replicate

Números cíclopes

PorJosé A. Alonso 12-marzo-201926-marzo-2022

Un número cíclope es un número natural cuya representación binaria sólo tiene un cero en el centro. Por ejemplo,

     0      es ciclope porque su representación binaria es 0       
     1   no es ciclope porque su representación binaria es 1       
     5      es ciclope porque su representación binaria es 101     
     9   no es ciclope porque su representación binaria es 1001    
    10   no es ciclope porque su representación binaria es 1010    
    27      es ciclope porque su representación binaria es 11011   
    85   no es ciclope porque su representación binaria es 1010101 
   101   no es ciclope porque su representación binaria es 1100101 
   111   no es ciclope porque su representación binaria es 1101111 
   119      es ciclope porque su representación binaria es 1110111

0 es ciclope porque su representación binaria es 0

1 no es ciclope porque su representación binaria es 1

5 es ciclope porque su representación binaria es 101

9 no es ciclope porque su representación binaria es 1001

10 no es ciclope porque su representación binaria es 1010

27 es ciclope porque su representación binaria es 11011

85 no es ciclope porque su representación binaria es 1010101

101 no es ciclope porque su representación binaria es 1100101

111 no es ciclope porque su representación binaria es 1101111

119 es ciclope porque su representación binaria es 1110111

Definir las funciones

   esCiclope       :: Integer -> Bool
   ciclopes        :: [Integer]
   graficaCiclopes :: Int -> IO ()

esCiclope :: Integer -> Bool

ciclopes :: [Integer]

graficaCiclopes :: Int -> IO ()

tales que

(esCiclope n) se verifica si el número natual n es cíclope. Por ejemplo,

      esCiclope 0    ==  True
      esCiclope 1    ==  False
      esCiclope 5    ==  True
      esCiclope 9    ==  False
      esCiclope 10   ==  False
      esCiclope 27   ==  True
      esCiclope 85   ==  False
      esCiclope 101  ==  False
      esCiclope 111  ==  False
      esCiclope 119  ==  True

esCiclope 0 == True

esCiclope 1 == False

esCiclope 5 == True

esCiclope 9 == False

esCiclope 10 == False

esCiclope 27 == True

esCiclope 85 == False

esCiclope 101 == False

esCiclope 111 == False

esCiclope 119 == True

ciclopes es la lista de los número cíclopes. Por ejemplo,

     λ> take 12 ciclopes
     [0,5,27,119,495,2015,8127,32639,130815,523775,2096127,8386559]
     λ> length (show (ciclopes !! (10^5)))
     60207

λ> take 12 ciclopes

[0,5,27,119,495,2015,8127,32639,130815,523775,2096127,8386559]

λ> length (show (ciclopes !! (10^5)))

60207

(graficaCiclopes n) dibuja la gráfica del último dígito de los n primeros números cíclopes. Por ejemplo, (graficaCiclopes n) dibuja

Soluciones

import Graphics.Gnuplot.Simple

-- 1ª solución
-- ===========

--    esCiclope 5  ==  True
--    esCiclope 6  ==  False
esCiclope :: Integer -> Bool
esCiclope n =
  esCiclopeBinario (decimalAbinario n)

--    decimalAbinario 4  ==  [0,0,1]
--    decimalAbinario 5  ==  [1,0,1]
--    decimalAbinario 6  ==  [0,1,1]
decimalAbinario :: Integer -> [Integer]
decimalAbinario 0 = [0]
decimalAbinario 1 = [1]
decimalAbinario n = r : decimalAbinario q
  where (q,r) = quotRem n 2

--    esCiclopeBinario [1,1,0,1,1]  ==  True
--    esCiclopeBinario [1,1,0,1]  ==  False
--    esCiclopeBinario [1,1,2,1,1]  ==  False
--    esCiclopeBinario [2,2,0,2,2]  ==  False
esCiclopeBinario :: [Integer] -> Bool
esCiclopeBinario xs =
  odd n && xs == ys ++ 0 : ys
  where n  = length xs
        m  = n `div` 2
        ys = replicate m 1

--    take 8 ciclopes  ==  [0,5,27,119,495,2015,8127,32639]
ciclopes :: [Integer]
ciclopes = filter esCiclope [0..]

