{"id":5773,"date":"2020-04-09T05:30:18","date_gmt":"2020-04-09T03:30:18","guid":{"rendered":"http:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/?p=5773"},"modified":"2022-03-26T11:28:11","modified_gmt":"2022-03-26T09:28:11","slug":"calculo-de-pi-mediante-la-variante-de-euler-de-la-serie-armonica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/calculo-de-pi-mediante-la-variante-de-euler-de-la-serie-armonica\/","title":{"rendered":"C\u00e1lculo de pi mediante la variante de Euler de la serie arm\u00f3nica"},"content":{"rendered":"<p>En el art\u00edculo <a href=\"http:\/\/bit.ly\/2kR678e\">El desarrollo m\u00e1s bello de Pi como suma infinita<\/a>, Miguel \u00c1ngel Morales comenta el desarrollo de pi publicado por <a href=\"https:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Leonhard_Euler\">Leonhard Euler<\/a> en su libro \u00abIntroductio in Analysis Infinitorum\u00bb (1748).<\/p>\n<p>El desarrollo es el siguiente<br \/>\n<a href=\"https:\/\/i0.wp.com\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/Calculo_de_pi_mediante_la_variante_de_Euler_de_la_serie_armonica_1.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/Calculo_de_pi_mediante_la_variante_de_Euler_de_la_serie_armonica_1.png?resize=961%2C90\" alt=\"Calculo_de_pi_mediante_la_variante_de_Euler_de_la_serie_armonica_1\" width=\"961\" height=\"90\" class=\"aligncenter size-full wp-image-2981\" srcset=\"https:\/\/i0.wp.com\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/Calculo_de_pi_mediante_la_variante_de_Euler_de_la_serie_armonica_1.png?w=961&amp;ssl=1 961w, https:\/\/i0.wp.com\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/Calculo_de_pi_mediante_la_variante_de_Euler_de_la_serie_armonica_1.png?resize=300%2C28&amp;ssl=1 300w, https:\/\/i0.wp.com\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/Calculo_de_pi_mediante_la_variante_de_Euler_de_la_serie_armonica_1.png?resize=100%2C9&amp;ssl=1 100w, https:\/\/i0.wp.com\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/Calculo_de_pi_mediante_la_variante_de_Euler_de_la_serie_armonica_1.png?resize=150%2C14&amp;ssl=1 150w\" sizes=\"(max-width: 961px) 100vw, 961px\" data-recalc-dims=\"1\" \/><\/a><br \/>\ny se obtiene a partir de la serie arm\u00f3nica<br \/>\n<a href=\"https:\/\/i0.wp.com\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/Calculo_de_pi_mediante_la_variante_de_Euler_de_la_serie_armonica_2.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/Calculo_de_pi_mediante_la_variante_de_Euler_de_la_serie_armonica_2.png?resize=898%2C98\" alt=\"Calculo_de_pi_mediante_la_variante_de_Euler_de_la_serie_armonica_2\" width=\"898\" height=\"98\" class=\"aligncenter size-full wp-image-2982\" srcset=\"https:\/\/i0.wp.com\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/Calculo_de_pi_mediante_la_variante_de_Euler_de_la_serie_armonica_2.png?w=898&amp;ssl=1 898w, https:\/\/i0.wp.com\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/Calculo_de_pi_mediante_la_variante_de_Euler_de_la_serie_armonica_2.png?resize=300%2C32&amp;ssl=1 300w, https:\/\/i0.wp.com\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/Calculo_de_pi_mediante_la_variante_de_Euler_de_la_serie_armonica_2.png?resize=100%2C10&amp;ssl=1 100w, https:\/\/i0.wp.com\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/Calculo_de_pi_mediante_la_variante_de_Euler_de_la_serie_armonica_2.png?resize=150%2C16&amp;ssl=1 150w\" sizes=\"(max-width: 898px) 100vw, 898px\" data-recalc-dims=\"1\" \/><\/a><br \/>\nmodificando s\u00f3lo el signo de algunos t\u00e9rminos seg\u00fan el siguiente criterio:<\/p>\n<ul>\n<li>Dejamos un + cuando el denominador de la fracci\u00f3n sea un 2 o un primo de la forma 4m-1. <\/li>\n<li>Cambiamos a &#8211; si el denominador de la fracci\u00f3n es un primo de la forma 4m+1. <\/li>\n<li>Si el n\u00famero es compuesto ponemos el signo que quede al multiplicar los signos correspondientes a cada factor. <\/li>\n<\/ul>\n<p>Por ejemplo,<\/p>\n<ul>\n<li>la de denominador 3 = 4&#215;1-1 lleva un +,<\/li>\n<li>la de denominador 5 = 4&#215;1+1 lleva un -,<\/li>\n<li>la  de denominador 13 = 4&#215;3+1 lleva un -,<\/li>\n<li>la de denominador 6 = 2&#215;3 lleva un + (porque los dos llevan un +),<\/li>\n<li>la de denominador 10 = 2&#215;5 lleva un &#8211; (porque el 2 lleva un + y el 5 lleva un -) y<\/li>\n<li>la de denominador 50 = 5x5x2 lleva un + (un &#8211; por el primer 5, otro &#8211; por el segundo 5 y un + por el 2).