{"id":3155,"date":"2017-03-30T06:38:08","date_gmt":"2017-03-30T04:38:08","guid":{"rendered":"http:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/?p=3155"},"modified":"2017-04-06T06:42:44","modified_gmt":"2017-04-06T04:42:44","slug":"sumas-con-sumandos-distintos-o-con-sumandos-impares","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/sumas-con-sumandos-distintos-o-con-sumandos-impares\/","title":{"rendered":"Sumas con sumandos distintos o con sumandos impares"},"content":{"rendered":"

El n\u00famero 6 se puede descomponer de 4 formas distintas como suma con sumandos distintos:<\/p>\n

\n   6 = 1 + 2 + 3\n   6 = 1 + 5\n   6 = 2 + 4\n   6 = 6\n<\/pre>\n
y tambi\u00e9n se puede descomponer de 4 formas distintas como suma con sumandos impares:<\/p>\n
\n   6 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1\n   6 = 1 + 1 + 1 + 3\n   6 = 1 + 5\n   6 = 3 + 3\n<\/pre>\n
Definir las siguientes funciones<\/p>\n
\n   sumasSumandosDistintos  :: Integer -> [[Integer]]\n   nSumasSumandosDistintos :: Integer -> Int\n   sumasSumandosImpares    :: Integer -> [[Integer]]\n   nSumasSumandosImpares   :: Integer -> Int\n   igualdadDeSumas         :: Integer -> Bool\n<\/pre>\n
tales que<\/p>\n
    \n
  • (sumasSumandosDistintos n) es la lista de las descomposiciones de n como sumas con sumandos distintos. Por ejemplo,<\/li>\n<\/ul>\n
    \n     sumasSumandosDistintos 5  ==  [[1,4],[2,3],[5]]\n     sumasSumandosDistintos 6  ==  [[1,2,3],[1,5],[2,4],[6]]\n<\/pre>\n
      \n
    • (nSumasSumandosDistintos n) es el n\u00famero de descomposiciones de n como sumas con sumandos distintos. Por ejemplo,<\/li>\n<\/ul>\n
      \n     nSumasSumandosDistintos 6  ==  4\n     nSumasSumandosDistintos 7  ==  5\n<\/pre>\n
        \n
      • (sumasSumandosImpares n) es la lista de las descomposiones de n como sumas con sumandos impares. Por ejemplo,<\/li>\n<\/ul>\n
        \n     sumasSumandosImpares 5  ==  [[1,1,1,1,1],[1,1,3],[5]]\n     sumasSumandosImpares 6  ==  [[1,1,1,1,1,1],[1,1,1,3],[1,5],[3,3]]\n<\/pre>\n
          \n
        • (nSumasSumandosImpares n) es el n\u00famero de descomposiciones de n como sumas con sumandos impares. Por ejemplo,<\/li>\n<\/ul>\n
          \n     nSumasSumandosImpares 6  ==  4\n     nSumasSumandosImpares 7  ==  5\n<\/pre>\n
            \n
          • (igualdadDeSumas n) se verifica si, para todo k entre 1 y n, las funciones nSumasSumandosDistintos y nSumasSumandosImpares son iguales. Por ejemplo,<\/li>\n<\/ul>\n
            \n     igualdadDeSumas 40  ==  True\n<\/pre>\n
            Soluciones<\/h4>\n
            \nimport Data.List (delete, nub)\n\n-- Definiciones de sumasSumandosDistintos\n-- ======================================\n\n-- 1\u00aa definici\u00f3n sumasSumandosDistintos\nsumasSumandosDistintos :: Integer -> [[Integer]]\nsumasSumandosDistintos n = aux n [1..n]\n  where aux 0 _ = [[]]\n        aux _ [] = []\n        aux x ys@(y:_)\n          | x < y     = []\n          | x == y    = [[x]]\n          | otherwise = [z : zs | z <- ys\n                                , zs <- aux (x - z) (dropWhile (<=z) ys)]\n\n-- 2\u00aa definici\u00f3n de sumasSumandosDistintos\nsumasSumandosDistintos2 :: Integer ->[[Integer]]\nsumasSumandosDistintos2 = aux 0\n  where aux i z\n          | z < 0  = []\n          | z == 0 = [[]]\n          | z > 0  = concat [map (j:) (aux j (z-j)) | j <- [i+1..z]]\n\n-- Definici\u00f3n de nSumasSumandosDistintos\n-- =====================================\n\nnSumasSumandosDistintos :: Integer -> Int\nnSumasSumandosDistintos =\n  length . sumasSumandosDistintos\n\n-- Definiciones de