-- 2ª solución
-- ===========

--    take 8 ciclopes2  ==  [0,5,27,119,495,2015,8127,32639]
ciclopes2 :: [Integer]
ciclopes2 =
  [binarioAdecimal (replicate n 1 ++ 0 : replicate n 1) | n <- [0..]]

--    binarioAdecimal [0,1,1]  ==  6
binarioAdecimal :: [Integer] -> Integer
binarioAdecimal [x]    = x
binarioAdecimal (x:xs) = x + 2 * binarioAdecimal xs

esCiclope2 :: Integer -> Bool
esCiclope2 n =
  n `pertenece` ciclopes2

pertenece :: Integer -> [Integer] -> Bool
pertenece x ys =
  x == head (dropWhile (<x) ys)

-- 3ª solución
-- ===========

--    take 8 ciclopes3  ==  [0,5,27,119,495,2015,8127,32639]
ciclopes3 :: [Integer]
ciclopes3 =
  [sum [2^k | k <- [0..n-1]] + sum [2^k | k <- [n+1..n+n]] | n <- [0..]]

esCiclope3 :: Integer -> Bool
esCiclope3 n =
  n `pertenece` ciclopes3

-- 4ª solución
-- ===========

--    take 8 ciclopes3  ==  [0,5,27,119,495,2015,8127,32639]
ciclopes4 :: [Integer]
ciclopes4 =
  [2^(2*n+1) - 1 - 2^n | n <- [0..]]

esCiclope4 :: Integer -> Bool
esCiclope4 n =
  n `pertenece` ciclopes4


-- 5ª solución
-- ===========

--    take 8 ciclopes5  ==  [0,5,27,119,495,2015,8127,32639]
ciclopes5 :: [Integer]
ciclopes5 =
  [2*4^n - 1 - 2^n | n <- [0..]]

esCiclope5 :: Integer -> Bool
esCiclope5 n =
  n `pertenece` ciclopes5

-- 6ª solución
-- ===========

--    take 8 ciclopes6  ==  [0,5,27,119,495,2015,8127,32639]
ciclopes6 :: [Integer]
ciclopes6 =
  [2*x*x - 1 - x | x <- iterate (*2) 1]
  
esCiclope6 :: Integer -> Bool
esCiclope6 n =
  n `pertenece` ciclopes6



-- Comparación de eficiencia
-- =========================

--    λ> ciclopes !! 9
--    523775
--    (6.68 secs, 4,696,734,960 bytes)
--    λ> ciclopes2 !! 9
--    523775
--    (0.00 secs, 134,664 bytes)
--    λ> ciclopes3 !! 9
--    523775
--    (0.00 secs, 150,920 bytes)
--    λ> ciclopes4 !! 9
--    523775
--    (0.01 secs, 131,936 bytes)
--    λ> ciclopes5 !! 9
--    523775
--    (0.00 secs, 132,064 bytes)
--
--    λ> length (show (ciclopes2 !! (3*10^4)))
--    18063
--    (0.65 secs, 486,437,480 bytes)
--    λ> length (show (ciclopes3 !! (3*10^4)))
--    18063
--    (2.94 secs, 1,188,645,584 bytes)
--    λ> length (show (ciclopes4 !! (3*10^4)))
--    18063
--    (0.02 secs, 6,769,592 bytes)
--    λ> length (show (ciclopes5 !! (3*10^4)))
--    18063
--    (0.02 secs, 6,773,552 bytes)
--
--    λ> length (show (ciclopes2 !! (10^5)))
--    60207
--    (6.42 secs, 5,148,671,368 bytes)
--    λ> length (show (ciclopes4 !! (10^5)))
--    60207
--    (0.07 secs, 22,291,480 bytes)
--    λ> length (show (ciclopes5 !! (10^5)))
--    60207
--    (0.04 secs, 22,316,216 bytes)
--    
--    λ> length (show (ciclopes4 !! (5*10^6)))
--    3010301
--    (2.34 secs, 1,116,327,832 bytes)
--    λ> length (show (ciclopes5 !! (5*10^6)))
--    3010301
--    (2.39 secs, 1,099,177,056 bytes)

