scanl1

Operaciones con series de potencias

PorJosé A. Alonso 29-abril-201625-marzo-2022

Una serie de potencias es una serie de la forma

   a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + ...

1	a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + ...

Las series de potencias se pueden representar mediante listas
infinitas. Por ejemplo, la serie de la función exponencial es

   e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...

1	e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...

y se puede representar por [1, 1, 1/2, 1/6, 1/24, 1/120, …]

Las operaciones con series se pueden ver como una generalización de las de los polinomios.

En lo que sigue, usaremos el tipo (Serie a) para representar las series de potencias con coeficientes en a y su definición es

   type Serie a = [a]

1	type Serie a = [a]

Definir las siguientes funciones

   opuesta      :: Num a => Serie a -> Serie a
   suma         :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a
   resta        :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a
   producto     :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a
   cociente     :: Fractional a => Serie a -> Serie a -> Serie a
   derivada     :: (Num a, Enum a) => Serie a -> Serie a
   integral     :: (Fractional a, Enum a) => Serie a -> Serie a
   expx         :: Serie Rational

opuesta :: Num a => Serie a -> Serie a

suma :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a

resta :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a

producto :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a

cociente :: Fractional a => Serie a -> Serie a -> Serie a

derivada :: (Num a, Enum a) => Serie a -> Serie a

integral :: (Fractional a, Enum a) => Serie a -> Serie a

expx :: Serie Rational

tales que

(opuesta xs) es la opuesta de la serie xs. Por ejemplo,

     λ> take 7 (opuesta [-6,-4..])
     [6,4,2,0,-2,-4,-6]

1 2	λ> take 7 (opuesta [-6,-4..]) [6,4,2,0,-2,-4,-6]

(suma xs ys) es la suma de las series xs e ys. Por ejemplo,

     λ> take 7 (suma [1,3..] [2,4..])
     [3,7,11,15,19,23,27]

1 2	λ> take 7 (suma [1,3..] [2,4..]) [3,7,11,15,19,23,27]

(resta xs ys) es la resta de las series xs es ys. Por ejemplo,

     λ> take 7 (resta [3,5..] [2,4..])
     [1,1,1,1,1,1,1]
     λ> take 7 (resta ([3,7,11,15,19,23,27] ++ repeat 0) [1,3..])
     [2,4,6,8,10,12,14]

λ> take 7 (resta [3,5..] [2,4..])

[1,1,1,1,1,1,1]

λ> take 7 (resta ([3,7,11,15,19,23,27] ++ repeat 0) [1,3..])

[2,4,6,8,10,12,14]

(producto xs ys) es el producto de las series xs e ys. Por ejemplo,

     λ> take 7 (producto [3,5..] [2,4..])
     [6,22,52,100,170,266,392]

1 2	λ> take 7 (producto [3,5..] [2,4..]) [6,22,52,100,170,266,392]

(cociente xs ys) es el cociente de las series xs e ys. Por ejemplo,

     λ> take 7 (cociente ([6,22,52,100,170,266,392] ++ repeat 0) [3,5..])
     [2.0,4.0,6.0,8.0,10.0,12.0,14.0]

1 2	λ> take 7 (cociente ([6,22,52,100,170,266,392] ++ repeat 0) [3,5..]) [2.0,4.0,6.0,8.0,10.0,12.0,14.0]

(derivada xs) es la derivada de la serie xs. Por ejemplo,

     λ> take 7 (derivada [2,4..])
     [4,12,24,40,60,84,112]

1 2	λ> take 7 (derivada [2,4..]) [4,12,24,40,60,84,112]

(integral xs) es la integral de la serie xs. Por ejemplo,

     λ> take 7 (integral ([4,12,24,40,60,84,112] ++ repeat 0))
     [0.0,4.0,6.0,8.0,10.0,12.0,14.0]

1 2	λ> take 7 (integral ([4,12,24,40,60,84,112] ++ repeat 0)) [0.0,4.0,6.0,8.0,10.0,12.0,14.0]

expx es la serie de la función exponencial. Por ejemplo,

     λ> take 8 expx
     [1 % 1,1 % 1,1 % 2,1 % 6,1 % 24,1 % 120,1 % 720,1 % 5040]
     λ> take 8 (derivada expx)
     [1 % 1,1 % 1,1 % 2,1 % 6,1 % 24,1 % 120,1 % 720,1 % 5040]
     λ> take 8 (integral expx)
     [0 % 1,1 % 1,1 % 2,1 % 6,1 % 24,1 % 120,1 % 720,1 % 5040]

