{"id":4934,"date":"2019-04-10T06:00:18","date_gmt":"2019-04-10T04:00:18","guid":{"rendered":"http:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/?p=4934"},"modified":"2019-04-25T07:26:11","modified_gmt":"2019-04-25T05:26:11","slug":"matriz-dodecafonica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/matriz-dodecafonica\/","title":{"rendered":"Matriz dodecaf\u00f3nica"},"content":{"rendered":"<p>Como se explica en <a href=\"http:\/\/bit.ly\/2X1hf67\">Create a Twelve-Tone Melody With a Twelve-Tone Matrix<\/a> una <strong>matriz dodecaf\u00f3nica<\/strong> es una matriz de 12 filas y 12 columnas construidas siguiendo los siguientes pasos:<\/p>\n<ul>\n<li>Se escribe en la primera fila una permutaci\u00f3n de los n\u00fameros del 1 al 12. Por ejemplo,<\/li>\n<\/ul>\n<pre lang=\"text\"> \n     (  3  1  9  5  4  6  8  7 12 10 11  2 )\n     (                                     )\n     (                                     )\n     (                                     )\n     (                                     )\n     (                                     )\n     (                                     )\n     (                                     )\n     (                                     )\n     (                                     )\n     (                                     )\n     (                                     )\n<\/pre>\n<ul>\n<li>Escribir la primera columna de forma que, para todo i (entre 2 y 12), a(i,1) es el n\u00famero entre 1 y 12 que verifica la siguiente condici\u00f3n<\/li>\n<\/ul>\n<pre lang=\"text\">   \n     (a(1,1) - a(i,1)) = (a(1,i) - a(1,1)) (m\u00f3dulo 12)\n<\/pre>\n<p>Siguiendo con el ejemplo anterior, la matriz con la 1\u00aa fila y la 1\u00aa columna es<\/p>\n<pre lang=\"text\">   \n     (  3  1  9  5  4  6  8  7 12 10 11  2 )\n     (  5                                  )\n     (  9                                  )\n     (  1                                  )\n     (  2                                  )\n     ( 12                                  )\n     ( 10                                  )\n     ( 11                                  )\n     (  6                                  )\n     (  8                                  )\n     (  7                                  )\n     (  4                                  )\n<\/pre>\n<ul>\n<li>Escribir la segunda fila de forma que, para todo j (entre 2 y 12), a(j,2) es el n\u00famero entre 1 y 12 que verifica la siguiente condici\u00f3n <\/li>\n<\/ul>\n<pre lang=\"text\">   \n     (a(2,j) - a(1,j)) = (a(2,1) - a(1,1)) (m\u00f3dulo 12)\n<\/pre>\n<p>Siguiendo con el ejemplo anterior, la matriz con la 1\u00aa fila, 1\u00aa columna y 2\u00aa fila es<\/p>\n<pre lang=\"text\">   \n     (  3  1  9  5  4  6  8  7 12 10 11  2 )\n     (  5  3 11  7  6  8 10  9  2 12  1  4 )\n     (  9                                  )\n     (  1                                  )\n     (  2                                  )\n     ( 12                                  )\n     ( 10                                  )\n     ( 11                                  )\n     (  6                                  )\n     (  8                                  )\n     (  7                                  )\n     (  4                                  )\n<\/pre>\n<ul>\n<li>Las restantes filas se completan como la 2\u00aa; es decir, para todo i (entre 3 y 12) y todo j (entre 2 y 12), a(i,j) es el n\u00famero entre 1 y 12 que verifica la siguiente relaci\u00f3n.  <\/li>\n<\/ul>\n<pre lang=\"text\">   \n     (a(i,j) - a(1,j)) = (a(i,1) - a(1,1)) (m\u00f3dulo 12)\n<\/pre>\n<p>Siguiendo con el ejemplo anterior, la matriz dodecaf\u00f3nica es<\/p>\n<pre lang=\"text\">   \n     (  3  1  9  5  4  6  8  7 12 10 11  2 )\n     (  5  3 11  7  6  8 10  9  2 12  1  4 )\n     (  9  7  3 11 10 12  2  1  6  4  5  8 )\n     (  1 11  7  3  2  4  6  5 10  8  9 12 )\n     (  2 12  8  4  3  5  7  6 11  9 10  1 )\n     ( 12 10  6  2  1  3  5  4  9  7  8 11 )\n     ( 10  8  4 12 11  1  3  2  7  5  6  9 )\n     ( 11  9  5  1 12  2  4  3  8  6  7 10 )\n     (  6  4 12  8  7  9 11 10  3  1  2  5 )\n     (  8  6  2 10  9 11  1 12  5  3  4  7 )\n     (  7  5  1  9  8 10 12 11  4  2  3  6 )\n     (  4  2 10  6  5  7  9  8  1 11 12  3 )\n<\/pre>\n<p>Definir la funci\u00f3n<\/p>\n<pre lang=\"text\"> \n   matrizDodecafonica :: [Int] -> Matrix Int\n<\/pre>\n<p>tal que (matrizDodecafonica xs) es la matriz dodecaf\u00f3nica cuya primera fila es xs (que se supone que es una permutaci\u00f3n de los n\u00fameros del 1 al 12). Por ejemplo,<\/p>\n<pre lang=\"text\"> \n   \u03bb> matrizDodecafonica [3,1,9,5,4,6,8,7,12,10,11,2]\n   (  3  1  9  5  4  6  8  7 12 10 11  2 )\n   (  5  3 11  7  6  8 10  9  2 12  1  4 )\n   (  9  7  3 11 10 12  2  1  6  4  5  8 )\n   (  1 11  7  3  2  4  6  5 10  8  9 12 )\n   (  2 12  8  4  3  5  7  6 11  9 10  1 )\n   ( 12 10  6  2  1  3  5  4  9  7  8 11 )\n   ( 10  8  4 12 11  1  3  2  7  5  6  9 )\n   ( 11  9  5  1 12  2  4  3  8  6  7 10 )\n   (  6  4 12  8  7  9 11 10  3  1  2  5 )\n   (  8  6  2 10  9 11  1 12  5  3  4  7 )\n   (  7  5  1  9  8 10 12 11  4  2  3  6 )\n   (  4  2 10  6  5  7  9  8  1 11 12  3 )\n<\/pre>\n<p>Comprobar con QuickCheck para toda matriz dodecaf\u00f3nica D se verifican las siguientes propiedades:<\/p>\n<ul>\n<li>todas las filas de D son permutaciones de los n\u00fameros 1 a 12,<\/li>\n<li>todos los elementos de la diagonal de D son iguales y <\/li>\n<li>la suma de todos los elementos de D es 936.<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Nota<\/strong>: Este ejercicio ha sido propuesto por Francisco J. Hidalgo.<\/p>\n<h4>Soluciones<\/h4>\n<pre lang=\"haskell\">\nimport Data.List\nimport Test.QuickCheck\nimport Data.Matrix\n\n-- 1\u00aa soluci\u00f3n\n-- ===========\n\nmatrizDodecafonica :: [Int] -> Matrix Int\nmatrizDodecafonica xs = matrix 12 12 f\n  where f (1,j) = xs !! (j-1)\n        f (i,1) = modulo12 (2 * f (1,1) - f (1,i)) \n        f (i,j) = modulo12 (f (1,j) + f (i,1) - f (1,1)) \n        modulo12 0  = 12\n        modulo12 12 = 12\n        modulo12 x  = x `mod` 12\n  \n-- 2\u00aa soluci\u00f3n\n-- ===========\n\nmatrizDodecafonica2 :: [Int] -> Matrix Int\nmatrizDodecafonica2 xs = fromLists (secuencias xs)\n\nsecuencias :: [Int] -> [[Int]]\nsecuencias xs = [secuencia a xs | a <- inversa xs]\n\ninversa :: [Int] -> [Int]\ninversa xs = map conv (map (\\x -> (-x) + 2* (abs a)) xs)\n  where a = head xs\n        \nsecuencia :: Int -> [Int] -> [Int]\nsecuencia n xs = [conv (a+(n-b)) | a <- xs] \n  where b = head xs\n\nconv :: Int -> Int\nconv n | n == 0 = 12\n       | n < 0 = conv (n+12)\n       | n > 11 = conv (mod n 12)\n       | otherwise = n          \n\n-- Propiedades\n-- ===========\n\n-- Las propiedades son\nprop_dodecafonica :: Int -> Property\nprop_dodecafonica n = \n  n >= 0 ==>\n  all esPermutacion (toLists d)\n  && all (== d!(1,1)) [d!(i,i) | i <- [2..12]]\n  &#038;&#038; sum d == 936\n  where xss = permutations [1..12]\n        k   = n `mod` product [1..12]\n        d   = matrizDodecafonica (xss !! k)\n        esPermutacion ys = sort ys == [1..12]\n\n-- La comprobaci\u00f3n es\n--    \u03bb> quickCheck prop_dodecafonica\n--    +++ OK, passed 100 tests.\n<\/pre>\n<h4>Pensamiento<\/h4>\n<blockquote><p>\nComo el olivar,<br \/>\nmucho fruto lleva,<br \/>\npoca sombra da.<\/p>\n<p>Antonio Machado\n<\/p><\/blockquote>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Como se explica en Create a Twelve-Tone Melody With a Twelve-Tone Matrix una matriz dodecaf\u00f3nica es una matriz de 12 filas y 12 columnas construidas siguiendo los siguientes pasos: Se escribe en la primera fila una permutaci\u00f3n de los n\u00fameros del 1 al 12. 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