{"id":5969,"date":"2021-01-12T06:00:56","date_gmt":"2021-01-12T04:00:56","guid":{"rendered":"http:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/?p=5969"},"modified":"2021-01-19T09:21:55","modified_gmt":"2021-01-19T07:21:55","slug":"numeros_duffinianos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/numeros_duffinianos\/","title":{"rendered":"N\u00fameros duffinianos"},"content":{"rendered":"<p>Los <a href=\"https:\/\/bit.ly\/2X1dMqd\">n\u00fameros duffinianos<\/a>, llamados as\u00ed por Richard Duffy, son los n\u00fameros compuestos n que son coprimos con la suma de sus divisores; es decir, n y la suma de los divisores de n no tienen ning\u00fan factor primo com\u00fan.<\/p>\n<p>Por ejemplo, 35 es un n\u00famero duffiniano ya que la suma de sus divisores es 1 + 5 + 7 + 35 = 48 que es coprimo con 35.<\/p>\n<p>Definir las funciones<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   esDuffiniano :: Integer -> Bool\n   duffinianos :: [Integer]\n<\/pre>\n<p>tales que<\/p>\n<ul>\n<li>(esDuffiniano n) se verifica si n es duffiniano. Por ejemplo,<\/li>\n<\/ul>\n<pre lang=\"text\">\n     esDuffiniano 35    ==  True\n     esDuffiniano 2021  ==  True\n     esDuffiniano 11    ==  False\n     esDuffiniano 12    ==  False\n     esDuffiniano (product [1..2*10^4])  ==  False\n<\/pre>\n<ul>\n<li>duffinianos es la sucesi\u00f3n de los n\u00fameros duffinianos. Por ejemplo,<\/li>\n<\/ul>\n<pre lang=\"text\">\n     take 12 duffinianos  ==  [4,8,9,16,21,25,27,32,35,36,39,49]\n     length (takeWhile (< 10^5) duffinianos)  ==  24434\n<\/pre>\n<p>Comprobar con QuickCheck que los n\u00fameros de la forma p^k, con p un primo mayor que 2 y k un entero mayor que 1, son duffinianos.<\/p>\n<h4>Soluciones<\/h4>\n<pre lang=\"haskell\">\nimport Data.List (genericLength, group)\nimport Data.Numbers.Primes (isPrime, primeFactors, primes)\nimport Test.QuickCheck (Property, (==>), quickCheck)\n\n-- 1\u00aa soluci\u00f3n\n-- ===========\n\nduffinianos :: [Integer]\nduffinianos = filter esDuffiniano [1..]\n\nesDuffiniano :: Integer -> Bool\nesDuffiniano n =\n  n > 1 &&\n  not (isPrime n) &&\n  gcd n (sumaDivisores n) == 1\n\n-- (sumaDivisores n) es la suma de los divisores de n. Por ejemplo.\n--      sumaDivisores 35  ==  48\nsumaDivisores :: Integer -> Integer\nsumaDivisores = sum . divisores\n\n-- (divisores n) es la lista de los divisores de n. Por ejemplo,\n--      divisores 35  ==  [1,5,7,35]\ndivisores :: Integer -> [Integer]\ndivisores n = [x | x <- [1..n]\n                 , n `mod` x == 0]\n\n-- 2\u00aa soluci\u00f3n\n-- ===========\n\nduffinianos2 :: [Integer]\nduffinianos2 = filter esDuffiniano2 [1..]\n\nesDuffiniano2 :: Integer -> Bool\nesDuffiniano2 n =\n  n > 1 &&\n  not (isPrime n) &&\n  gcd n (sumaDivisores2 n) == 1\n\n-- Si la descomposici\u00f3n de x en factores primos es\n--    x = p(1)^e(1) . p(2)^e(2) . .... . p(n)^e(n)\n-- entonces la suma de los divisores de x es\n--    p(1)^(e(1)+1) - 1     p(2)^(e(2)+1) - 1       p(n)^(e(2)+1) - 1\n--   ------------------- . ------------------- ... -------------------\n--        p(1)-1                p(2)-1                  p(n)-1\n-- Ver la demostraci\u00f3n en http:\/\/bit.ly\/2zUXZPc\n\n-- (sumaDivisores2 n) es la suma de los divisores de n. Por ejemplo.\n--      sumaDivisores2 35  ==  48\nsumaDivisores2 :: Integer -> Integer\nsumaDivisores2 x =\n  product [(p^(e+1)-1) `div` (p-1) | (p,e) <- factorizacion x]\n\n-- (factorizacion x) es la lista de las bases y exponentes de la\n-- descomposici\u00f3n prima de x. Por ejemplo,\n--    factorizacion 600  ==  [(2,3),(3,1),(5,2)]\nfactorizacion :: Integer -> [(Integer,Integer)]\nfactorizacion = map primeroYlongitud . group . primeFactors\n\n-- (primeroYlongitud xs) es el par formado por el primer elemento de xs\n-- y la longitud de xs. Por ejemplo,\n--    primeroYlongitud [3,2,5,7] == (3,4)\nprimeroYlongitud :: [a] -> (a,Integer)\nprimeroYlongitud (x:xs) = (x, 1 + genericLength xs)\nprimeroYlongitud _      = error \"No tiene elementos\"\n\n-- Comparaci\u00f3n de eficiencia\n-- =========================\n\n-- La comparaci\u00f3n es\n--    \u03bb> esDuffiniano (product [1..11])\n--    False\n--    (14.09 secs, 7,983,535,608 bytes)\n--    \u03bb> esDuffiniano2 (product [1..11])\n--    False\n--    (0.01 secs, 125,760 bytes)\n--\n--    \u03bb> head (dropWhile (<10^4) duffinianos)\n--    10000\n--    (13.45 secs, 8,872,967,976 bytes)\n--    \u03bb> head (dropWhile (<10^4) duffinianos2)\n--    10000\n--    (0.15 secs, 280,668,240 bytes)\n--\n--    \u03bb> length (takeWhile (<10^4) duffinianos)\n--    2370\n--    (13.43 secs, 8,966,138,016 bytes)\n--    \u03bb> length (takeWhile (<10^4) duffinianos2)\n--    2370\n--    (0.15 secs, 286,120,048 bytes)\n\n-- Propiedad\n-- =========\n\n-- La propiedad es\nprop_duffinianos :: Int -> Int -> Property\nprop_duffinianos n k =\n  n >= 0 && k > 1 ==> esDuffiniano2 (p^k)\n  where p = primes !! n\n\n-- La comprobaci\u00f3n es\n--    \u03bb> quickCheck prop_duffinianos\n--    +++ OK, passed 100 tests.\n<\/pre>\n<h4>Nuevas soluciones<\/h4>\n<ul>\n<li>En los comentarios se pueden escribir nuevas soluciones.\n<li>El c\u00f3digo se debe escribir entre una l\u00ednea con &#60;pre lang=&quot;haskell&quot;&#62; y otra con &#60;\/pre&#62;\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Los n\u00fameros duffinianos, llamados as\u00ed por Richard Duffy, son los n\u00fameros compuestos n que son coprimos con la suma de sus divisores; es decir, n y la suma de los divisores de n no tienen ning\u00fan factor primo com\u00fan. 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