λ> take 8 expx

[1 % 1,1 % 1,1 % 2,1 % 6,1 % 24,1 % 120,1 % 720,1 % 5040]

λ> take 8 (derivada expx)

[1 % 1,1 % 1,1 % 2,1 % 6,1 % 24,1 % 120,1 % 720,1 % 5040]

λ> take 8 (integral expx)

[0 % 1,1 % 1,1 % 2,1 % 6,1 % 24,1 % 120,1 % 720,1 % 5040]

Soluciones

type Serie a = [a] 

opuesta :: Num a => Serie a -> Serie a
opuesta = map negate

suma :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a
suma = zipWith (+)

resta :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a
resta xs ys = suma xs (opuesta ys)

producto :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a
producto (x:xs) zs@(y:ys) = 
    x*y : suma (producto xs zs) (map (x*) ys)

cociente :: Fractional a => Serie a -> Serie a -> Serie a
cociente (x:xs) (y:ys) = zs 
    where zs = x/y : map (/y) (resta xs (producto zs ys))  

derivada :: (Num a, Enum a) => Serie a -> Serie a
derivada (_:xs) = zipWith (*) xs [1..]

integral :: (Fractional a, Enum a) => Serie a -> Serie a
integral xs = 0 : zipWith (/) xs [1..]

expx :: Serie Rational
expx = map (1/) (map fromIntegral factoriales)

-- factoriales es la lista de los factoriales. Por ejemplo, 
--    take 7 factoriales  ==  [1,1,2,6,24,120,720]
factoriales :: [Integer]
factoriales = 1 : scanl1 (*) [1..]

type Serie a = [a]

opuesta :: Num a => Serie a -> Serie a

opuesta = map negate

suma :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a

suma = zipWith (+)

resta :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a

resta xs ys = suma xs (opuesta ys)

producto :: Num a => Serie a -> Serie a -> Serie a

producto (x:xs) zs@(y:ys) =

x*y : suma (producto xs zs) (map (x*) ys)

cociente :: Fractional a => Serie a -> Serie a -> Serie a

cociente (x:xs) (y:ys) = zs

where zs = x/y : map (/y) (resta xs (producto zs ys))

derivada :: (Num a, Enum a) => Serie a -> Serie a

derivada (_:xs) = zipWith (*) xs [1..]

integral :: (Fractional a, Enum a) => Serie a -> Serie a

integral xs = 0 : zipWith (/) xs [1..]

expx :: Serie Rational

expx = map (1/) (map fromIntegral factoriales)

-- factoriales es la lista de los factoriales. Por ejemplo,

-- take 7 factoriales == [1,1,2,6,24,120,720]

factoriales :: [Integer]

factoriales = 1 : scanl1 (*) [1..]

Números como sumas de primos consecutivos

PorJosé A. Alonso 15-abril-201625-abril-2021

En el artículo Integers as a sum of consecutive primes in 2,3,4,.. ways se presentan números que se pueden escribir como sumas de primos consecutivos de varias formas. Por ejemplo, el 41 se puede escribir de dos formas distintas

   41 =  2 +  3 +  5 + 7 + 11 + 13
   41 = 11 + 13 + 17

1 2	41 = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 41 = 11 + 13 + 17

el 240 se puede escribir de tres formas

   240 =  17 +  19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 41 + 43
   240 =  53 +  59 + 61 + 67
   240 = 113 + 127

240 = 17 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 41 + 43

240 = 53 + 59 + 61 + 67

240 = 113 + 127

y el 311 se puede escribir de 4 formas

   311 =  11 +  13 +  17 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 41 + 43 + 47
   311 =  31 +  37 +  41 + 43 + 47 + 53 + 59
   311 =  53 +  59 +  61 + 67 + 71
   311 = 101 + 103 + 107

311 = 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 41 + 43 + 47

311 = 31 + 37 + 41 + 43 + 47 + 53 + 59

311 = 53 + 59 + 61 + 67 + 71

311 = 101 + 103 + 107

Definir la función

   sumas :: Integer -> [[Integer]]

