{"id":6018,"date":"2021-01-29T06:00:32","date_gmt":"2021-01-29T04:00:32","guid":{"rendered":"http:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/?p=6018"},"modified":"2021-02-05T09:02:52","modified_gmt":"2021-02-05T07:02:52","slug":"terna-pitagorica-en-la-que-el-perimetro-es-multiplo-de-uno-de-los-catetos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/terna-pitagorica-en-la-que-el-perimetro-es-multiplo-de-uno-de-los-catetos\/","title":{"rendered":"Terna pitag\u00f3rica en la que el per\u00edmetro es m\u00faltiplo de uno de los catetos"},"content":{"rendered":"<p>La terna (n,a,b) es una terna pitag\u00f3rica si n\u00b2 = a\u00b2+b\u00b2 y b &lt; a &lt; n. Por ejemplo, (5,4,3) y (10,8,6) son ternas pitag\u00f3ricas.<\/p>\n<p>Una terna pitag\u00f3rica es primitiva si sus tres componentes son primos entre s\u00ed. Por ejemplo, (5,4,3) es una terna pitag\u00f3rica primitiva y (10,8,6) es una terna pitag\u00f3rica no primitiva (ya que sus tres lados son divisibles por 2).<\/p>\n<p>Los elementos (n,a,b) de una terna pitag\u00f3rica son las longitudes de los lados de un tri\u00e1gulo rect\u00e1ngulo; concretamente n es la longitud de la hipotenusa, a la del cateto mayor y b la del cateto menor. Su per\u00edmetro es n+a+b.<\/p>\n<p>Definir la funci\u00f3n<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   ternasPPPDC :: [(Integer,Integer,Integer)]\n<\/pre>\n<p>tal que ternasPPPDC es la lista de las ternas pitag\u00f3ricas primitivas tales que su per\u00edmetro es divisibe por alguno de los catetos. Por ejemplo,<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   \u03bb> take 5 ternasPPPDC\n   [(5,4,3),(13,12,5),(17,15,8),(25,24,7),(37,35,12)]\n   \u03bb> [n | (n,a,b) <- take 15 ternasPPPDC]\n   [5,13,17,25,37,41,61,65,85,101,113,145,145,181,197]\n   \u03bb> ternasPPPDC !! 80\n   (4705,4704,97)\n<\/pre>\n<p>Comprobar con QuickCheck que existen infinitas ternas pitag\u00f3ricas primitivas tales que su per\u00edmetro es divisibe por alguno de los catetos; es decir, para todo x existe alguna terna (n,a,b) en ternasPPPDC tal que n es mayor que x.<\/p>\n<p><strong>Referencia<\/strong>: Este ejercicio est\u00e1 basado en el art\u00edculo <a href=\"https:\/\/bit.ly\/3qNiDrB\">Terna pitag\u00f3rica en la que el per\u00edmetro es m\u00faltiplo de uno de los catetos<\/a> publicado por Antonio Rold\u00e1n en \u00abN\u00fameros y hoja de c\u00e1lculo\u00bb el 21 de enero de 2021.<\/p>\n<h4>Soluciones<\/h4>\n<pre lang=\"haskell\">\nimport Data.Numbers.Primes (primes)\nimport Test.QuickCheck (quickCheck)\n\n-- 1\u00aa soluci\u00f3n\n-- ===========\n\nternasPPPDC :: [(Integer,Integer,Integer)]\nternasPPPDC =\n  [(n,a,b) | (n,a,b) <- ternasPitagoricasPrimitivas\n           , (n+a+b) `mod` a == 0 || (n+a+b) `mod` b == 0]\n\n-- ternasPitagoricasPrimitivas es la lista de las ternas pitag\u00f3ricas\n-- primitivas. Por ejemplo,\n--    \u03bb> take 5 ternasPitagoricasPrimitivas\n--    [(5,4,3),(13,12,5),(17,15,8),(25,24,7),(29,21,20)]\nternasPitagoricasPrimitivas :: [(Integer,Integer,Integer)]\nternasPitagoricasPrimitivas =\n  [(n,a,b) | (n,a,b) <- ternasPitagoricas\n           , foldl1 gcd [n,a,b] == 1]\n\n-- ternasPitagoricas es la lista de las ternas pitag\u00f3ricas. Por ejemplo,\n--    \u03bb> take 5 ternasPitagoricas\n--    [(5,4,3),(10,8,6),(13,12,5),(15,12,9),(17,15,8)]\nternasPitagoricas :: [(Integer,Integer,Integer)]\nternasPitagoricas =\n    [(n,a,b) | n <- [1..],\n               a <- [1..n-1],\n               let b2 = n^2-a^2,\n               let b = round (sqrt (fromIntegral b2)),\n               b < a,\n               b^2 == b2]\n\n-- 2\u00aa soluci\u00f3n\n-- ===========\n\nternasPPPDC2 :: [(Integer,Integer,Integer)]\nternasPPPDC2 =\n  [(n,a,b) | (n,a,b) <- ternasPitagoricasPrimitivas2\n           , (n+a+b) `mod` a == 0 || (n+a+b) `mod` b == 0]\n\nternasPitagoricasPrimitivas2 :: [(Integer,Integer,Integer)]\nternasPitagoricasPrimitivas2 =\n  [(n,a,b) | (n,a,b) <- ternasPitagoricas2\n           , foldl1 gcd [n,a,b] == 1]\n\nternasPitagoricas2 :: [(Integer,Integer,Integer)]\nternasPitagoricas2 =\n    [(n,a,b) | n <- [5,9..],\n               a <- [1..n-1],\n               let b2 = n^2-a^2,\n               let b = round (sqrt (fromIntegral b2)),\n               b < a,\n               b^2 == b2]\n\n-- 3\u00aa soluci\u00f3n\n-- ===========\n\nternasPPPDC3 :: [(Integer,Integer,Integer)]\nternasPPPDC3 =\n  [(n,a,b) | (n,a,b) <- ternasPitagoricasPrimitivas3\n           , (n+a+b) `mod` a == 0 || (n+a+b) `mod` b == 0]\n\nternasPitagoricasPrimitivas3 :: [(Integer,Integer,Integer)]\nternasPitagoricasPrimitivas3 =\n  [(n,a,b) | (n,a,b) <- ternasPitagoricas3\n           , foldl1 gcd [n,a,b] == 1]\n\nternasPitagoricas3 :: [(Integer,Integer,Integer)]\nternasPitagoricas3 =\n    [(n,a,b) | n <- [5,9..],\n               or [x `mod` 4 == 1 | x <- takeWhile (<=n) primes, n `mod` x == 0],\n               a <- [1..n-1],\n               let b2 = n^2-a^2,\n               let b = round (sqrt (fromIntegral b2)),\n               b < a,\n               b^2 == b2]\n\n-- Comparaci\u00f3n de eficiencia\n-- =========================\n\n-- La comparaci\u00f3n es\n--    \u03bb> ternasPPPDC !! 80\n--    (4705,4704,97)\n--    (19.66 secs, 21,249,420,072 bytes)\n--    \u03bb> ternasPPPDC2 !! 80\n--    (4705,4704,97)\n--    (5.00 secs, 5,316,680,464 bytes)\n--    \u03bb> ternasPPPDC3 !! 80\n--    (4705,4704,97)\n--    (3.68 secs, 4,234,492,416 bytes)\n\n-- Propiedad\n-- =========\n\n-- La propiedad es\nprop_ternasPPPDC :: Integer -> Bool\nprop_ternasPPPDC x =\n  not (null [(n,a,b) | (n,a,b) <- ternasPPPDC\n                     , n > x])\n\n-- La comprobaci\u00f3n es\n--    \u03bb> quickCheck prop_ternasPPPDC\n--    +++ OK, passed 100 tests.\n<\/pre>\n<h4>Nuevas soluciones<\/h4>\n<ul>\n<li>En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.\n<li>El c\u00f3digo se debe escribir entre una l\u00ednea con &#60;pre lang=&quot;haskell&quot;&#62; y otra con &#60;\/pre&#62;\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>La terna (n,a,b) es una terna pitag\u00f3rica si n\u00b2 = a\u00b2+b\u00b2 y b &lt; a &lt; n. Por ejemplo, (5,4,3) y (10,8,6) son ternas pitag\u00f3ricas. Una terna pitag\u00f3rica es primitiva si sus tres componentes son primos entre s\u00ed. Por ejemplo, (5,4,3) es una terna pitag\u00f3rica primitiva y (10,8,6) es una terna pitag\u00f3rica no primitiva (ya&#8230;<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_kad_post_transparent":"","_kad_post_title":"","_kad_post_layout":"","_kad_post_sidebar_id":"","_kad_post_content_style":"","_kad_post_vertical_padding":"","_kad_post_feature":"","_kad_post_feature_position":"","_kad_post_header":false,"_kad_post_footer":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"footnotes":"","_jetpack_memberships_contains_paid_content":false},"categories":[4],"tags":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/6018"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=6018"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/6018\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":6056,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/6018\/revisions\/6056"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=6018"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=6018"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=6018"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}