En la Olimpiada Internacional de Matem\u00e1ticas del 2012 se propuso el siguiente problema:<\/p>\n
\nVarios enteros positivos se escriben en una lista. Iterativamente, Alicia elige dos n\u00fameros adyacentes x e y tales que x > y y x est\u00e1 a la izquierda de y y reemplaza el par (x,y) por (y+1,x) o (x-1,x). Demostrar que s\u00f3lo puede aplicar un n\u00famero finito de dichas iteraciones.\n<\/p><\/blockquote>\n
Por ejemplo, las transformadas de la lista [1,3,2] son [1,2,3] y [1,3,3] y las dos obtenidas son finales (es decir, no se les puede aplicar ninguna transformaci\u00f3n).<\/p>\n
Definir las funciones<\/p>\n
\n soluciones :: [Int] -> [Estado]\n finales :: [Int] -> [[Int]]\n finalesMaximales :: [Int] -> (Int,[[Int]])\n<\/pre>\ntales que<\/p>\n
\n
- (soluciones xs) es la lista de pares (n,ys) tales que ys es una lista final obtenida aplic\u00e1ndole n transformaciones a xs. Por ejemplo,<\/li>\n<\/ul>\n
\n \u03bb> soluciones [1,3,2]\n [(1,[1,3,3]),(1,[1,2,3])]\n \u03bb> sort (nub (soluciones [3,3,2]))\n [(1,[3,3,3]),(2,[2,3,3]),(2,[3,3,3])]\n \u03bb> sort (nub (soluciones [3,2,1]))\n [(2,[2,2,3]),(3,[2,2,3]),(3,[2,3,3]),(3,[3,3,3]),(4,[2,3,3]),(4,[3,3,3])]\n<\/pre>\n\n
- (finales xs) son las listas obtenidas transformando xs y a las que no se les puede aplicar m\u00e1s transformaciones. Por ejemplo, <\/li>\n<\/ul>\n
\n finales [1,2,3] == [[1,2,3]]\n finales [1,3,2] == [[1,2,3],[1,3,3]]\n finales [3,2,1] == [[2,2,3],[2,3,3],[3,3,3]]\n finales [1,3,2,4] == [[1,2,3,4],[1,3,3,4]]\n finales [1,3,2,3] == [[1,2,3,3],[1,3,3,3]]\n length (finales [9,6,0,7,2]) == 19\n length (finales [80,60..0]) == 420\n<\/pre>\n\n
- (finalesMaximales xs) es el par (n,yss) tal que la longitud de las cadenas m\u00e1s largas de transformaciones a partir de xs e yss es la lista de los estados finales a partir de xs con n transformaciones. Por ejemplo, <\/li>\n<\/ul>\n
\n finalesMaximales [9,5,7] == (2,[[6,8,9],[8,8,9]])\n finalesMaximales [3,2,1] == (4,[[2,3,3],[3,3,3]])\n finalesMaximales [3,2..0] == (10,[[2,3,3,3],[3,3,3,3]])\n finalesMaximales [4,3..0] == (20,[[3,4,4,4,4],[4,4,4,4,4]])\n<\/pre>\nSoluciones<\/h4>\n
[schedule expon=’2017-06-07′ expat=\u00bb06:00″]<\/p>\n
\n
- Las soluciones se pueden escribir en los comentarios hasta el 07 de junio.\n
- El c\u00f3digo se debe escribir entre una l\u00ednea con <pre lang=\u00bbhaskell\u00bb> y otra con <\/pre>\n<\/ul>\n
[\/schedule]<\/p>\n
[schedule on=’2017-06-07′ at=\u00bb06:00″]<\/p>\n
\r\nimport Data.List (nub, sort)\r\nimport I1M.BusquedaEnEspaciosDeEstados (buscaEE)\r\n\r\ntype Estado = (Int,[Int])\r\n\r\ninicial :: [Int] -> Estado\r\ninicial xs = (0,xs)\r\n\r\nesFinal :: Estado -> Bool\r\nesFinal e = null (sucesores e)\r\n\r\n-- \u03bb> sucesores [9,6,0,7,2]\r\n-- [[7,9,0,7,2],[8,9,0,7,2],[9,1,6,7,2],[9,5,6,7,2],[9,6,0,3,7],[9,6,0,6,7]]\r\nsucesores :: Estado -> [Estado]\r\nsucesores (_,[]) = []\r\nsucesores (_,[_]) = []\r\nsucesores (n,x:y:xs) | x > y = [(n+1,y+1:x:xs), (n+1,x-1:x:xs)] ++ yss\r\n | otherwise = yss\r\n where yss = [(m,x:ys) | (m,ys) <- sucesores (n,y:xs)]\r\n \r\n\r\nsoluciones :: [Int] -> [Estado]\r\nsoluciones xs =\r\n buscaEE sucesores esFinal (inicial xs)\r\n\r\nfinales :: [Int] -> [[Int]]\r\nfinales xs =\r\n sort (nub (map snd (soluciones xs)))\r\n \r\nfinalesMaximales :: [Int] -> (Int,[[Int]])\r\nfinalesMaximales xs =\r\n (m, [xs | (n,xs) <- es, n == m])\r\n where es = sort (nub (soluciones xs))\r\n (m,_) = maximum es\r\n<\/pre>\n[\/schedule]<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
En la Olimpiada Internacional de Matem\u00e1ticas del 2012 se propuso el siguiente problema: Varios enteros positivos se escriben en una lista. Iterativamente, Alicia elige dos n\u00fameros adyacentes x e y tales que x > y y x est\u00e1 a la izquierda de y y reemplaza el par (x,y) por (y+1,x) o (x-1,x). Demostrar que s\u00f3lo…<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_kad_post_transparent":"","_kad_post_title":"","_kad_post_layout":"","_kad_post_sidebar_id":"","_kad_post_content_style":"","_kad_post_vertical_padding":"","_kad_post_feature":"","_kad_post_feature_position":"","_kad_post_header":false,"_kad_post_footer":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"footnotes":"","_jetpack_memberships_contains_paid_content":false},"categories":[2],"tags":[456],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3340"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3340"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3340\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3341,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3340\/revisions\/3341"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3340"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3340"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3340"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}