1	sumas :: Integer -> [[Integer]]

tal que (sumas x) es la lista de las formas de escribir x como suma
de dos o más números primos consecutivos. Por ejemplo,

   ghci> sumas 41
   [[2,3,5,7,11,13],[11,13,17]]
   ghci> sumas 240
   [[17,19,23,29,31,37,41,43],[53,59,61,67],[113,127]]
   ghci> sumas 311
   [[11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47],[31,37,41,43,47,53,59],[53,59,61,67,71],[101,103,107]]
   ghci> maximum [length (sumas n) | n <- [1..600]]
   4

ghci> sumas 41

[[2,3,5,7,11,13],[11,13,17]]

ghci> sumas 240

[[17,19,23,29,31,37,41,43],[53,59,61,67],[113,127]]

ghci> sumas 311

[[11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47],[31,37,41,43,47,53,59],[53,59,61,67,71],[101,103,107]]

ghci> maximum [length (sumas n) | n <- [1..600]]

Soluciones

import Data.Numbers.Primes (primes)
import Data.List (span)

sumas :: Integer -> [[Integer]]
sumas x = [ys | n <- takeWhile (< x) primes, 
                let ys = sumaDesde x n,
                not (null ys)]

-- (sumaDesde x n) es la lista de al menos dos números primos
-- consecutivos a partir del número primo n cuya suma es x, si existen y
-- la lista vacía en caso contrario. Por ejemplo,
--    sumaDesde 15 3  ==  [3,5,7]
--    sumaDesde  7 3  ==  []
sumaDesde :: Integer -> Integer -> [Integer]
sumaDesde x n | x == y    = take (1 + length us) ys
              | otherwise = []
    where ys       = dropWhile (<n) primes
          (us,y:_) = span (<x) (scanl1 (+) ys)

import Data.Numbers.Primes (primes)

import Data.List (span)

sumas :: Integer -> [[Integer]]

sumas x = [ys | n <- takeWhile (< x) primes,

let ys = sumaDesde x n,

not (null ys)]

-- (sumaDesde x n) es la lista de al menos dos números primos

-- consecutivos a partir del número primo n cuya suma es x, si existen y

-- la lista vacía en caso contrario. Por ejemplo,

-- sumaDesde 15 3 == [3,5,7]

-- sumaDesde 7 3 == []

sumaDesde :: Integer -> Integer -> [Integer]

sumaDesde x n | x == y = take (1 + length us) ys

| otherwise = []

where ys = dropWhile (<n) primes

(us,y:_) = span (<x) (scanl1 (+) ys)

2016 es un número práctico

PorJosé A. Alonso 4-enero-20161-mayo-2016

Un entero positivo n es un número práctico si todos los enteros positivos menores que él se pueden expresar como suma de distintos divisores de n. Por ejemplo, el 12 es un número práctico, ya que todos los enteros positivos menores que 12 se pueden expresar como suma de divisores de 12 (1, 2, 3, 4 y 6) sin usar ningún divisor más de una vez en cada suma:

    1 = 1
    2 = 2
    3 = 3
    4 = 4
    5 = 2 + 3
    6 = 6
    7 = 1 + 6
    8 = 2 + 6
    9 = 3 + 6
   10 = 4 + 6
   11 = 1 + 4 + 6

1 = 1

2 = 2

3 = 3

4 = 4

5 = 2 + 3

6 = 6

7 = 1 + 6

8 = 2 + 6

9 = 3 + 6

10 = 4 + 6

11 = 1 + 4 + 6

En cambio, 14 no es un número práctico ya que 6 no se puede escribir como suma, con sumandos distintos, de divisores de 14.

Definir la función

   esPractico :: Integer -> Bool

1	esPractico :: Integer -> Bool

tal que (esPractico n) se verifica si n es un número práctico. Por ejemplo,

   esPractico 12                                      ==  True
   esPractico 14                                      ==  False
   esPractico 2016                                    ==  True
   esPractico 42535295865117307932921825928971026432  ==  True

esPractico 12 == True

esPractico 14 == False

esPractico 2016 == True

esPractico 42535295865117307932921825928971026432 == True

Soluciones

import Data.List (genericLength, group, nub, sort, subsequences)
import Data.Numbers.Primes (primeFactors)
import Graphics.Gnuplot.Simple

-- 1ª definición
-- =============

esPractico1 :: Integer -> Bool
esPractico1 n =
    takeWhile (<n) (sumas (divisores n)) == [0..n-1]

-- (divisores n) es la lista de los divisores de n. Por ejemplo,
--    divisores 12  ==  [1,2,3,4,6]
--    divisores 14  ==  [1,2,7]
divisores :: Integer -> [Integer]
divisores n = [k | k <- [1..n-1], n `mod` k == 0]