-- Definición de graficaCiclopes
-- =============================

graficaCiclopes :: Int -> IO ()
graficaCiclopes n =
  plotList [ Key Nothing
           -- , PNG "Numeros_ciclopes.png"
           ]
           [x `mod` 10 | x <- take n ciclopes5]

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

144

145

146

147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

161

162

163

164

165

import Graphics.Gnuplot.Simple

-- 1ª solución

-- ===========

-- esCiclope 5 == True

-- esCiclope 6 == False

esCiclope :: Integer -> Bool

esCiclope n =

esCiclopeBinario (decimalAbinario n)

-- decimalAbinario 4 == [0,0,1]

-- decimalAbinario 5 == [1,0,1]

-- decimalAbinario 6 == [0,1,1]

decimalAbinario :: Integer -> [Integer]

decimalAbinario 0 = [0]

decimalAbinario 1 = [1]

decimalAbinario n = r : decimalAbinario q

where (q,r) = quotRem n 2

-- esCiclopeBinario [1,1,0,1,1] == True

-- esCiclopeBinario [1,1,0,1] == False

-- esCiclopeBinario [1,1,2,1,1] == False

-- esCiclopeBinario [2,2,0,2,2] == False

esCiclopeBinario :: [Integer] -> Bool

esCiclopeBinario xs =

odd n && xs == ys ++ 0 : ys

where n = length xs

m = n `div` 2

ys = replicate m 1

-- take 8 ciclopes == [0,5,27,119,495,2015,8127,32639]

ciclopes :: [Integer]

ciclopes = filter esCiclope [0..]

-- 2ª solución

-- ===========

-- take 8 ciclopes2 == [0,5,27,119,495,2015,8127,32639]

ciclopes2 :: [Integer]

ciclopes2 =

[binarioAdecimal (replicate n 1 ++ 0 : replicate n 1) | n <- [0..]]

-- binarioAdecimal [0,1,1] == 6

binarioAdecimal :: [Integer] -> Integer

binarioAdecimal [x] = x

binarioAdecimal (x:xs) = x + 2 * binarioAdecimal xs

esCiclope2 :: Integer -> Bool

esCiclope2 n =

n `pertenece` ciclopes2

pertenece :: Integer -> [Integer] -> Bool

pertenece x ys =

x == head (dropWhile (<x) ys)

-- 3ª solución

-- ===========

-- take 8 ciclopes3 == [0,5,27,119,495,2015,8127,32639]

ciclopes3 :: [Integer]

ciclopes3 =

[sum [2^k | k <- [0..n-1]] + sum [2^k | k <- [n+1..n+n]] | n <- [0..]]

esCiclope3 :: Integer -> Bool

esCiclope3 n =

n `pertenece` ciclopes3

-- 4ª solución

-- ===========

-- take 8 ciclopes3 == [0,5,27,119,495,2015,8127,32639]

ciclopes4 :: [Integer]

ciclopes4 =

[2^(2*n+1) - 1 - 2^n | n <- [0..]]

esCiclope4 :: Integer -> Bool

esCiclope4 n =

n `pertenece` ciclopes4

-- 5ª solución

-- ===========

-- take 8 ciclopes5 == [0,5,27,119,495,2015,8127,32639]

ciclopes5 :: [Integer]

ciclopes5 =

[2*4^n - 1 - 2^n | n <- [0..]]

esCiclope5 :: Integer -> Bool

esCiclope5 n =

n `pertenece` ciclopes5

-- 6ª solución

-- ===========

-- take 8 ciclopes6 == [0,5,27,119,495,2015,8127,32639]

ciclopes6 :: [Integer]

ciclopes6 =

[2*x*x - 1 - x | x <- iterate (*2) 1]

esCiclope6 :: Integer -> Bool

esCiclope6 n =

n `pertenece` ciclopes6

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- λ> ciclopes !! 9

-- 523775

-- (6.68 secs, 4,696,734,960 bytes)

-- λ> ciclopes2 !! 9

-- 523775

-- (0.00 secs, 134,664 bytes)

-- λ> ciclopes3 !! 9

-- 523775

-- (0.00 secs, 150,920 bytes)

