Números de Catalan

Los números de Catalan forman la sucesión cuyo término general es
Numeros_de_Catalan_1

Los primeros números de Catalan son

Los números de Catalan satisfacen la siguiente relación de recurrencia:
Numeros_de_Catalan_2

Asintóticamente, los números de Catalan crecen como:
Numeros_de_Catalan_3
considerando que el cociente entre el n-ésimo número de Catalan y la expresión de la derecha tiende hacia 1 cuando n tiende a infinito.

Definir las funciones

tales que

  • catalan es la lista de términos de la sucesión de Catalan. Por ejemplo,

  • (grafica a b) dibuja los n-ésimos términos de la sucesión de Catalan, para n entre a y b, junto con los de la expresión de la derecha de
    Numeros_de_Catalan_3
    Por ejemplo, (grafica 5 10) dibuja
    Numeros_de_Catalan_4
    y (grafica 55 60) dibuja
    Numeros_de_Catalan_5

Soluciones

Generadores de números de Gabonacci

Los números de Gabonacci generados por (a,b) son los elementos de la sucesión de Gabonacci definida por

Por ejemplo, la sucesión de Gabonacci generada por (2,5) es 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81, 131, 212, …

Un número pertenece a distintas sucesiones de Gabonacci. Por ejemplo, el 9 pertenece a las sucesiones de Gabonacci generados por (3,3), (1,4) y (4,5).

El menor generador de Gabonacci de un número x es el par (a,b), con 1 ≤ a ≤ b, tal que (a,b) es un generador de Gabonacci de x y no existe ningún generador de Gabonacci de x (a’,b’) tal que b’ < b ó b’ = b y a’ < a. Por ejemplo, el menor generador de Gabonacci de 9 es (3,3).

Definir la función

tal que (menorGenerador x) es el menor generador de Gabonacci de x. Por ejemplo,

Soluciones

Cálculo de pi mediante el método de Newton

El método de Newton para el cálculo de pi se basa en la relación
Calculo_de_pi_mediante_el_metodo_de_Newton_1
y en el desarrollo del arco seno
Calculo_de_pi_mediante_el_metodo_de_Newton_2
de donde se obtiene la fórmula
Calculo_de_pi_mediante_el_metodo_de_Newton_3

La primeras aproximaciones son

Definir las funciones

tales que

  • (aproximacionPi n) es la n-ésima aproximación de pi con la fórmula de Newton. Por ejemplo,

  • (grafica xs) dibuja la gráfica de las k-ésimas aproximaciones de pi donde k toma los valores de la lista xs. Por ejemplo, (grafica [1..30]) dibuja
    Calculo_de_pi_mediante_el_metodo_de_Newton_4

Nota: Este ejercicio ha sido propuesto por Manuel Herrera.

Soluciones

Sucesión de Cantor de números innombrables

Un número es innombrable si es divisible por 7 o alguno de sus dígitos es un 7. Un juego infantil consiste en contar saltándose los números innombrables:

La sucesión de Cantor se obtiene llenando los huecos de la sucesión anterior
como se indica a continuación:

Definir la sucesión

cuyos elementos son los términos de la sucesión de Cantor. Por ejemplo,

Soluciones

Referencia

Basado en Cantor’s unspeakable numbers de
CodeGolf.

Cadena de primos

La lista de los primeros números primos es

Los primeros elementos de la cadena obtenida concatenado los números primos es

Definir la función

tal que (primoEnPosicion n) es el número primo que tiene algún dígito en la posición n de la cadena obtenida concatenado los números primos. Por ejemplo,

Soluciones