-- (sumas xs) es la lista ordenada de números que se pueden obtener como
-- sumas de elementos de xs sin usar ningún elemento más de una vez en
-- cada suma. Por ejemplo,  
--    sumas [1,2,3]  ==  [0,1,2,3,4,5,6]
--    sumas [1,2,7]  ==  [0,1,2,3,7,8,9,10]
sumas :: [Integer] -> [Integer]
sumas xs = sort (nub (map sum (subsequences xs)))

-- 2ª definición
-- =============

esPractico2 :: Integer -> Bool
esPractico2 n = all (esSumable (divisores n)) [1..n-1]

-- (esSumable xs n) se verifica si n se puede escribir como una suma de
-- elementos distintos de la lista creciente xs. Por ejemplo,
--    esSumable [1,2,7] 8  ==  True
--    esSumable [1,2,7] 6  ==  False
--    esSumable [1,2,7] 4  ==  False
--    esSumable [1,2,7] 2  ==  True
--    esSumable [1,2,7] 0  ==  True
esSumable :: [Integer] -> Integer -> Bool
esSumable _ 0  = True
esSumable [] _ = False
esSumable (x:xs) n = x <= n && (esSumable xs (n-x) || esSumable xs n)

-- 3ª definición
-- =============

-- Usando la caracterización de Stewart y Sierpiński: un entero n >= 2
-- es práctico syss para su factorización prima
--    n = p(1)^e(1) * p(2)*e(2) *...* p(k)^e(k)
-- se cumple que p(1) = 2 y, para cada i de 2 a k se cumple que
--                         1+e(j) 
--                i-1  p(j)       - 1
--    p(i) <= 1 +  ∏  ----------------
--                j=1     p(j) - 1

esPractico3 :: Integer -> Bool
esPractico3 1 = True
esPractico3 n = 
    x == 2 &&
    and [p <= 1 + c | (p,c) <- zip bases cotas]
    where xss       = factorizacion n
          (x:bases) = map fst xss
          cotas     = scanl1 (*) [(p^(1+e)-1) `div` (p-1) | (p,e) <- xss]

-- (factorizacion n) es la factorización de n. Por ejemplo, 
--    factorizacion  600  ==  [(2,3),(3,1),(5,2)]
--    factorizacion 1400  ==  [(2,3),(5,2),(7,1)]
factorizacion :: Integer -> [(Integer,Integer)]
factorizacion n =
    [(head xs,genericLength xs) | xs <- group (primeFactors n)]

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

--    λ> length [n | n <- [1..400], esPractico1 n]
--    92
--    (40.21 secs, 8,378,539,464 bytes)
--    λ> length [n | n <- [1..400], esPractico2 n]
--    92
--    (8.29 secs, 1,109,669,760 bytes)
--    λ> length [n | n <- [1..400], esPractico3 n]
--    92
--    (0.02 secs, 0 bytes)

import Data.List (genericLength, group, nub, sort, subsequences)

import Data.Numbers.Primes (primeFactors)

import Graphics.Gnuplot.Simple

-- 1ª definición

-- =============

esPractico1 :: Integer -> Bool

esPractico1 n =

takeWhile (<n) (sumas (divisores n)) == [0..n-1]

-- (divisores n) es la lista de los divisores de n. Por ejemplo,

-- divisores 12 == [1,2,3,4,6]

-- divisores 14 == [1,2,7]

divisores :: Integer -> [Integer]

divisores n = [k | k <- [1..n-1], n `mod` k == 0]

-- (sumas xs) es la lista ordenada de números que se pueden obtener como

-- sumas de elementos de xs sin usar ningún elemento más de una vez en

-- cada suma. Por ejemplo,

-- sumas [1,2,3] == [0,1,2,3,4,5,6]

-- sumas [1,2,7] == [0,1,2,3,7,8,9,10]

sumas :: [Integer] -> [Integer]

sumas xs = sort (nub (map sum (subsequences xs)))

-- 2ª definición

-- =============

esPractico2 :: Integer -> Bool

esPractico2 n = all (esSumable (divisores n)) [1..n-1]