-- λ> ciclopes4 !! 9

-- 523775

-- (0.01 secs, 131,936 bytes)

-- λ> ciclopes5 !! 9

-- 523775

-- (0.00 secs, 132,064 bytes)

-- λ> length (show (ciclopes2 !! (3*10^4)))

-- 18063

-- (0.65 secs, 486,437,480 bytes)

-- λ> length (show (ciclopes3 !! (3*10^4)))

-- 18063

-- (2.94 secs, 1,188,645,584 bytes)

-- λ> length (show (ciclopes4 !! (3*10^4)))

-- 18063

-- (0.02 secs, 6,769,592 bytes)

-- λ> length (show (ciclopes5 !! (3*10^4)))

-- 18063

-- (0.02 secs, 6,773,552 bytes)

-- λ> length (show (ciclopes2 !! (10^5)))

-- 60207

-- (6.42 secs, 5,148,671,368 bytes)

-- λ> length (show (ciclopes4 !! (10^5)))

-- 60207

-- (0.07 secs, 22,291,480 bytes)

-- λ> length (show (ciclopes5 !! (10^5)))

-- 60207

-- (0.04 secs, 22,316,216 bytes)

-- λ> length (show (ciclopes4 !! (5*10^6)))

-- 3010301

-- (2.34 secs, 1,116,327,832 bytes)

-- λ> length (show (ciclopes5 !! (5*10^6)))

-- 3010301

-- (2.39 secs, 1,099,177,056 bytes)

-- Definición de graficaCiclopes

-- =============================

graficaCiclopes :: Int -> IO ()

graficaCiclopes n =

plotList [ Key Nothing

-- , PNG "Numeros_ciclopes.png"

]

[x `mod` 10 | x <- take n ciclopes5]

Pensamiento

¿Sabes cuando el agua suena,
si es agua de cumbre o valle,
de plaza, jardín o huerta?
Cantores, dejad
palmas y jaleo
para los demás.

Antonio Machado

Dígitos iniciales

PorJosé A. Alonso 2-febrero-201819-febrero-2018

Definir las funciones

   digitosIniciales        :: [Int]
   graficaDigitosIniciales :: Int -> IO ()

1 2	digitosIniciales :: [Int] graficaDigitosIniciales :: Int -> IO ()

tales que

digitosIniciales es la lista de los dígitos iniciales de los números naturales. Por ejemplo,

     λ> take 100 digitosIniciales
     [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,
      3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,
      6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,
      9,9,9,9,9,9,9,9,9,9]

λ> take 100 digitosIniciales

[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,

3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,

6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,

9,9,9,9,9,9,9,9,9,9]

(graficaDigitosIniciales n) dibuja la gráfica de los primeros n términos de la sucesión digitosIniciales. Por ejemplo, (graficaDigitosIniciales 100) dibuja

y (graficaDigitosIniciales 1000) dibuja

Soluciones

import Graphics.Gnuplot.Simple

-- 1ª definición
-- =============

digitosIniciales :: [Int]
digitosIniciales = map digitoInicial [0..]

digitoInicial :: Integer -> Int
digitoInicial n = read [head (show n)]

-- 2ª definición
-- =============

digitosIniciales2 :: [Int]
digitosIniciales2 = map (read . return . head . show) [0..]

-- 3ª definición
-- =============

digitosIniciales3 :: [Int]
digitosIniciales3 = map digitoInicial3 [0..]

digitoInicial3 :: Integer -> Int
digitoInicial3 = fromInteger . until (< 10) (`div` 10)

-- 4ª definición
-- =============

digitosIniciales4 :: [Int]
digitosIniciales4 = map (fromInteger . until (< 10) (`div` 10)) [0..]

