{"id":5745,"date":"2020-03-30T07:08:31","date_gmt":"2020-03-30T05:08:31","guid":{"rendered":"http:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/?p=5745"},"modified":"2020-04-06T08:48:33","modified_gmt":"2020-04-06T06:48:33","slug":"la-conjetura-de-gilbreath","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/la-conjetura-de-gilbreath\/","title":{"rendered":"La conjetura de Gilbreath"},"content":{"rendered":"<p>Partiendo de los 5 primeros n\u00fameros primos y calculando el valor absoluto de la diferencia de cada dos n\u00fameros consecutivos hasta quedarse con un \u00fanico n\u00famero se obtiene la siguiente tabla:<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   2, 3, 5, 7, 11\n   1, 2, 2, 4 \n   1, 0, 2\n   1, 2 \n   1\n<\/pre>\n<p>Se observa que todas las filas, salvo la inicial, comienzan con el n\u00famero 1.<\/p>\n<p>Repitiendo el proceso pero empezando con los 8 primeros n\u00fameros primos se obtiene la siguiente tabla:<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 \n   1, 2, 2, 4,  2,  4,  2  \n   1, 0, 2, 2,  2,  2 \n   1, 2, 0, 0,  0 \n   1, 2, 0, 0 \n   1, 2, 0 \n   1, 2 \n   1 \n<\/pre>\n<p>Se observa que, de nuevo, todas las filas, salvo la inicial, comienza con el n\u00famero 1.<\/p>\n<p>La <a href=\"http:\/\/bit.ly\/2Fd0P1O\">conjetura de Gilbreath<\/a> afirma que si escribimos la sucesi\u00f3n de n\u00fameros primos completa y despu\u00e9s construimos las correspondientes sucesiones formadas por el valor absoluto de la resta de cada pareja de n\u00fameros consecutivos, entonces todas esas filas que obtenemos comienzan siempre por 1.<\/p>\n<p>El objetivo de este ejercicio es comprobar experimentalmente dicha conjetura.<\/p>\n<p>Para la representaci\u00f3n, usaremos la sim\u00e9trica de la que hemos comentado anteriormente; es decir,<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n    2\n    3, 1\n    5, 2, 1\n    7, 2, 0, 1\n   11, 4, 2, 2, 1\n   13, 2, 2, 0, 2, 1\n   17, 4, 2, 0, 0, 2, 1\n   19, 2, 2, 0, 0, 0, 2, 1\n<\/pre>\n<p>en la que la primera columna son los n\u00fameros primos y el elemento de la fila i y columna j (con i, j > 1) es el valor absoluto de la diferencia de los elementos (i,j-1) e (i-1,j-1).<\/p>\n<p>Definir las siguientes funciones<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   siguiente           :: Integer -> [Integer] -> [Integer]\n   triangulo           :: [[Integer]]\n   conjeturaGilbreath  :: Int -> Bool\n<\/pre>\n<p>tales que<\/p>\n<ul>\n<li>(siguiente x ys) es la l\u00ednea siguiente de la ys que empieza por x en la tabla de Gilbreath; es decir, si ys es [y1,y2,&#8230;,yn], entonces (siguiente x ys) es [x,|y1-x|,|y2-|y1-x||,&#8230;]. Por ejemplo,<\/li>\n<\/ul>\n<pre lang=\"text\">  \n     siguiente  7 [5,2,1]               ==  [7,2,0,1]\n     siguiente 29 [23,4,2,0,0,0,0,2,1]  ==  [29,6,2,0,0,0,0,0,2,1]\n<\/pre>\n<ul>\n<li>triangulo es el tri\u00e1ngulo de Gilbreath. Por ejemplo,<\/li>\n<\/ul>\n<pre lang=\"text\">\n     \u03bb> take 10 triangulo\n     [[ 2],\n      [ 3,1],\n      [ 5,2,1],\n      [ 7,2,0,1],\n      [11,4,2,2,1],\n      [13,2,2,0,2,1],\n      [17,4,2,0,0,2,1],\n      [19,2,2,0,0,0,2,1],\n      [23,4,2,0,0,0,0,2,1],\n      [29,6,2,0,0,0,0,0,2,1]]\n<\/pre>\n<ul>\n<li>(conjeturaGilbreath n) se verifica si se cumple la conjetura de Gilbreath para los n primeros n\u00fameros primos; es decir, en el tri\u00e1ngulo de Gilbreath cuya primera columna son los n primeros n\u00fameros primos, todas las filas a partir de la segunda terminan en 1. Por ejemplo, <\/li>\n<\/ul>\n<pre lang=\"text\"> \n     \u03bb> conjeturaGilbreath 1000\n     True\n<\/pre>\n<h4>Soluciones<\/h4>\n<pre lang=\"haskell\">\nimport Data.Numbers.Primes\n\nsiguiente :: Integer -> [Integer] -> [Integer]\nsiguiente x ys = scanl (\\m n -> abs (m-n)) x ys \n\ntriangulo :: [[Integer]]\ntriangulo = \n  [2] : [siguiente x ys | (x,ys) <- zip (tail primes) triangulo]\n\nconjeturaGilbreath :: Int -> Bool\nconjeturaGilbreath n = all p (tail (take n triangulo))\n  where p xs = last xs == 1\n<\/pre>\n<h4>Otras soluciones<\/h4>\n<ul>\n<li>Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.\n<li>El c\u00f3digo se debe escribir entre una l\u00ednea con &#60;pre lang=&quot;haskell&quot;&#62; y otra con &#60;\/pre&#62;\n<\/ul>\n<h4>Pensamiento<\/h4>\n<blockquote><p>\n\u00abLa simplicidad es la \u00faltima sofisticaci\u00f3n.\u00bb <\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Leonardo_da_Vinci\">Leonardo da Vinci<\/a>.\n<\/p><\/blockquote>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Partiendo de los 5 primeros n\u00fameros primos y calculando el valor absoluto de la diferencia de cada dos n\u00fameros consecutivos hasta quedarse con un \u00fanico n\u00famero se obtiene la siguiente tabla: 2, 3, 5, 7, 11 1, 2, 2, 4 1, 0, 2 1, 2 1 Se observa que todas las filas, salvo la inicial,&#8230;<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_kad_post_transparent":"","_kad_post_title":"","_kad_post_layout":"","_kad_post_sidebar_id":"","_kad_post_content_style":"","_kad_post_vertical_padding":"","_kad_post_feature":"","_kad_post_feature_position":"","_kad_post_header":false,"_kad_post_footer":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"footnotes":"","_jetpack_memberships_contains_paid_content":false},"categories":[4],"tags":[130,41,8,134,11,173,78,45,47,9],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5745"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=5745"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5745\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5767,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5745\/revisions\/5767"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=5745"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=5745"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=5745"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}