-- (esSumable xs n) se verifica si n se puede escribir como una suma de

-- elementos distintos de la lista creciente xs. Por ejemplo,

-- esSumable [1,2,7] 8 == True

-- esSumable [1,2,7] 6 == False

-- esSumable [1,2,7] 4 == False

-- esSumable [1,2,7] 2 == True

-- esSumable [1,2,7] 0 == True

esSumable :: [Integer] -> Integer -> Bool

esSumable _ 0 = True

esSumable [] _ = False

esSumable (x:xs) n = x <= n && (esSumable xs (n-x) || esSumable xs n)

-- 3ª definición

-- =============

-- Usando la caracterización de Stewart y Sierpiński: un entero n >= 2

-- es práctico syss para su factorización prima

-- n = p(1)^e(1) * p(2)*e(2) *...* p(k)^e(k)

-- se cumple que p(1) = 2 y, para cada i de 2 a k se cumple que

-- 1+e(j)

-- i-1 p(j) - 1

-- p(i) <= 1 + ∏ ----------------

-- j=1 p(j) - 1

esPractico3 :: Integer -> Bool

esPractico3 1 = True

esPractico3 n =

x == 2 &&

and [p <= 1 + c | (p,c) <- zip bases cotas]

where xss = factorizacion n

(x:bases) = map fst xss

cotas = scanl1 (*) [(p^(1+e)-1) `div` (p-1) | (p,e) <- xss]

-- (factorizacion n) es la factorización de n. Por ejemplo,

-- factorizacion 600 == [(2,3),(3,1),(5,2)]

-- factorizacion 1400 == [(2,3),(5,2),(7,1)]

factorizacion :: Integer -> [(Integer,Integer)]

factorizacion n =

[(head xs,genericLength xs) | xs <- group (primeFactors n)]

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- λ> length [n | n <- [1..400], esPractico1 n]

-- 92

-- (40.21 secs, 8,378,539,464 bytes)

-- λ> length [n | n <- [1..400], esPractico2 n]

-- 92

-- (8.29 secs, 1,109,669,760 bytes)

-- λ> length [n | n <- [1..400], esPractico3 n]

-- 92

-- (0.02 secs, 0 bytes)

Referencias

Basado en el artículo de Gaussianos Feliz Navidad y Feliz Año (número práctico) 2016.

Otras referencias

M. Margenstern (1991), Les nombres pratiques: théorie, observations et conjectures.
G. Melfi, Practical numbers.
G. Melfi (2008), A survey on practical numbers.
OEIS, Sucesión A005153.
PlanetMath.org, Practical number.
E.W. Weisstein, Practical number.
A. Weingartner (2015), Practical numbers and the distribution of divisors.
Wikipedia, Practical number.

Suma con redondeos

PorJosé A. Alonso 1-enero-20167-enero-2016

Definir las funciones

   sumaRedondeos       :: Integer -> [Integer]
   limiteSumaRedondeos :: Integer -> Integer

1 2	sumaRedondeos :: Integer -> [Integer] limiteSumaRedondeos :: Integer -> Integer

tales que

(sumaRedondeos n) es la sucesión cuyo k-ésimo término es

     redondeo (n/2) + redondeo (n/4) + ... + redondeo (n/2^k)

1	redondeo (n/2) + redondeo (n/4) + ... + redondeo (n/2^k)

Por ejemplo,

     take 5 (sumaRedondeos 1000)  ==  [500,750,875,937,968]

1	take 5 (sumaRedondeos 1000) == [500,750,875,937,968]

(limiteSumaRedondeos n) es la suma de la serie

     redondeo (n/2) + redondeo (n/4) + redondeo (n/8) + ...

1	redondeo (n/2) + redondeo (n/4) + redondeo (n/8) + ...

Por ejemplo,

     limiteSumaRedondeos 2000                    ==  1999
     limiteSumaRedondeos 2016                    ==  2016
     limiteSumaRedondeos (10^308) `mod` (10^10)  ==  123839487

limiteSumaRedondeos 2000 == 1999

limiteSumaRedondeos 2016 == 2016

limiteSumaRedondeos (10^308) `mod` (10^10) == 123839487

Soluciones

-- 1ª definición
-- =============

sumaRedondeos1 :: Integer -> [Integer]
sumaRedondeos1 n =
    [sum [round (n'/(fromIntegral (2^k))) | k <- [1..m]] | m <- [1..]]
    where n' = fromIntegral n

limiteSumaRedondeos1 :: Integer -> Integer
limiteSumaRedondeos1 = limite . sumaRedondeos1

limite :: [Integer] -> Integer
limite xs = head [x | (x,y) <- zip xs (tail xs), x == y]