sumasSumandosImpares\n-- ====================================\n\n-- 1\u00aa definici\u00f3n de sumasSumandosImpares\nsumasSumandosImpares :: Integer -> [[Integer]]\nsumasSumandosImpares n = aux n [1,3..n]\n  where aux n _ | n < 0 = []\n        aux 0 _  = [[]]\n        aux _ [] = []\n        aux x zs@(y:ys) = [y:zs | zs <- aux (x-y) zs] ++ aux x ys \n\n-- 2\u00aa definici\u00f3n de sumasSumandosImpares\nsumasSumandosImpares2 :: Integer ->[[Integer]]\nsumasSumandosImpares2 = aux 1\n  where aux i z\n          | z < 0  = []\n          | z == 0 = [[]]\n          | z > 0  = concat [map (j:) (aux j (z-j)) | j <-[i,i+2..z]]\n\n-- Definici\u00f3n de nSumasSumandosImpares\n-- ===================================\n\nnSumasSumandosImpares :: Integer -> Int\nnSumasSumandosImpares =\n  length . sumasSumandosImpares\n\n-- Definici\u00f3n conjunta (de josejuan)\n-- =================================\n\n-- podemos definir una gran familia de generadores de la siguiente forma\nsumas :: Integer ->Integer ->Integer ->Integer ->Integer ->[[Integer]]\nsumas u a b k n = s u n where\n  s i z | z < 0 = []\n        | z == 0 = [[]]\n        | z > 0 = concat [map (j:) (s j (z - j)) | j <-[k*i+a,k*i+b..z]]\n \n-- as\u00ed, si queremos los distintos\nsumasSumandosDistintos3 :: Integer ->[[Integer]]\nsumasSumandosDistintos3 = sumas 0 1 2 1\n \n-- o queremos los impares repetidos\nsumasSumandosImpares3 :: Integer ->[[Integer]]\nsumasSumandosImpares3 = sumas 1 0 2 1\n\n-- Igualdad de las sumas\n-- =====================\n\nigualdadDeSumas :: Integer -> Bool\nigualdadDeSumas n =\n  and [nSumasSumandosDistintos k == nSumasSumandosImpares k | k <- [1..n]]\n\n-- Comparaci\u00f3n de eficiencia\n-- =========================\n\n--    \u03bb> length (sumasSumandosDistintos2 70)\n--    29927\n--    (0.57 secs, 374,604,848 bytes)\n--    \u03bb> length (sumasSumandosDistintos3 70)\n--    29927\n--    (0.57 secs, 352,658,200 bytes)\n--    \u03bb> length (sumasSumandosImpares 70)\n--    29927\n--    (8.87 secs, 5,221,638,688 bytes)\n--    \u03bb> length (sumasSumandosImpares2 70)\n--    29927\n--    (0.61 secs, 422,132,696 bytes)\n--    \u03bb> length (sumasSumandosImpares3 70)\n--    29927\n--    (0.56 secs, 412,289,336 bytes)\n<\/pre>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
            El n\u00famero 6 se puede descomponer de 4 formas distintas como suma con sumandos distintos: 6 = 1 + 2 + 3 6 = 1 + 5 6 = 2 + 4 6 = 6 y tambi\u00e9n se puede descomponer de 4 formas distintas como suma con sumandos impares: 6 = 1 + 1 +…<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_kad_post_transparent":"","_kad_post_title":"","_kad_post_layout":"","_kad_post_sidebar_id":"","_kad_post_content_style":"","_kad_post_vertical_padding":"","_kad_post_feature":"","_kad_post_feature_position":"","_kad_post_header":false,"_kad_post_footer":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"footnotes":"","_jetpack_memberships_contains_paid_content":false},"categories":[7],"tags":[12,59,28,10,11,6],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3155"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3155"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3155\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3192,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3155\/revisions\/3192"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3155"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3155"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/exercitium\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3155"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}