{"id":5714,"date":"2020-03-23T05:30:21","date_gmt":"2020-03-23T03:30:21","guid":{"rendered":"http:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/?p=5714"},"modified":"2022-03-26T11:28:47","modified_gmt":"2022-03-26T09:28:47","slug":"el-sesgo-de-chebyshev","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/el-sesgo-de-chebyshev\/","title":{"rendered":"El sesgo de Chebyshev"},"content":{"rendered":"<p>Un n\u00famero primo distinto de 2 tiene la forma 4k + 1 o 4k + 3. Chebyshev not\u00f3 en 1853 que la mayor\u00eda de las veces hay m\u00e1s n\u00fameros primos de la forma 4k + 3 que n\u00fameros primos de la forma 4k + 1 menores que un n\u00famero dado. Esto se llama el <a href=\"https:\/\/bit.ly\/33BmLke\">sesgo de Chebyshev<\/a>.<\/p>\n<p>Definir las funciones<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   distribucionPrimosModulo4 :: [(Integer, Integer, Integer)]\n   empatesRestosModulo4 :: [Integer]\n   mayoria1RestosModulo4 :: [Integer]\n   grafica_Chebyshev :: Int -> IO ()\n<\/pre>\n<p>tales que<\/p>\n<ul>\n<li>distribucionPrimosModulo4 es la lista de las ternas (p,a,b) tales que p es un n\u00fameros primo, a es la cantidad de primos menores o iguales que p congruentes con 1 m\u00f3dulo 4 y b es la cantidad de primos menores o  iguales que p congruentes con 3 m\u00f3dulo 4. Por ejemplo,<\/li>\n<\/ul>\n<pre lang=\"text\">\n     \u03bb> take 7 distribucionPrimosModulo4\n     [(2,0,0),(3,0,1),(5,1,1),(7,1,2),(11,1,3),(13,2,3),(17,3,3)]\n     \u03bb> distribucionPrimosModulo4 !! (5*10^5)\n     (7368791,249888,250112)\n<\/pre>\n<ul>\n<li>empatesRestosModulo4 es la lista de los primos p tales que la cantidad de primos menores o iguales que p congruentes con 1 m\u00f3dulo 4 es igual a la cantidad de primos menores o iguales que p congruentes con 3 m\u00f3dulo 4. Por ejemplo,<\/li>\n<\/ul>\n<pre lang=\"text\"> \n     \u03bb> take 10 empatesRestosModulo4\n     [2,5,17,41,461,26833,26849,26863,26881,26893]\n     \u03bb> length (takeWhile (<= 10^6) empatesRestosModulo4)\n     112\n<\/pre>\n<ul>\n<li>mayoria1RestosModulo4 es la lista de los primos p tales que la cantidad de primos menores o iguales que p congruentes con 1 m\u00f3dulo 4 es mayor que la cantidad de primos menores o iguales que p congruentes con 3 m\u00f3dulo 4. Por ejemplo,<\/li>\n<\/ul>\n<pre lang=\"text\">  \n     \u03bb> take 10 mayoria1RestosModulo4\n     [26861,616841,616849,616877,616897,616909,616933,616943,616951,616961]\n     \u03bb> length (takeWhile (<= 10^6) mayoria1RestosModulo4)\n     239\n<\/pre>\n<ul>\n<li>(graficaChebyshev n) dibuja la gr\u00e1fica de los puntos (p,b-a) donde p es uno de los n primeros primos impares, a es la cantidad de primos menores o iguales que p congruentes con 1 m\u00f3dulo 4 y b es la cantidad de primos menores o  iguales que p congruentes con 3 m\u00f3dulo 4. Por ejemplo, (graficaChebyshev 5000) dibuja la figura<br \/>\n<a href=\"https:\/\/i0.wp.com\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/El_sesgo_de_Chebyshev.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/El_sesgo_de_Chebyshev.png?resize=640%2C480\" alt=\"\" width=\"640\" height=\"480\" class=\"aligncenter size-full wp-image-5716\" srcset=\"https:\/\/i0.wp.com\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/El_sesgo_de_Chebyshev.png?w=640&amp;ssl=1 640w, https:\/\/i0.wp.com\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/El_sesgo_de_Chebyshev.png?resize=300%2C225&amp;ssl=1 300w\" sizes=\"(max-width: 640px) 100vw, 640px\" data-recalc-dims=\"1\" \/><\/a><\/li>\n<\/ul>\n<h4>Soluciones<\/h4>\n<p>[schedule expon='2020-03-30' expat=\"06:00\"]<\/p>\n<ul>\n<li>Las soluciones se pueden escribir en los comentarios.