{"id":5519,"date":"2020-02-07T05:30:27","date_gmt":"2020-02-07T03:30:27","guid":{"rendered":"http:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/?p=5519"},"modified":"2020-02-17T18:57:56","modified_gmt":"2020-02-17T16:57:56","slug":"la-menos-conocida-de-las-conjeturas-de-goldbach","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/la-menos-conocida-de-las-conjeturas-de-goldbach\/","title":{"rendered":"La menos conocida de las conjeturas de Goldbach"},"content":{"rendered":"<p><a href=\"http:\/\/bit.ly\/37XFvfm\">Goldbach<\/a>, el de la famosa conjetura, hizo por lo menos otra conjetura que finalmente result\u00f3 ser falsa.<\/p>\n<p>Esta \u00faltima dec\u00eda que todo n\u00famero compuesto impar puede expresarse como la suma de un n\u00famero primo m\u00e1s dos veces la suma de un cuadrado. As\u00ed por ejemplo,<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n    9 =  7 + 2\u00d71^2\n   15 =  7 + 2\u00d72^2\n   21 =  3 + 2\u00d73^2\n   25 =  7 + 2\u00d73^2\n   27 = 19 + 2\u00d72^2\n   33 = 31 + 2\u00d71^2\n<\/pre>\n<p>Definir las sucesiones<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   imparesCompuestos :: [Integer]\n   descomposiciones :: Integer -> [(Integer,Integer)]\n   contraejemplosGoldbach :: [Integer]\n<\/pre>\n<p>tales que<\/p>\n<ul>\n<li>imparesCompuestos es la lista de los n\u00fameros impares compuestos. Por ejemplo,<\/li>\n<\/ul>\n<pre lang=\"text\">  \n     take 9 imparesCompuestos  ==  [9,15,21,25,27,33,35,39,45]\n<\/pre>\n<ul>\n<li>(descomposiciones n) es la lista de las descomposiciones de n de n como la suma de un n\u00famero primo m\u00e1s dos veces la suma de un cuadrado. Por ejemplo, <\/li>\n<\/ul>\n<pre lang=\"text\">  \n     descomposiciones 9     ==  [(7,1)]\n     descomposiciones 21    ==  [(3,9),(13,4),(19,1)]\n     descomposiciones 5777  ==  []\n<\/pre>\n<p>Las 3 descomposiciones de 21 son<\/p>\n<pre lang=\"text\">  \n     21 =  3 + 2*9 = 21 + 2*3^2\n     21 = 13 + 2*4 = 13 + 2*3^2\n     21 = 19 + 2*1 = 19 + 2*1^2\n<\/pre>\n<ul>\n<li>contraejemplosGoldbach es la lista de los contraejemplos de la anterior conjetura de Goldbach; es decir, los n\u00fameros impares compuestos que no pueden expresarse como la suma de un n\u00famero primo m\u00e1s dos veces la suma de un cuadrado. Por ejemplo,<\/li>\n<\/ul>\n<pre lang=\"text\">  \n   take 2 contraejemplosGoldbach  ==  [5777,5993]\n<\/pre>\n<p>Comprobar con QuickCheck que la conjetura de Golbach se verifica a partir de 5993; es decir, todo n\u00famero compuesto impar mayor que 5993 puede expresarse como la suma de un n\u00famero primo m\u00e1s dos veces la suma de un cuadrado.<\/p>\n<p><strong>Nota<\/strong>: Basado en el art\u00edculo <a href=\"http:\/\/bit.ly\/2UfOiVP\">La menos conocida de las conjeturas de Goldbach<\/a> de Claudio Meller en el blog <a href=\"http:\/\/bit.ly\/2S9gh6Q\">N\u00fameros y algo m\u00e1s<\/a>.<\/p>\n<h4>Soluciones<\/h4>\n<pre lang=\"haskell\">\nimport Data.Numbers.Primes\nimport Test.QuickCheck\n\nimparesCompuestos :: [Integer]\nimparesCompuestos = filter esCompuesto [3,5..]\n\n-- (esCompuesto x) se verifica si x es un n\u00famero compuesto. Por ejemplo,\n--    esCompuesto 6  ==  True\n--    esCompuesto 7  ==  False\nesCompuesto :: Integer -> Bool\nesCompuesto = not . isPrime\n\ncontraejemplosGoldbach :: [Integer]\ncontraejemplosGoldbach = filter esContraejemplo imparesCompuestos\n\n-- (esContraejemplo x) es verifica si el n\u00famero impar compuesto x es un\n-- contraejemplo de la conjetura de Goldbach. Por ejemplo,\n--    esContraejemplo 5777  ==  True\n--    esContraejemplo 15    ==  False\nesContraejemplo :: Integer -> Bool\nesContraejemplo = null . descomposiciones\n\ndescomposiciones :: Integer -> [(Integer,Integer)]\ndescomposiciones n =\n  [(p,x) | p <- takeWhile (<=n) primes\n         , (n - p) `mod` 2 == 0\n         , let x = (n - p) `div` 2\n         , esCuadrado x]\n\n-- (esCuadrado x) es verifica si x es un cuadrado perfecto. Por ejemplo, \n--    esCuadrado 16  ==  True\n--    esCuadrado 27  ==  False\nesCuadrado :: Integer -> Bool\nesCuadrado x = y^2 == x\n  where y = ceiling (sqrt (fromIntegral x))\n\n-- La propiedad es\nprop_conjetura :: Int -> Property\nprop_conjetura n =\n  n >= 0 ==> not (esContraejemplo (imparesCompuestosMayore5993 !! n))\n  where imparesCompuestosMayore5993 = dropWhile (<=5993) imparesCompuestos\n\n-- La comprobaci\u00f3n es\n--    \u03bb> quickCheck prop_conjetura\n--    +++ OK, passed 100 tests.\n<\/pre>\n<h4>Otras soluciones<\/h4>\n<ul>\n<li>Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.\n<li>El c\u00f3digo se debe escribir entre una l\u00ednea con &#60;pre lang=\u00bbhaskell\u00bb&#62; y otra con &#60;\/pre&#62;\n<\/ul>\n<h4>Pensamiento<\/h4>\n<blockquote><p>\n\u00abObvio es la palabra m\u00e1s peligrosa de las matem\u00e1ticas.\u00bb <\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Eric_Temple_Bell\">Eric Temple Bell<\/a>\n<\/p><\/blockquote>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Goldbach, el de la famosa conjetura, hizo por lo menos otra conjetura que finalmente result\u00f3 ser falsa. Esta \u00faltima dec\u00eda que todo n\u00famero compuesto impar puede expresarse como la suma de un n\u00famero primo m\u00e1s dos veces la suma de un cuadrado. As\u00ed por ejemplo, 9 = 7 + 2\u00d71^2 15 = 7 + 2\u00d72^2&#8230;<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_kad_post_transparent":"","_kad_post_title":"","_kad_post_layout":"","_kad_post_sidebar_id":"","_kad_post_content_style":"","_kad_post_vertical_padding":"","_kad_post_feature":"","_kad_post_feature_position":"","_kad_post_header":false,"_kad_post_footer":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"footnotes":"","_jetpack_memberships_contains_paid_content":false},"categories":[4],"tags":[322,8,30,59,38,183,174,89,181,141,11,173,236,34,146],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5519"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=5519"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5519\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5603,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5519\/revisions\/5603"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=5519"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=5519"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=5519"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}