-- 5ª definición
-- =============

digitosIniciales5 :: [Int]
digitosIniciales5 =
  0 : concat [replicate k x | k <- [10^n | n <- [0..]]
                            , x <- [1..9]]

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

--    λ> digitosIniciales !! (2*10^6)
--    2
--    (0.46 secs, 320,145,984 bytes)
--    λ> digitosIniciales2 !! (2*10^6)
--    2
--    (0.46 secs, 320,143,288 bytes)
--    λ> digitosIniciales3 !! (2*10^6)
--    2
--    (0.17 secs, 320,139,216 bytes)
--    λ> digitosIniciales4 !! (2*10^6)
--    2
--    (0.55 secs, 320,139,248 bytes)
--    λ> digitosIniciales5 !! (2*10^6)
--    2
--    (0.12 secs, 224,158,992 bytes)

graficaDigitosIniciales :: Int -> IO ()
graficaDigitosIniciales n =
  plotList [ Key Nothing
           , Title ("graficaDigitosIniciales " ++ show n)
           , PNG ("Digitos_iniciales_" ++ show n ++ ".png" )
           ]
           (take n digitosIniciales)

import Graphics.Gnuplot.Simple

-- 1ª definición

-- =============

digitosIniciales :: [Int]

digitosIniciales = map digitoInicial [0..]

digitoInicial :: Integer -> Int

digitoInicial n = read [head (show n)]

-- 2ª definición

-- =============

digitosIniciales2 :: [Int]

digitosIniciales2 = map (read . return . head . show) [0..]

-- 3ª definición

-- =============

digitosIniciales3 :: [Int]

digitosIniciales3 = map digitoInicial3 [0..]

digitoInicial3 :: Integer -> Int

digitoInicial3 = fromInteger . until (< 10) (`div` 10)

-- 4ª definición

-- =============

digitosIniciales4 :: [Int]

digitosIniciales4 = map (fromInteger . until (< 10) (`div` 10)) [0..]

-- 5ª definición

-- =============

digitosIniciales5 :: [Int]

digitosIniciales5 =

0 : concat [replicate k x | k <- [10^n | n <- [0..]]

, x <- [1..9]]

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- λ> digitosIniciales !! (2*10^6)

-- 2

-- (0.46 secs, 320,145,984 bytes)

-- λ> digitosIniciales2 !! (2*10^6)

-- 2

-- (0.46 secs, 320,143,288 bytes)

-- λ> digitosIniciales3 !! (2*10^6)

-- 2

-- (0.17 secs, 320,139,216 bytes)

-- λ> digitosIniciales4 !! (2*10^6)

-- 2

-- (0.55 secs, 320,139,248 bytes)

-- λ> digitosIniciales5 !! (2*10^6)

-- 2

-- (0.12 secs, 224,158,992 bytes)

graficaDigitosIniciales :: Int -> IO ()

graficaDigitosIniciales n =

plotList [ Key Nothing

, Title ("graficaDigitosIniciales " ++ show n)

, PNG ("Digitos_iniciales_" ++ show n ++ ".png" )

]

(take n digitosIniciales)

Ampliación de una matriz

PorJosé A. Alonso 12-abril-201720-abril-2017

Definir, usando Data.Matrix, la función

   ampliaMatriz :: Matrix a -> Int -> Int -> Matrix a

1	ampliaMatriz :: Matrix a -> Int -> Int -> Matrix a

tal que (ampliaMatriz p f c) es la matriz obtenida a partir de p repitiendo cada fila f veces y cada columna c veces. Por ejemplo, si ej1 es la matriz definida por

   ej1 :: Matrix Char
   ej1 = fromLists [" x ",
                    "x x",
                    " x "]

ej1 :: Matrix Char

ej1 = fromLists [" x ",

"x x",

" x "]

entonces

   λ> ampliaMatriz ej1 1 2
   ( ' ' ' ' 'x' 'x' ' ' ' ' )
   ( 'x' 'x' ' ' ' ' 'x' 'x' )
   ( ' ' ' ' 'x' 'x' ' ' ' ' )
   
   λ> (putStr . unlines . toLists) (ampliaMatriz ej1 1 2)
     xx  
   xx  xx
     xx  
   λ> (putStr . unlines . toLists) (ampliaMatriz ej1 2 1)
    x 
    x 
   x x
   x x
    x 
    x 
   λ> (putStr . unlines . toLists) (ampliaMatriz ej1 2 2)
     xx  
     xx  
   xx  xx
   xx  xx
     xx  
     xx  
   λ> (putStr . unlines . toLists) (ampliaMatriz ej1 2 3)
      xxx   
      xxx   
   xxx   xxx
   xxx   xxx
      xxx   
      xxx

