{"id":4773,"date":"2019-03-01T06:00:21","date_gmt":"2019-03-01T04:00:21","guid":{"rendered":"http:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/?p=4773"},"modified":"2022-03-26T11:29:40","modified_gmt":"2022-03-26T09:29:40","slug":"numero-de-descomposiciones-en-sumas-de-cuatro-cuadrados","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/numero-de-descomposiciones-en-sumas-de-cuatro-cuadrados\/","title":{"rendered":"N\u00famero de descomposiciones en sumas de cuatro cuadrados"},"content":{"rendered":"<p>Definir la funci\u00f3n<\/p>\n<pre lang=\"text\"> \n   nDescomposiciones       :: Int -> Int\n   graficaDescomposiciones :: Int -> IO ()\n<\/pre>\n<p>tales que<\/p>\n<ul>\n<li>(nDescomposiciones x) es el n\u00famero de listas de los cuadrados de cuatro n\u00fameros enteros positivos cuya suma es x. Por ejemplo.  <\/li>\n<\/ul>\n<pre lang=\"text\"> \n     nDescomposiciones 4      ==  1\n     nDescomposiciones 5      ==  0\n     nDescomposiciones 7      ==  4\n     nDescomposiciones 10     ==  6\n     nDescomposiciones 15     ==  12\n     nDescomposiciones 50000  ==  5682\n<\/pre>\n<ul>\n<li>(graficaDescomposiciones n) dibuja la gr\u00e1fica del n\u00famero de descomposiciones de los n primeros n\u00fameros naturales. Por ejemplo, (graficaDescomposiciones 500) dibuja<\/li>\n<\/ul>\n<p><a href=\"https:\/\/i0.wp.com\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/Numero_de_descomposiciones_en_sumas_de_cuadrados.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/Numero_de_descomposiciones_en_sumas_de_cuadrados.png?resize=640%2C480\" alt=\"\" width=\"640\" height=\"480\" class=\"aligncenter size-full wp-image-4774\" srcset=\"https:\/\/i0.wp.com\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/Numero_de_descomposiciones_en_sumas_de_cuadrados.png?w=640&amp;ssl=1 640w, https:\/\/i0.wp.com\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/Numero_de_descomposiciones_en_sumas_de_cuadrados.png?resize=300%2C225&amp;ssl=1 300w\" sizes=\"(max-width: 640px) 100vw, 640px\" data-recalc-dims=\"1\" \/><\/a><\/p>\n<h4>Soluciones<\/h4>\n<pre lang=\"haskell\">\nimport Data.Array\nimport Graphics.Gnuplot.Simple\nimport Test.QuickCheck\n\n-- 1\u00aa soluci\u00f3n\n-- ===========\n\nnDescomposiciones :: Int -> Int\nnDescomposiciones = length . descomposiciones\n\n-- (descomposiciones x) es la lista de las listas de los cuadrados de\n-- cuatro n\u00fameros enteros positivos cuya suma es x. Por  ejemplo. \n--    \u03bb> descomposiciones 4\n--    [[1,1,1,1]]\n--    \u03bb> descomposiciones 5\n--    []\n--    \u03bb> descomposiciones 7\n--    [[1,1,1,4],[1,1,4,1],[1,4,1,1],[4,1,1,1]]\n--    \u03bb> descomposiciones 10\n--    [[1,1,4,4],[1,4,1,4],[1,4,4,1],[4,1,1,4],[4,1,4,1],[4,4,1,1]]\n--    \u03bb> descomposiciones 15\n--    [[1,1,4,9],[1,1,9,4],[1,4,1,9],[1,4,9,1],[1,9,1,4],[1,9,4,1],\n--     [4,1,1,9],[4,1,9,1],[4,9,1,1],[9,1,1,4],[9,1,4,1],[9,4,1,1]]\ndescomposiciones :: Int -> [[Int]]\ndescomposiciones x = aux x 4\n  where \n    aux 0 1 = []\n    aux 1 1 = [[1]]\n    aux 2 1 = []\n    aux 3 1 = []\n    aux y 1 | esCuadrado y = [[y]]\n            | otherwise    = []\n    aux y n = [x^2 : zs | x <- [1..raizEntera y]\n                        , zs <- aux (y - x^2) (n-1)]\n\n-- (esCuadrado x) se verifica si x es un n\u00famero al cuadrado. Por\n-- ejemplo,\n--    esCuadrado 25  ==  True\n--    esCuadrado 26  ==  False\nesCuadrado :: Int -> Bool\nesCuadrado x = (raizEntera x)^2 == x\n\n-- (raizEntera n) es el mayor entero cuya ra\u00edz cuadrada es menor o igual\n-- que n. Por ejemplo,\n--    raizEntera 15  ==  3\n--    raizEntera 16  ==  4\n--    raizEntera 17  ==  4\nraizEntera :: Int -> Int\nraizEntera = floor . sqrt . fromIntegral \n\n-- 2\u00aa soluci\u00f3n\n-- =============\n\nnDescomposiciones2 :: Int -> Int\nnDescomposiciones2 = length . descomposiciones2\n\ndescomposiciones2 :: Int -> [[Int]]\ndescomposiciones2 x = a ! (x,4)\n  where\n    a = array ((0,1),(x,4)) [((i,j), f i j) | i <- [0..x], j <- [1..4]]\n    f 0 1 = []\n    f 1 1 = [[1]]\n    