00:02","date_gmt":"2021-02-04T04:00:02","guid":{"rendered":"http:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/?p=6031"},"modified":"2021-02-11T09:10:12","modified_gmt":"2021-02-11T07:10:12","slug":"pares-con-multiplos-con-igual-numero-de-divisores","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/pares-con-multiplos-con-igual-numero-de-divisores\/","title":{"rendered":"Pares con m\u00faltiplos con igual n\u00famero de divisores"},"content":{"rendered":"

Definir la funci\u00f3n<\/p>\n

\n   paresNoDivisible :: [(Integer, Integer)]\n<\/pre>\n
tal que paresNoDivisible es la lista de los pares (n,k) tales que n < k y k no es divisible por n. Por ejemplo,<\/p>\n
\n   \u03bb> take 10 paresNoDivisible\n   [(2,3),(3,4),(2,5),(3,5),(4,5),(4,6),(5,6),(2,7),(3,7),(4,7)]\n<\/pre>\n
Se observa que en el resultado los pares se ordenan primero seg\u00fan su segundo elemento y los que tienen el mismo segundo elemento se ordenan por el primer elemento.<\/p>\n
Un par especial es un par de enteros positivos (n,k) tales que existe alg\u00fan s tal que \"s y \"s tienen el mismo n\u00famero de divisores. Por ejemplo, (3,4) es un par especial ya que \"2 y \"2 tienen 4 divisores.<\/p>\n
Comprobar con QuickCheck todos los elementos de paresNoDivisible son pares especiales.<\/p>\n
Nota<\/strong>: Este ejercicio est\u00e1 basado en el problema N1 de la Olimp\u00edada Internacional de Matem\u00e1ticas (IMO) del 2018<\/a>.<\/p>\n
Soluciones<\/h4>\n
\nimport Data.List (genericLength, group)\nimport Data.Numbers.Primes (primeFactors)\nimport Test.QuickCheck (Property, (==>), quickCheck)\n\n-- Definici\u00f3n de paresNoDivisible\n-- ==============================\n\nparesNoDivisible :: [(Integer, Integer)]\nparesNoDivisible =\n  filter parNoDivisible pares\n\n-- pares es la lista de los pares de enteros positivos ordenados primero\n-- seg\u00fan su segundo elemento y los que tienen el mismo segundo elemento\n-- est\u00e1n ordenados por el primer elemento. Por ejemplo,\n--    \u03bb> take 10 pares\n--    [(1,2),(1,3),(2,3),(1,4),(2,4),(3,4),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5)]\npares :: [(Integer, Integer)]\npares =\n  [(n,k) | k <- [1..]\n         , n <- [1..k-1]]\n\n-- (parNoDivisible (n,k)) se verifica si n < k y k no es divisible por\n-- n. Por ejemplo,\n--    parNoDivisible (2,3)  ==  True\n--    parNoDivisible (2,4)  ==  False\n--    parNoDivisible (3,2)  ==  False\nparNoDivisible :: (Integer, Integer) -> Bool\nparNoDivisible (n,k) =\n  n < k &&\n  k `mod` n  \/= 0\n\n-- Definiciones de parEspecial\n-- ===========================\n\n-- Para expresar la propiedad se define la funci\u00f3n\n--    parEspecial :: (Integer, Integer) -> Bool\n-- tal que (parEspecial (n,k)) se verifica si existe alg\u00fan s tal que s*n\n-- y s*k tienen el mismo n\u00famero de divisores. Por ejemplo, {-# SCC \"\" #-}\n--    parEspecial (3,4)  ==  True\n--\n-- Nota: La funci\u00f3n parEspecial es una funci\u00f3n parcial ya que s\u00f3lo\n-- termina para los pares especiales.\n\n-- 1\u00aa definici\u00f3n de parEspecial\n-- ============================\n\nparEspecial1 :: (Integer, Integer) -> Bool\nparEspecial1 (n,k) =\n  n < k && not (null [s | s <- [1..]\n                       , numeroDivisores (s * n) ==\n                         numeroDivisores (s * k)])\n\n-- (numeroDivisores n) es el n\u00famero de divisores de n. Por ejemplo,\n--    numeroDivisores 12  ==  6\n--    numeroDivisores 14  ==  4\nnumeroDivisores :: Integer -> Integer\nnumeroDivisores n =\n  genericLength [x | x <- [1..n]\n                   , n `mod` x == 0]\n\n-- 2\u00aa definici\u00f3n de parEspecial\n-- ============================\n\nparEspecial2 :: (Integer, Integer) -> Bool\nparEspecial2 (n,k) =\n  n < k && not (null [s | s <- [1..]\n                       , numeroDivisores2 (s * n) ==\n                         numeroDivisores2 (s * k)])\n\n-- (numeroDivisores2 n) es el n\u00famero de divisores de n. Por ejemplo,\n--    numeroDivisores2 12  ==  6\n--    numeroDivisores2 14  ==  4\nnumeroDivisores2 :: Integer -> Integer\nnumeroDivisores2 =\n  product . map ((+1) . genericLength) . group . primeFactors\n\n-- Comparaci\u00f3n de eficiencia de definiciones de parEspecial\n-- --------------------------------------------------------\n\n-- La comparaci\u00f3n es\n--    \u03bb> parEspecial1 (9,30)\n--    True\n--    (28.24 secs, 15,625,373,696 bytes)\n--    \u03bb> parEspecial2 (9,30)\n--    True\n--    (0.06 secs, 58,698,264 bytes)\n\n-- En lo que sigue, usaremos la 2\u00aa definici\u00f3n\nparEspecial :: (Integer, Integer) -> Bool\nparEspecial = parEspecial2\n\n-- Propiedad\n-- =========\n\n-- La propiedad es\nprop_paresNoDivisible :: Int -> Property\nprop_paresNoDivisible i =\n  i >= 0 ==>\n  parEspecial (paresNoDivisible !! i)\n\n-- La comprobaci\u00f3n es\n--    \u03bb> quickCheck prop_paresNoDivisible\n--    +++ OK, passed 100 tests.\n<\/pre>\n
Nuevas soluciones<\/h4>\n
    \n
  • En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.\n
  • El c\u00f3digo se debe escribir entre una l\u00ednea con <pre lang="haskell"> y otra con <\/pre>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
    Definir la funci\u00f3n paresNoDivisible :: [(Integer, Integer)] tal que paresNoDivisible es la lista de los pares (n,k) tales que n < k y k no es divisible por n. Por ejemplo, \u03bb> take 10 paresNoDivisible [(2,3),(3,4),(2,5),(3,5),(4,5),(4,6),(5,6),(2,7),(3,7),(4,7)] Se observa que en el resultado los pares se ordenan primero seg\u00fan su segundo elemento y los que tienen…<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_kad_post_transparent":"","_kad_post_title":"","_kad_post_layout":"","_kad_post_sidebar_id":"","_kad_post_content_style":"","_kad_post_vertical_padding":"","_kad_post_feature":"","_kad_post_feature_position":"","_kad_post_header":false,"_kad_post_footer":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"footnotes":"","_jetpack_memberships_contains_paid_content":false},"categories":[2],"tags":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/6031"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=6031"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/6031\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":6079,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/6031\/revisions\/6079"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=6031"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=6031"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=6031"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}