-- 2ª definición
sumaRedondeos2 :: Integer -> [Integer]
sumaRedondeos2 n =
    scanl1 (+) [round (n'/(fromIntegral (2^k))) | k <- [1..]]
    where n' = fromIntegral n

limiteSumaRedondeos2 :: Integer -> Integer
limiteSumaRedondeos2 = limite . sumaRedondeos2

-- 3ª definición
sumaRedondeos3 :: Integer -> [Integer]
sumaRedondeos3 n = map fst (iterate f (round (n'/2),4))
    where f (s,d) = (s + round (n'/(fromIntegral d)), 2*d)
          n'      = fromIntegral n

limiteSumaRedondeos3 :: Integer -> Integer
limiteSumaRedondeos3 = limite . sumaRedondeos3

-- 4ª definición
sumaRedondeos4 :: Integer -> [Integer]
sumaRedondeos4 n = xs ++ repeat x
    where n' = fromIntegral n
          m  = round (logBase 2 n')
          xs = scanl1 (+) [round (n'/(fromIntegral (2^k))) | k <- [1..m]]
          x  = last xs

limiteSumaRedondeos4 :: Integer -> Integer
limiteSumaRedondeos4 = limite . sumaRedondeos4

-- Comparación de eficiencia
--    λ> (sumaRedondeos1 4) !! 20000
--    3
--    (0.92 secs, 197,782,232 bytes)
--    λ> (sumaRedondeos1 4) !! 30000
--    3
--    (2.20 secs, 351,084,816 bytes)
--    λ> (sumaRedondeos3 4) !! 20000
--    3
--    (0.30 secs, 53,472,392 bytes)
--    λ> (sumaRedondeos4 4) !! 20000
--    3
--    (0.01 secs, 0 bytes)

-- En lo que sigue, usaremos la 3ª definición
sumaRedondeos :: Integer -> [Integer]
sumaRedondeos = sumaRedondeos3

-- 5ª definición
-- =============

limiteSumaRedondeos5 :: Integer -> Integer
limiteSumaRedondeos5 n = 
    sum [round (n'/(fromIntegral (2^k))) | k <- [1..m]]
    where n' = fromIntegral n
          m  = round (logBase 2 n')

-- 1ª definición

-- =============

sumaRedondeos1 :: Integer -> [Integer]

sumaRedondeos1 n =

[sum [round (n'/(fromIntegral (2^k))) | k <- [1..m]] | m <- [1..]]

where n' = fromIntegral n

limiteSumaRedondeos1 :: Integer -> Integer

limiteSumaRedondeos1 = limite . sumaRedondeos1

limite :: [Integer] -> Integer

limite xs = head [x | (x,y) <- zip xs (tail xs), x == y]

-- 2ª definición

sumaRedondeos2 :: Integer -> [Integer]

sumaRedondeos2 n =

scanl1 (+) [round (n'/(fromIntegral (2^k))) | k <- [1..]]

where n' = fromIntegral n

limiteSumaRedondeos2 :: Integer -> Integer

limiteSumaRedondeos2 = limite . sumaRedondeos2

-- 3ª definición

sumaRedondeos3 :: Integer -> [Integer]

sumaRedondeos3 n = map fst (iterate f (round (n'/2),4))

where f (s,d) = (s + round (n'/(fromIntegral d)), 2*d)

n' = fromIntegral n

limiteSumaRedondeos3 :: Integer -> Integer

limiteSumaRedondeos3 = limite . sumaRedondeos3

-- 4ª definición

sumaRedondeos4 :: Integer -> [Integer]

sumaRedondeos4 n = xs ++ repeat x

where n' = fromIntegral n

m = round (logBase 2 n')

xs = scanl1 (+) [round (n'/(fromIntegral (2^k))) | k <- [1..m]]

x = last xs

limiteSumaRedondeos4 :: Integer -> Integer

limiteSumaRedondeos4 = limite . sumaRedondeos4

-- Comparación de eficiencia

-- λ> (sumaRedondeos1 4) !! 20000

-- 3

-- (0.92 secs, 197,782,232 bytes)

-- λ> (sumaRedondeos1 4) !! 30000

-- 3

-- (2.20 secs, 351,084,816 bytes)

-- λ> (sumaRedondeos3 4) !! 20000

-- 3

-- (0.30 secs, 53,472,392 bytes)

-- λ> (sumaRedondeos4 4) !! 20000

-- 3

-- (0.01 secs, 0 bytes)