f 2 1 = []\n    f 3 1 = []\n    f i 1 | esCuadrado i = [[i]]\n          | otherwise    = []\n    f i j = [x^2 : zs | x <- [1..raizEntera i]\n                      , zs <- a ! (i - x^2,j-1)]\n\n-- 3\u00aa soluci\u00f3n\n-- ===========\n\nnDescomposiciones3 :: Int -> Int\nnDescomposiciones3 x = aux x 4\n  where\n    aux 0 1 = 0\n    aux 1 1 = 1\n    aux 2 1 = 0\n    aux 3 1 = 0\n    aux y 1 | esCuadrado y = 1\n            | otherwise    = 0\n    aux y n = sum [aux (y - x^2) (n-1) | x <- [1..raizEntera y]]\n\n-- 4\u00aa soluci\u00f3n\n-- ===========\n\nnDescomposiciones4 :: Int -> Int\nnDescomposiciones4 x = a ! (x,4)\n  where\n    a = array ((0,1),(x,4)) [((i,j), f i j) | i <- [0..x], j <- [1..4]]\n    f 0 1 = 0\n    f 1 1 = 1\n    f 2 1 = 0\n    f 3 1 = 0\n    f i 1 | esCuadrado i = 1\n          | otherwise    = 0\n    f i j = sum [a ! (i- x^2,j-1) | x <- [1..raizEntera i]]\n\n-- Comprobaci\u00f3n de equivalencia\n-- ============================\n\n-- La propiedad es\nprop_nDescomposiciones :: Positive Int -> Bool\nprop_nDescomposiciones (Positive x) =\n  all (== nDescomposiciones x) [f x | f <- [ nDescomposiciones2\n                                           , nDescomposiciones3\n                                           , nDescomposiciones4]]\n\n-- La comprobaci\u00f3n es\n--    \u03bb> quickCheck prop_nDescomposiciones\n--    +++ OK, passed 100 tests.\n\n-- Comparaci\u00f3n de eficiencia\n-- =========================\n\n--    \u03bb> nDescomposiciones 20000\n--    1068\n--    (3.69 secs, 3,307,250,128 bytes)\n--    \u03bb> nDescomposiciones2 20000\n--    1068\n--    (0.72 secs, 678,419,328 bytes)\n--    \u03bb> nDescomposiciones3 20000\n--    1068\n--    (3.94 secs, 3,485,725,552 bytes)\n--    \u03bb> nDescomposiciones4 20000\n--    1068\n--    (0.74 secs, 716,022,456 bytes)\n--    \n--    \u03bb> nDescomposiciones2 50000\n--    5682\n--    (2.64 secs, 2,444,206,000 bytes)\n--    \u03bb> nDescomposiciones4 50000\n--    5682\n--    (2.77 secs, 2,582,443,448 bytes)\n\n-- Definici\u00f3n de graficaDescomposiciones\n-- =====================================\n\ngraficaDescomposiciones :: Int -> IO ()\ngraficaDescomposiciones n =\n  plotList [ Key Nothing\n           , PNG (\"Numero_de_descomposiciones_en_sumas_de_cuadrados.png\")\n           ]\n           (map nDescomposiciones3 [0..n])\n<\/pre>\n<h4>Pensamiento<\/h4>\n<blockquote><p>\nYa habr\u00e1 cig\u00fce\u00f1as al sol,<br \/>\nmirando la tarde roja,<br \/>\nentre Moncayo y Urbi\u00f3n.<\/p>\n<p>Antonio Machado\n<\/p><\/blockquote>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Definir la funci\u00f3n nDescomposiciones :: Int -> Int graficaDescomposiciones :: Int -> IO () tales que (nDescomposiciones x) es el n\u00famero de listas de los cuadrados de cuatro n\u00fameros enteros positivos cuya suma es x. Por ejemplo. nDescomposiciones 4 == 1 nDescomposiciones 5 == 0 nDescomposiciones 7 == 4 nDescomposiciones 10 == 6 nDescomposiciones 15&#8230;<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_kad_post_transparent":"","_kad_post_title":"","_kad_post_layout":"","_kad_post_sidebar_id":"","_kad_post_content_style":"","_kad_post_vertical_padding":"","_kad_post_feature":"","_kad_post_feature_position":"","_kad_post_header":false,"_kad_post_footer":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"footnotes":"","_jetpack_memberships_contains_paid_content":false},"categories":[7],"tags":[250,8,286,282,183,376,10,11,309,6,236,40],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4773"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=4773"}],"version-history":[{"count":4,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4773\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":4808,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4773\/revisions\/4808"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=4773"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=4773"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=4773"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}