\n<li>El c\u00f3digo se debe escribir entre una l\u00ednea con &#60;pre lang=&quot;haskell&quot;&#62; y otra con &#60;\/pre&#62;\n<\/ul>\n<h4>Pensamiento<\/h4>\n<blockquote><p>\n\"El valor de un problema no es tanto el de encontrar la respuesta como el de las ideas e intentos que obliga su resoluci\u00f3n.\" <\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Israel_Nathan_Herstein\">Israel Nathan Herstein<\/a>.\n<\/p><\/blockquote>\n<p>[\/schedule]<\/p>\n<p>[schedule on='2020-03-30' at=\"06:00\"]<\/p>\n<pre lang=\"haskell\">\r\nimport Data.Numbers.Primes\r\nimport Graphics.Gnuplot.Simple\r\n\r\ndistribucionPrimosModulo4 :: [(Integer, Integer, Integer)]\r\ndistribucionPrimosModulo4 = (2,0,0) : aux (tail primes) (0, 0)\r\n  where aux (p:ps) (a,b)\r\n          | p `mod` 4 == 1 = (p,a+1,b) : aux ps (a+1,b)\r\n          | otherwise      = (p,a,b+1) : aux ps (a,b+1)\r\n\r\nempatesRestosModulo4 :: [Integer]\r\nempatesRestosModulo4 =\r\n  [p | (p,a,b) <- distribucionPrimosModulo4\r\n     , a == b]\r\n  \r\nmayoria1RestosModulo4 :: [Integer]\r\nmayoria1RestosModulo4 =\r\n  [p | (p,a,b) <- distribucionPrimosModulo4\r\n     , a > b]\r\n  \r\ngrafica :: Int -> IO ()\r\ngrafica n = \r\n  plotLists [Key Nothing]\r\n            [ [(p, a) | (p,a,b) <- xs]\r\n            , [(p, b) | (p,a,b) <- xs]\r\n            , [(p, b-a) | (p,a,b) <- xs]]\r\n  where xs = take n (tail (distribucionPrimosModulo4))\r\n\r\ngraficaChebyshev :: Int -> IO ()\r\ngraficaChebyshev n = \r\n  plotList [ Key Nothing\r\n           , PNG \"El_sesgo_de_Chebyshev.png\"\r\n           ]\r\n           [(p, b-a) | (p,a,b) <- xs]\r\n  where xs = take n (tail (distribucionPrimosModulo4))\r\n<\/pre>\n<h4>Otras soluciones<\/h4>\n<ul>\n<li>Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.\n<li>El c\u00f3digo se debe escribir entre una l\u00ednea con &#60;pre lang=&quot;haskell&quot;&#62; y otra con &#60;\/pre&#62;\n<\/ul>\n<p>[\/schedule]<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Un n\u00famero primo distinto de 2 tiene la forma 4k + 1 o 4k + 3. Chebyshev not\u00f3 en 1853 que la mayor\u00eda de las veces hay m\u00e1s n\u00fameros primos de la forma 4k + 3 que n\u00fameros primos de la forma 4k + 1 menores que un n\u00famero dado. Esto se llama el sesgo&#8230;<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_kad_post_transparent":"","_kad_post_title":"","_kad_post_layout":"","_kad_post_sidebar_id":"","_kad_post_content_style":"","_kad_post_vertical_padding":"","_kad_post_feature":"","_kad_post_feature_position":"","_kad_post_header":false,"_kad_post_footer":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"footnotes":"","_jetpack_memberships_contains_paid_content":false},"categories":[4],"tags":[8,376,89,375,173,6,45],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5714"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=5714"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5714\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5717,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5714\/revisions\/5717"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=5714"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=5714"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=5714"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}