-- En lo que sigue, usaremos la 3ª definición

sumaRedondeos :: Integer -> [Integer]

sumaRedondeos = sumaRedondeos3

-- 5ª definición

-- =============

limiteSumaRedondeos5 :: Integer -> Integer

limiteSumaRedondeos5 n =

sum [round (n'/(fromIntegral (2^k))) | k <- [1..m]]

where n' = fromIntegral n

m = round (logBase 2 n')

Producto infinito

PorJosé A. Alonso 22-diciembre-201525-marzo-2022

Definir la función

   productoInfinito :: [Int] -> [Int]

1	productoInfinito :: [Int] -> [Int]

tal que (productoInfinito xs) es la lista infinita que en la posición N tiene el producto de los N primeros elementos de la lista infinita xs. Por ejemplo,

   take 5 (productoInfinito [1..])    ==  [1,2,6,24,120]
   take 5 (productoInfinito [2,4..])  ==  [2,8,48,384,3840]
   take 5 (productoInfinito [1,3..])  ==  [1,3,15,105,945]

take 5 (productoInfinito [1..]) == [1,2,6,24,120]

take 5 (productoInfinito [2,4..]) == [2,8,48,384,3840]

take 5 (productoInfinito [1,3..]) == [1,3,15,105,945]

Nota: Este ejercicio es parte del examen del grupo 3 del 2 de diciembre.

Soluciones

-- 1ª definición (por comprensión):
productoInfinito1 :: [Integer] -> [Integer]
productoInfinito1 xs = [product (take n xs) | n <- [1..]]

-- 2ª definición (por recursión)
productoInfinito2 :: [Integer] -> [Integer]
productoInfinito2 (x:y:zs) = x : productoInfinito2 (x*y:zs)

-- 2ª definición (por recursión y map)
productoInfinito3 :: [Integer] -> [Integer]
productoInfinito3 []     = [1]
productoInfinito3 (x:xs) = map (x*) (1 : productoInfinito3 xs)

-- 4ª definición (con scanl1)
productoInfinito4 :: [Integer] -> [Integer]
productoInfinito4 = scanl1 (*)

-- Comparación de eficiencia
--    λ> take 20 (show (productoInfinito1 [2,4..] !! 10000))
--    "11358071114466915693"
--    (0.35 secs, 98,287,328 bytes)
--    λ> take 20 (show (productoInfinito2 [2,4..] !! 10000))
--    "11358071114466915693"
--    (0.35 secs, 98,840,440 bytes)
--    λ> take 20 (show (productoInfinito3 [2,4..] !! 10000))
--    "11358071114466915693"
--    (7.36 secs, 6,006,360,472 bytes)
--    λ> take 20 (show (productoInfinito4 [2,4..] !! 10000))
--    "11358071114466915693"
--    (0.34 secs, 96,367,000 bytes)

-- 1ª definición (por comprensión):

productoInfinito1 :: [Integer] -> [Integer]

productoInfinito1 xs = [product (take n xs) | n <- [1..]]

-- 2ª definición (por recursión)

productoInfinito2 :: [Integer] -> [Integer]

productoInfinito2 (x:y:zs) = x : productoInfinito2 (x*y:zs)

-- 2ª definición (por recursión y map)

productoInfinito3 :: [Integer] -> [Integer]

productoInfinito3 [] = [1]

productoInfinito3 (x:xs) = map (x*) (1 : productoInfinito3 xs)

-- 4ª definición (con scanl1)

productoInfinito4 :: [Integer] -> [Integer]

productoInfinito4 = scanl1 (*)

-- Comparación de eficiencia

-- λ> take 20 (show (productoInfinito1 [2,4..] !! 10000))

-- "11358071114466915693"

-- (0.35 secs, 98,287,328 bytes)

-- λ> take 20 (show (productoInfinito2 [2,4..] !! 10000))

-- "11358071114466915693"

-- (0.35 secs, 98,840,440 bytes)

-- λ> take 20 (show (productoInfinito3 [2,4..] !! 10000))

-- "11358071114466915693"

-- (7.36 secs, 6,006,360,472 bytes)

-- λ> take 20 (show (productoInfinito4 [2,4..] !! 10000))

-- "11358071114466915693"

-- (0.34 secs, 96,367,000 bytes)

Operaciones con series de potencias

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Números como sumas de primos consecutivos

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Suma con redondeos

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