{"id":4731,"date":"2019-02-18T06:00:33","date_gmt":"2019-02-18T04:00:33","guid":{"rendered":"http:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/?p=4731"},"modified":"2019-02-25T07:33:38","modified_gmt":"2019-02-25T05:33:38","slug":"ternas-euclideas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/ternas-euclideas\/","title":{"rendered":"Ternas eucl\u00eddeas"},"content":{"rendered":"<p>Uno de los problemas planteados por Euclides en los Elementos consiste en encontrar tres n\u00fameros tales que cada uno de sus productos, dos a dos, aumentados en la unidad sea un cuadrado perfecto.<\/p>\n<p>Diremos que (x,y,z) es una terna eucl\u00eddea si es una soluci\u00f3n del problema; es decir, si x &lt;= y &lt;= z y xy+1, yz+1 y zx+1 son cuadrados. Por ejemplo, (4,6,20) es una terna eucl\u00eddea ya que<\/p>\n<pre lang=\"text\"> \n   4x6+1 = 5^2, 6x20+1 = 11^2 y 20*4+1 = 9^2\n<\/pre>\n<p>Definir la funciones<\/p>\n<pre lang=\"text\"> \n   ternasEuclideas        :: [(Integer,Integer,Integer)]\n   esMayorDeTernaEuclidea :: Integer -> Bool\n<\/pre>\n<p>tales que<\/p>\n<ul>\n<li>ternasEuclideas es la lista de las ternas eucl\u00eddeas. Por ejemplo,<\/li>\n<\/ul>\n<pre lang=\"text\"> \n     \u03bb> take 7 ternasEuclideas\n     [(1,3,8),(2,4,12),(1,8,15),(3,5,16),(4,6,20),(3,8,21),(5,7,24)]\n<\/pre>\n<ul>\n<li>(esMayorDeTernaEuclidea z) se verifica si existen x, y tales que (x,y,z) es una terna eucl\u00eddea. Por ejemplo,<\/li>\n<\/ul>\n<pre lang=\"text\">   \n     esMayorDeTernaEuclidea 20  ==  True\n     esMayorDeTernaEuclidea 22  ==  False\n<\/pre>\n<p>Comprobar con QuickCheck que z es el mayor de una terna eucl\u00eddea si, y s\u00f3lo si, existe un n\u00famero natural x tal que 1 &lt; x &lt; z &#8211; 1 y x^2 es congruente con 1 m\u00f3dulo z.<\/p>\n<h4>Soluciones<\/h4>\n<pre lang=\"haskell\">\nimport Test.QuickCheck\n\nternasEuclideas :: [(Integer,Integer,Integer)]\nternasEuclideas =\n  [(x,y,z) | z <- [1..]\n           , y <- [1..z]\n           , esCuadrado (y * z + 1)\n           , x <- [1..y]\n           , esCuadrado (x * y + 1)\n           , esCuadrado (z * x + 1)]\n\n-- (esCuadrado x) se verifica si x es un n\u00famero al cuadrado. Por\n-- ejemplo,\n--    esCuadrado 25  ==  True\n--    esCuadrado 26  ==  False\nesCuadrado :: Integer -> Bool\nesCuadrado x = (raizEntera x)^2 == x\n  where raizEntera :: Integer -> Integer\n        raizEntera = floor . sqrt . fromIntegral \n\nesMayorDeTernaEuclidea :: Integer -> Bool\nesMayorDeTernaEuclidea z =\n  not (null [(x,y) | y <- [1..z]\n                   , esCuadrado (y * z + 1)\n                   , x <- [1..y]\n                   , esCuadrado (x * y + 1)\n                   , esCuadrado (z * x + 1)])\n\n\n-- La propiedad es\nprop_esMayorDeTernaEuclidea :: Positive Integer -> Bool\nprop_esMayorDeTernaEuclidea (Positive z) =\n  esMayorDeTernaEuclidea z == any (\\x -> (x^2) `mod` z == 1) [2..z-2]\n\n-- La comprobaci\u00f3n es\n--    \u03bb> quickCheck prop_esMayorDeTernaEuclidea\n--    +++ OK, passed 100 tests.\n<\/pre>\n<h4>Pensamiento<\/h4>\n<blockquote><p>\nTodo pasa y todo queda,<br \/>\npero lo nuestro es pasar,<br \/>\npasar haciendo caminos,<br \/>\ncaminos sobre la mar.<\/p>\n<p>Antonio Machado\n<\/p><\/blockquote>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Uno de los problemas planteados por Euclides en los Elementos consiste en encontrar tres n\u00fameros tales que cada uno de sus productos, dos a dos, aumentados en la unidad sea un cuadrado perfecto. Diremos que (x,y,z) es una terna eucl\u00eddea si es una soluci\u00f3n del problema; es decir, si x &lt;= y &lt;= z y&#8230;<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_kad_post_transparent":"","_kad_post_title":"","_kad_post_layout":"","_kad_post_sidebar_id":"","_kad_post_content_style":"","_kad_post_vertical_padding":"","_kad_post_feature":"","_kad_post_feature_position":"","_kad_post_header":false,"_kad_post_footer":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"footnotes":"","_jetpack_memberships_contains_paid_content":false},"categories":[4],"tags":[163,8,282,183,89,181,141,11,6,236,146],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4731"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=4731"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4731\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":4764,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4731\/revisions\/4764"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=4731"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=4731"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=4731"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}