<\/li>\n<\/ul>\n<p>Definir las funciones<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n  aproximacionPi :: Int -> Double\n  grafica        :: Int -> IO ()\n<\/pre>\n<p>tales que<\/p>\n<ul>\n<li>(aproximacionPi n) es la aproximaci\u00f3n de pi obtenida sumando los n primeros t\u00e9rminos de la serie de Euler. Por ejemplo.<\/li>\n<\/ul>\n<pre lang=\"text\">\n     aproximacionPi 1        ==  1.0\n     aproximacionPi 10       ==  2.3289682539682537\n     aproximacionPi 100      ==  2.934318000847734\n     aproximacionPi 1000     ==  3.0603246224585128\n     aproximacionPi 10000    ==  3.1105295744825403\n     aproximacionPi 100000   ==  3.134308801935256\n     aproximacionPi 1000000  ==  3.1395057903490806\n<\/pre>\n<ul>\n<li>(grafica n) dibuja la gr\u00e1fica de las aproximaciones de pi usando k sumando donde k toma los valores de la lista [100,110..n]. Por ejemplo, al evaluar (grafica 4000) se obtiene<br \/>\n<a href=\"https:\/\/i0.wp.com\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/Calculo_de_pi_mediante_la_variante_de_Euler_de_la_serie_armonica_3.png.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/Calculo_de_pi_mediante_la_variante_de_Euler_de_la_serie_armonica_3.png.png?resize=634%2C485\" alt=\"Calculo_de_pi_mediante_la_variante_de_Euler_de_la_serie_armonica_3.png\" width=\"634\" height=\"485\" class=\"aligncenter size-full wp-image-2983\" srcset=\"https:\/\/i0.wp.com\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/Calculo_de_pi_mediante_la_variante_de_Euler_de_la_serie_armonica_3.png.png?w=634&amp;ssl=1 634w, https:\/\/i0.wp.com\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/Calculo_de_pi_mediante_la_variante_de_Euler_de_la_serie_armonica_3.png.png?resize=300%2C229&amp;ssl=1 300w, https:\/\/i0.wp.com\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/Calculo_de_pi_mediante_la_variante_de_Euler_de_la_serie_armonica_3.png.png?resize=100%2C76&amp;ssl=1 100w, https:\/\/i0.wp.com\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/Calculo_de_pi_mediante_la_variante_de_Euler_de_la_serie_armonica_3.png.png?resize=150%2C114&amp;ssl=1 150w\" sizes=\"(max-width: 634px) 100vw, 634px\" data-recalc-dims=\"1\" \/><\/a><\/li>\n<\/ul>\n<h4>Soluciones<\/h4>\n<pre lang=\"haskell\">\nimport Data.Numbers.Primes\nimport Graphics.Gnuplot.Simple\n\n-- 1\u00aa definici\u00f3n\n-- =============\n\naproximacionPi :: Int -> Double\naproximacionPi n =\n  sum [1 \/ fromIntegral (k * signo k) | k <- [1..n]] \n\nsignoPrimo :: Int -> Int\nsignoPrimo 2 = 1\nsignoPrimo p | p `mod` 4 == 3 = 1\n             | otherwise      = -1\n\nsigno :: Int -> Int\nsigno n | isPrime n = signoPrimo n\n        | otherwise = product (map signoPrimo (primeFactors n))\n\n-- 2\u00aa definici\u00f3n\n-- =============\n\naproximacionPi2 :: Int -> Double\naproximacionPi2 n = serieEuler !! (n-1)\n\nserieEuler :: [Double]\nserieEuler =\n  scanl1 (+) [1 \/ fromIntegral (n * signo n) | n <- [1..]]\n\n-- Definici\u00f3n de grafica\n-- =====================\n\ngrafica :: Int -> IO ()\ngrafica n = \n    plotList [Key Nothing]\n             [(k,aproximacionPi2 k) | k <- [100,110..n]]\n<\/pre>\n<h4>Otras soluciones<\/h4>\n<ul>\n<li>Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.\n<li>El c\u00f3digo se debe escribir entre una l\u00ednea con &#60;pre lang=&quot;haskell&quot;&#62; y otra con &#60;\/pre&#62;\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>En el art\u00edculo El desarrollo m\u00e1s bello de Pi como suma infinita, Miguel \u00c1ngel Morales comenta el desarrollo de pi publicado por Leonhard Euler en su libro \u00abIntroductio in Analysis Infinitorum\u00bb (1748). 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