λ> ampliaMatriz ej1 1 2

( ' ' ' ' 'x' 'x' ' ' ' ' )

( 'x' 'x' ' ' ' ' 'x' 'x' )

( ' ' ' ' 'x' 'x' ' ' ' ' )

λ> (putStr . unlines . toLists) (ampliaMatriz ej1 1 2)

xx xx

λ> (putStr . unlines . toLists) (ampliaMatriz ej1 2 1)

x x

λ> (putStr . unlines . toLists) (ampliaMatriz ej1 2 2)

xx xx

λ> (putStr . unlines . toLists) (ampliaMatriz ej1 2 3)

xxx

xxx xxx

xxx

Nota: Este ejercicio está basado en el problema Skener de Kattis.

Soluciones

import Data.Matrix

ej1 :: Matrix Char
ej1 = fromLists [" x ",
                 "x x",
                 " x "]

-- 1ª definición
-- =============

ampliaMatriz :: Matrix a -> Int -> Int -> Matrix a
ampliaMatriz p f c =
  ampliaColumnas (ampliaFilas p f) c

ampliaFilas :: Matrix a -> Int -> Matrix a
ampliaFilas p f =
  matrix (f*m) n (\(i,j) -> p!(1 + (i-1) `div` f, j))
  where m = nrows p
        n = ncols p

ampliaColumnas :: Matrix a -> Int -> Matrix a
ampliaColumnas p c =
  matrix m (c*n) (\(i,j) -> p!(i,1 + (j-1) `div` c))
  where m = nrows p
        n = ncols p

-- 2ª definición
-- =============

ampliaMatriz2 :: Matrix a -> Int -> Int -> Matrix a
ampliaMatriz2 p f c =
  ampliaColumnas2 (ampliaFilas2 p f) c

ampliaFilas2 :: Matrix a -> Int -> Matrix a
ampliaFilas2 p f =
  fromLists (concatMap (replicate f) (toLists p))

ampliaColumnas2 :: Matrix a -> Int -> Matrix a
ampliaColumnas2 p c =
  fromLists (map (concatMap (replicate c)) (toLists p))

-- 3ª definición
-- =============

ampliaMatriz3 :: Matrix a -> Int -> Int -> Matrix a
ampliaMatriz3 p f c =
  ( fromLists
  . concatMap (map (concatMap (replicate c)) . replicate f)
  . toLists) p

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

ejemplo :: Int -> Matrix Int
ejemplo n = fromList n n [1..]

--    λ> maximum (ampliaMatriz (ejemplo 10) 100 200)
--    100
--    (6.64 secs, 1,026,559,296 bytes)
--    λ> maximum (ampliaMatriz2 (ejemplo 10) 100 200)
--    100
--    (1.90 secs, 513,211,144 bytes)
--    λ> maximum (ampliaMatriz3 (ejemplo 10) 100 200)
--    100
--    (1.89 secs, 644,928,024 bytes)
--    λ> maximum (ampliaMatriz2 (ejemplo 10) 200 200)
--    100
--    (5.13 secs, 1,248,173,384 bytes)
--    λ> maximum (ampliaMatriz3 (ejemplo 10) 200 200)
--    100
--    (4.67 secs, 1,431,540,344 bytes)

import Data.Matrix

ej1 :: Matrix Char

ej1 = fromLists [" x ",

"x x",

" x "]

-- 1ª definición

-- =============

ampliaMatriz :: Matrix a -> Int -> Int -> Matrix a

ampliaMatriz p f c =

ampliaColumnas (ampliaFilas p f) c

ampliaFilas :: Matrix a -> Int -> Matrix a

ampliaFilas p f =

matrix (f*m) n (\(i,j) -> p!(1 + (i-1) `div` f, j))

where m = nrows p

n = ncols p

ampliaColumnas :: Matrix a -> Int -> Matrix a

ampliaColumnas p c =

matrix m (c*n) (\(i,j) -> p!(i,1 + (j-1) `div` c))

where m = nrows p

n = ncols p

-- 2ª definición

-- =============

ampliaMatriz2 :: Matrix a -> Int -> Int -> Matrix a

ampliaMatriz2 p f c =

ampliaColumnas2 (ampliaFilas2 p f) c

ampliaFilas2 :: Matrix a -> Int -> Matrix a

ampliaFilas2 p f =

fromLists (concatMap (replicate f) (toLists p))

ampliaColumnas2 :: Matrix a -> Int -> Matrix a

ampliaColumnas2 p c =

fromLists (map (concatMap (replicate c)) (toLists p))

