{"id":5492,"date":"2020-02-03T05:30:54","date_gmt":"2020-02-03T03:30:54","guid":{"rendered":"http:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/?p=5492"},"modified":"2020-02-10T08:36:33","modified_gmt":"2020-02-10T06:36:33","slug":"entre-dos-potencias-sucesivas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/entre-dos-potencias-sucesivas\/","title":{"rendered":"Entre dos potencias sucesivas"},"content":{"rendered":"<p>Se dice que un n\u00famero entero est\u00e1 <strong>entre potencias<\/strong> sucesivas de n si x-1 es una potencia n-\u00e9sima y x+1 es una potencia (n+1)-\u00e9sima; es decir, si existen a y b tales que x-1 es a^n y x+1 es b^(n+1). Por ejemplo,<\/p>\n<pre lang=\"text\"> \n 2 est\u00e1 entre potencias sucesivas de 0, ya que  1 =  1^0 y  3 = 3^1\n15 est\u00e1 entre potencias sucesivas de 1, ya que 14 = 14^1 y 16 = 4^2\n26 est\u00e1 entre potencias sucesivas de 2, ya que 25 =  5^2 y 27 = 3^3\n<\/pre>\n<p>Definir las funciones<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   entrePotencias :: Integer -> Integer -> Bool\n   pares :: [(Integer,Integer)]\n   paresEntrePotencias :: [(Integer,Integer)]\n<\/pre>\n<p>tales que<\/p>\n<ul>\n<li>(entrePotencias n x) se verifica si x est\u00e1 entre potencias sucesivas de n. Por ejemplo,<\/li>\n<\/ul>\n<pre lang=\"text\">  \n     entrePotencias 0 2   ==  True\n     entrePotencias 1 15  ==  True\n     entrePotencias 2 26  ==  True\n<\/pre>\n<ul>\n<li>pares es la lista de los n\u00fameros enteros ordenados por su suma y primer elemento. Por ejemplo,<\/li>\n<\/ul>\n<pre lang=\"text\">\n     \u03bb> take 11 pares\n     [(0,0),(0,1),(1,0),(0,2),(1,1),(2,0),(0,3),(1,2),(2,1),(3,0),(0,4)]\n<\/pre>\n<ul>\n<li>paresEntrePotencias es la lista de los pares (n,x) tales que x est\u00e1 entre potencias sucesivas de n. Por ejemplo,<\/li>\n<\/ul>\n<pre lang=\"text\">\n     \u03bb> take 10 paresEntrePotencias\n     [(1,0),(0,2),(1,3),(1,8),(1,15),(1,24),(2,26),(1,35),(1,48),(1,63)]\n<\/pre>\n<p>Comprobar con QuickCheck que 26 es el \u00fanico n\u00famero que est\u00e1 entre potencias sucesivas con exponentes mayor que 1; es decir, que el \u00fanico par (n,x) tal que x est\u00e1 entre potencias sucesivas de n con n mayor que uno es el (2,26).<\/p>\n<p><strong>Nota<\/strong>: Este ejercicio ha sido propuesto por Rebeca Isabel Gonz\u00e1lez Gordillo y est\u00e1 basado en el art\u00edculo <a href=\"http:\/\/bit.ly\/3b2Thz2\">El n\u00famero 26 &#8230; \u00a1un n\u00famero  especial!<\/a> de <a href=\"https:\/\/twitter.com\/matescercanas\">Amadeo Artacho<\/a> en <a href=\"https:\/\/matematicascercanas.com\/\">MatematicasCercanas<\/a>.<\/p>\n<h4>Soluciones<\/h4>\n<pre lang=\"haskell\">\nimport Test.QuickCheck\n\nentrePotencias :: Integer -> Integer -> Bool\nentrePotencias n x = esPotencia n (x-1) && esPotencia (n+1) (x+1)\n\n-- (esPotencia n x) se verifica si x es una potencia n-\u00e9sima. Por\n-- ejemplo, \n--    esPotencia 3 27  ==  True\n--    esPotencia 3 25  ==  False\nesPotencia :: Integer -> Integer -> Bool\nesPotencia n x = x == r^n\n  where r = ceiling ((fromIntegral x)**(1\/fromIntegral n))\n\npares :: [(Integer,Integer)]\npares = [(x,n-x) | n <- [0..], x <- [0..n]]\n\nparesEntrePotencias :: [(Integer,Integer)]\nparesEntrePotencias =\n  [(n,x) | (n,x) <- pares\n         , entrePotencias n x]\n\nprop_entrePotencias :: Integer -> Integer -> Property\nprop_entrePotencias n x =\n  n > 1 ==> entrePotencias n x == ((n,x) == (2,26))\n\n-- La comprobaci\u00f3n es\n--    \u03bb> quickCheck prop_entrePotencias\n--    +++ OK, passed 100 tests.\n<\/pre>\n<h4>Otras soluciones<\/h4>\n<ul>\n<li>Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.\n<li>El c\u00f3digo se debe escribir entre una l\u00ednea con &#60;pre lang=\u00bbhaskell\u00bb&#62; y otra con &#60;\/pre&#62;\n<\/ul>\n<h4>Pensamiento<\/h4>\n<blockquote><p>\n\u00abEl verdadero objetivo de la ciencia es el honor de la mente humana.\u00bb <\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Carl_Gustav_Jakob_Jacobi\">Carl Gustav Jacob Jacobi<\/a>\n<\/p><\/blockquote>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Se dice que un n\u00famero entero est\u00e1 entre potencias sucesivas de n si x-1 es una potencia n-\u00e9sima y x+1 es una potencia (n+1)-\u00e9sima; es decir, si existen a y b tales que x-1 es a^n y x+1 es b^(n+1). 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