Transformaciones lineales de números triangulares

La sucesión de los números triangulares se obtiene sumando los números naturales. Así, los 8 primeros números triangulares son

Para cada número triangular n existen números naturales a y b, tales que a . n + b también es triangular. Para n = 6, se tiene que

son números triangulares

Definir la función

tal que si n es triangular, (transformaciones n) es la lista de los pares (a,b) tales que a es un entero positivo y b el menor número tal que a . n + b es triangular. Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

A la hora del rocío,
de la niebla salen
sierra blanca y prado verde.
¡El sol en los encinares!

Antonio Machado

Menor número triangular con más de n divisores

La sucesión de los números triangulares se obtiene sumando los números naturales.

Así, el 7º número triangular es

Los primeros 10 números triangulares son

Los divisores de los primeros 7 números triangulares son:

Como se puede observar, 28 es el menor número triangular con más de 5 divisores.

Definir la función

tal que (menorTriangularConAlMenosNDivisores n) es el menor número triangular que tiene al menos n divisores. Por ejemplo,

Nota: Este ejercicio está basado en el problema 12 del Proyecto Euler

Soluciones

Pensamiento

«La Matemática es una ciencia experimental y la computación es el experimento.» ~ Rivin

Números triangulares

La sucesión de los números triangulares se obtiene sumando los números naturales.

Así, los 5 primeros números triangulares son

Definir la función

tal que triangulares es la lista de los números triangulares. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck que entre dos números triangulares consecutivos siempre hay un número primo.

Soluciones

Pensamiento

Autores, la escena acaba
con un dogma de teatro:
En el principio era la máscara.

Antonio Machado

Operaciones con series de potencias

Una serie de potencias es una serie de la forma

Las series de potencias se pueden representar mediante listas infinitas. Por ejemplo, la serie de la función exponencial es

y se puede representar por [1, 1, 1/2, 1/6, 1/24, 1/120, …]

Las operaciones con series se pueden ver como una generalización de las de los polinomios.

En lo que sigue, usaremos el tipo (Serie a) para representar las series de potencias con coeficientes en a y su definición es

Definir las siguientes funciones

tales que

  • (opuesta xs) es la opuesta de la serie xs. Por ejemplo,

  • (suma xs ys) es la suma de las series xs e ys. Por ejemplo,

  • (resta xs ys) es la resta de las series xs es ys. Por ejemplo,

  • (producto xs ys) es el producto de las series xs e ys. Por ejemplo,

  • (cociente xs ys) es el cociente de las series xs e ys. Por ejemplo,

  • (derivada xs) es la derivada de la serie xs. Por ejemplo,

  • (integral xs) es la integral de la serie xs. Por ejemplo,

  • expx es la serie de la función exponencial. Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

Ni mármol duro y eterno,
ni música ni pintura,
sino palabra en el tiempo.

Antonio Machado

Suma de segmentos iniciales

Los segmentos iniciales de [3,1,2,5] son [3], [3,1], [3,1,2] y [3,1,2,5]. Sus sumas son 3, 4, 6 y 9, respectivamente. La suma de dichas sumas es 24.

Definir la función

tal que (sumaSegmentosIniciales xs) es la suma de las sumas de los segmentos iniciales de xs. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck que la suma de las sumas de los segmentos iniciales de la lista formada por n veces el número uno es el n-ésimo número triangular; es decir que

es igual a

Soluciones

Pensamiento

Al andar se hace camino,
y al volver la vista atrás
se ve la senda que nunca
se ha de volver a pisar.

Antonio Machado