-- 3ª definición

-- =============

ampliaMatriz3 :: Matrix a -> Int -> Int -> Matrix a

ampliaMatriz3 p f c =

( fromLists

. concatMap (map (concatMap (replicate c)) . replicate f)

. toLists) p

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

ejemplo :: Int -> Matrix Int

ejemplo n = fromList n n [1..]

-- λ> maximum (ampliaMatriz (ejemplo 10) 100 200)

-- 100

-- (6.64 secs, 1,026,559,296 bytes)

-- λ> maximum (ampliaMatriz2 (ejemplo 10) 100 200)

-- 100

-- (1.90 secs, 513,211,144 bytes)

-- λ> maximum (ampliaMatriz3 (ejemplo 10) 100 200)

-- 100

-- (1.89 secs, 644,928,024 bytes)

-- λ> maximum (ampliaMatriz2 (ejemplo 10) 200 200)

-- 100

-- (5.13 secs, 1,248,173,384 bytes)

-- λ> maximum (ampliaMatriz3 (ejemplo 10) 200 200)

-- 100

-- (4.67 secs, 1,431,540,344 bytes)

Máximo común divisor de x e y veces n

PorJosé A. Alonso 9-febrero-201716-febrero-2017

Definir las funciones

   repite :: Int -> Integer -> Integer
   mcdR   :: Integer -> Int -> Int -> Integer

1 2	repite :: Int -> Integer -> Integer mcdR :: Integer -> Int -> Int -> Integer

tales que

(repite x n) es el número obtenido repitiendo x veces el número n. Por ejemplo.

     repite 3 123  ==  123123123

1	repite 3 123 == 123123123

(mcdR n x y) es el máximo común divisor de los números obtenidos repitiendo x veces e y veces el número n. Por ejemplo.

     mcdR 123 2 3                     ==  123
     mcdR 4 4 6                       ==  44
     mcdR 2017 (10^1000) (2+10^1000)  ==  20172017

mcdR 123 2 3 == 123

mcdR 4 4 6 == 44

mcdR 2017 (10^1000) (2+10^1000) == 20172017

Soluciones

import Test.QuickCheck

repite :: Int -> Integer -> Integer
repite x n =
  read (concat (replicate x (show n)))

-- 1ª definición
mcdR :: Integer -> Int -> Int -> Integer
mcdR n x y =
  gcd (repite x n) (repite y n)

-- 2ª definición
mcdR2 :: Integer -> Int -> Int -> Integer
mcdR2 n x y =
  repite (gcd x y) n

-- Comprobación de equivalencia
-- ============================

-- La propiedad es
prop_equivalencia :: (Positive Integer) -> (Positive Int) -> (Positive Int)
                     -> Bool
prop_equivalencia (Positive n) (Positive x) (Positive y) =
  mcdR n x y == mcdR2 n x y

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_equivalencia
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

--    λ> mcdR 2017 (10^6) (2+10^6)
--    20172017
--    (18.92 secs, 6,012,285,224 bytes)
--    λ> mcdR2 2017 (10^6) (2+10^6)
--    20172017
--    (0.01 secs, 0 bytes)

import Test.QuickCheck

repite :: Int -> Integer -> Integer

repite x n =

read (concat (replicate x (show n)))

-- 1ª definición

mcdR :: Integer -> Int -> Int -> Integer

mcdR n x y =

gcd (repite x n) (repite y n)

-- 2ª definición

mcdR2 :: Integer -> Int -> Int -> Integer

mcdR2 n x y =

repite (gcd x y) n

-- Comprobación de equivalencia

-- ============================

-- La propiedad es

prop_equivalencia :: (Positive Integer) -> (Positive Int) -> (Positive Int)

