Densidades de números abundantes, perfectos y deficientes

La n-ésima densidad de un tipo de número es el cociente entre la cantidad de los números entre 1 y n que son del tipo considerado y n. Por ejemplo, la 7-ésima densidad de los múltiplos de 3 es 2/7 ya que entre los 7 primeros números sólo 2 son múltiplos de 3.

Definir las funciones

tales que

  • (densidades n) es la terna formada por la n-ésima densidad
    • de los números abundantes (es decir, para los que la suma de sus divisores propios es mayor que el número),
    • de los números perfectos (es decir, para los que la suma de sus divisores propios es mayor que el número) y
    • de los números deficientes (es decir, para los que la suma de sus divisores propios es menor que el número).

    Por ejemplo,

  • (graficas n) dibuja las gráficas de las k-ésimas densidades (para k entre 1 y n) de los números abundantes, de los números perfectos y de los números deficientes. Por ejemplo, (graficas 100) dibuja

    y (graficas 400) dibuja

Soluciones

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Sumas de divisores propios

Definir la función

tal que (sumaDivisoresHasta n) es la lista de los pares (a,b) tales que a es un número entre 1 y n y b es la suma de los divisores propios de a. Por ejemplo,

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Parejas de números y divisores

Definir la función

tal que (divisoresHasta n) es la lista de los pares (a,b) tales que a es un número entre 2 y n y b es un divisor propio de a. Por ejemplo,

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Sumas de 4 primos

La conjetura de Waring sobre los números primos establece que todo número impar es primo o la suma de tres primos. La conjetura de Goldbach afirma que todo par mayor que 2 es la suma de dos números primos. Ambos ha estado abiertos durante más de 200 años. En este problema no se propone su solución, sino una tarea más simple: buscar una manera de expresar los enteros mayores que 7 como suma de exactamente cuatro números primos; es decir, definir la función

tal que (suma4primos n) es la lista de las cuádruplas crecientes (a,b,c,d) de números primos cuya suma es n (que se supone mayor que 7). Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck que todo entero mayor que 7 se puede escribir como suma de exactamente cuatro números primos.

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Sucesión de sumas de dos números abundantes

Un número n es abundante si la suma de los divisores propios de n es mayor que n. El primer número abundante es el 12 (cuyos divisores propios son 1, 2, 3, 4 y 6 cuya suma es 16). Por tanto, el menor número que es la suma de dos números abundantes es el 24.

Definir la sucesión

cuyos elementos son los números que se pueden escribir como suma de dos números abundantes. Por ejemplo,

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