{"id":4748,"date":"2019-02-21T06:00:49","date_gmt":"2019-02-21T04:00:49","guid":{"rendered":"http:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/?p=4748"},"modified":"2022-03-26T11:29:51","modified_gmt":"2022-03-26T09:29:51","slug":"numero-de-sumandos-en-suma-de-cuadrados","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/numero-de-sumandos-en-suma-de-cuadrados\/","title":{"rendered":"N\u00famero de sumandos en suma de cuadrados"},"content":{"rendered":"<p>El <a href=\"http:\/\/bit.ly\/2V4NtMQ\">teorema de Lagrange de los cuatro cuadrados<\/a> asegura que cualquier n\u00famero entero positivo es la suma de, como m\u00e1ximo,cuatro cuadrados de n\u00fameros enteros. Por ejemplo,<\/p>\n<pre lang=\"text\"> \n   16 = 4\u00b2\n   29 = 2\u00b2 + 5\u00b2  \n   14 = 1\u00b2 + 2\u00b2 + 3\u00b2\n   15 = 1\u00b2 + 1\u00b2 + 2\u00b2 + 3\u00b2\n<\/pre>\n<p>Definir las funciones<\/p>\n<pre lang=\"text\"> \n   ordenLagrange        :: Integer -> Int\n   graficaOrdenLagrange :: Integer -> IO ()\n<\/pre>\n<p>tales que<\/p>\n<ul>\n<li>(ordenLagrange n) es el menor n\u00famero de cuadrados necesarios para escribir n como suma de cuadrados. Por ejemplo.<\/li>\n<\/ul>\n<pre lang=\"text\">   \n     ordenLagrange 16     ==  1\n     ordenLagrange 29     ==  2\n     ordenLagrange 14     ==  3\n     ordenLagrange 15     ==  4\n     ordenLagrange 10000  ==  1\n     ordenLagrange 10001  ==  2\n     ordenLagrange 10002  ==  3\n     ordenLagrange 10007  ==  4\n<\/pre>\n<ul>\n<li>(graficaOrdenLagrange n) dibuja la gr\u00e1fica de los \u00f3rdenes de Lagrange de los n primeros n\u00fameros naturales. Por ejemplo, (graficaOrdenLagrange 100) dibuja<\/li>\n<\/ul>\n<p><a href=\"https:\/\/i0.wp.com\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/Numero_de_sumandos_en_suma_de_cuadrados.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/Numero_de_sumandos_en_suma_de_cuadrados.png?resize=640%2C480\" alt=\"\" width=\"640\" height=\"480\" class=\"aligncenter size-full wp-image-4749\" srcset=\"https:\/\/i0.wp.com\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/Numero_de_sumandos_en_suma_de_cuadrados.png?w=640&amp;ssl=1 640w, https:\/\/i0.wp.com\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/Numero_de_sumandos_en_suma_de_cuadrados.png?resize=300%2C225&amp;ssl=1 300w\" sizes=\"(max-width: 640px) 100vw, 640px\" data-recalc-dims=\"1\" \/><\/a><\/p>\n<p>Comprobar con QuickCheck que. para todo entero positivo k, el orden de Lagrange de k es menos o igual que 4, el de 4k+3 es distinto de 2 y el de 8k+7 es distinto de 3.<\/p>\n<h4>Soluciones<\/h4>\n<pre lang=\"haskell\">\nimport Data.Array (Array, (!), array)\nimport Graphics.Gnuplot.Simple\n\nimport Test.QuickCheck\n\n-- 1\u00aa definici\u00f3n\n-- =============\n\nordenLagrange :: Integer -> Int\nordenLagrange n\n  | esCuadrado n = 1\n  | otherwise    = 1 + minimum [ ordenLagrange (n - x^2)\n                               | x <- [1..raizEntera n]]\n\n-- (esCuadrado x) se verifica si x es un n\u00famero al cuadrado. Por\n-- ejemplo,\n--    esCuadrado 25  ==  True\n--    esCuadrado 26  ==  False\nesCuadrado :: Integer -> Bool\nesCuadrado x = (raizEntera x)^2 == x\n\n-- (raizEntera n) es el mayor entero cuya ra\u00edz cuadrada es menor o igual\n-- que n. Por ejemplo,\n--    raizEntera 15  ==  3\n--    raizEntera 16  ==  4\n--    raizEntera 17  ==  4\nraizEntera :: Integer -> Integer\nraizEntera = floor . sqrt . fromIntegral \n\n-- 2\u00aa definici\u00f3n\n-- =============\n\nordenLagrange2 :: Integer -> Int\nordenLagrange2 n = (vectorOrdenLagrange n) ! n\n\nvectorOrdenLagrange :: Integer -> Array Integer Int\nvectorOrdenLagrange n = v where\n  v = array (0,n) [(i,f i) | i <- [0..n]]\n  f i | esCuadrado i = 1\n      | otherwise    = 1 + minimum [ v ! (i - j^2)\n                                   | j <- [1..raizEntera i]]\n\n-- Comparaci\u00f3n de eficiencia\n-- =========================\n\n-- La comparaci\u00f3n es\n--    \u03bb> ordenLagrange 50\n--    2\n--    (10.39 secs, 1,704,144,464 bytes)\n--    \u03bb> ordenLagrange2 50\n--    2\n--    (0.01 secs, 341,920 bytes)\n\n-- Definici\u00f3n de graficaOrdenLagrange\n-- ==================================\n\ngraficaOrdenLagrange :: Integer -> IO ()\ngraficaOrdenLagrange n = \n  plotList [ Key Nothing\n           , PNG (\"Numero_de_sumandos_en_suma_de_cuadrados.png\")\n           ]\n           (map ordenLagrange2 [0..n-1])\n\n-- Comprobaci\u00f3n de la propiedad\n-- ============================\n\n-- La propiedad es\nprop_OrdenLagrange :: Positive Integer -> Bool\nprop_OrdenLagrange (Positive k) =\n  ordenLagrange2 k <= 4 &#038;&#038;\n  ordenLagrange2 (4*k+3) \/= 2 &#038;&#038;\n  ordenLagrange2 (8*k+7) \/= 3\n\n-- La comprobaci\u00f3n es\n--    \u03bb> quickCheck prop_OrdenLagrange\n--    +++ OK, passed 100 tests.\n<\/pre>\n<h4>Pensamiento<\/h4>\n<blockquote><p>\n&#8212; Nuestro espa\u00f1ol bosteza.<br \/>\n\u00bfEs hambre? \u00bfSue\u00f1o? \u00bfHast\u00edo?<br \/>\nDoctor, \u00bftendr\u00e1 el est\u00f3mago vac\u00edo?<br \/>\n&#8212; El vac\u00edo es m\u00e1s bien en la cabeza.<\/p>\n<p>Antonio Machado\n<\/p><\/blockquote>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>El teorema de Lagrange de los cuatro cuadrados asegura que cualquier n\u00famero entero positivo es la suma de, como m\u00e1ximo,cuatro cuadrados de n\u00fameros enteros. 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