-> Bool

prop_equivalencia (Positive n) (Positive x) (Positive y) =

mcdR n x y == mcdR2 n x y

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_equivalencia

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- λ> mcdR 2017 (10^6) (2+10^6)

-- 20172017

-- (18.92 secs, 6,012,285,224 bytes)

-- λ> mcdR2 2017 (10^6) (2+10^6)

-- 20172017

-- (0.01 secs, 0 bytes)

Representación binaria de los números de Carol

PorJosé A. Alonso 28-noviembre-20165-diciembre-2016

Un número de Carol es un número entero de la forma $4^n-2^{n+1}-1$ o, equivalentemente, $(2^n-1)^2-2$ . Los primeros números de Carol son -1, 7, 47, 223, 959, 3967, 16127, 65023, 261119, 1046527.

Definir las funciones

   carol        :: Integer -> Integer
   carolBinario :: Integer -> Integer

1 2	carol :: Integer -> Integer carolBinario :: Integer -> Integer

tales que

(carol n) es el n-ésimo número de Carol. Por ejemplo,

     carol  3  ==  47
     carol  4  ==  223
     carol 25  ==  1125899839733759

carol 3 == 47

carol 4 == 223

carol 25 == 1125899839733759

(carolBinario n) es la representación binaria del n-ésimo número de Carol. Por ejemplo,

     carolBinario 3  ==  101111
     carolBinario 4  ==  11011111
     carolBinario 5  ==  1110111111

carolBinario 3 == 101111

carolBinario 4 == 11011111

carolBinario 5 == 1110111111

Comprobar con QuickCheck que, para n > 2, la representación binaria del n-ésimo número de Carol es el número formado por n-2 veces el dígito 1, seguido por un 0 y a continuación n+1 veces el dígito 1.

Soluciones

import Test.QuickCheck

carol :: Integer -> Integer
carol n = x^2 - 2
  where x = 2^n - 1

carolBinario :: Integer -> Integer
carolBinario = binario . carol

-- (binario x) es el número binario correspondiente al número decimal
-- x. Por ejemplo, 
--    binario 223  ==  11011111
binario :: Integer -> Integer 
binario = digitosAnumero . reverse . int2bin

-- (int2bin x) es el número binario (representado como la lista
-- invertida de sus dígitos) correspondiente al número decimal
-- x. Por ejemplo, 
--    int2bin 223  ==  [1,1,1,1,1,0,1,1]
int2bin :: Integer -> [Integer]
int2bin n | n < 2     = [n]
          | otherwise = n `mod` 2 : int2bin (n `div` 2)

-- (digitosAnumero xs) es el número cuya lista de dígitos es xs. Por
-- ejemplo,  
--    digitosAnumero [3,2,5]  ==  325
digitosAnumero :: [Integer] -> Integer
digitosAnumero xs =
  read (concatMap show xs)

-- En la definición anterior se pueden eliminar el argumento
digitosAnumero2 :: [Integer] -> Integer
digitosAnumero2 = read . (concatMap show)

-- La propiedad es
prop_carol :: Integer -> Property
prop_carol n =
  n > 2 ==> carolBinario n == carolBinario2 n
  where
    carolBinario2 n =
      digitosAnumero ((replicate (m-2) 1) ++ [0] ++ (replicate (m+1) 1))
      where m = fromIntegral n

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_carol
--    +++ OK, passed 100 tests.

import Test.QuickCheck

carol :: Integer -> Integer

carol n = x^2 - 2

where x = 2^n - 1

carolBinario :: Integer -> Integer

carolBinario = binario . carol

-- (binario x) es el número binario correspondiente al número decimal

-- x. Por ejemplo,

-- binario 223 == 11011111

binario :: Integer -> Integer

binario = digitosAnumero . reverse . int2bin

-- (int2bin x) es el número binario (representado como la lista

-- invertida de sus dígitos) correspondiente al número decimal

-- x. Por ejemplo,

-- int2bin 223 == [1,1,1,1,1,0,1,1]

int2bin :: Integer -> [Integer]

int2bin n | n < 2 = [n]

| otherwise = n `mod` 2 : int2bin (n `div` 2)

-- (digitosAnumero xs) es el número cuya lista de dígitos es xs. Por

-- ejemplo,

-- digitosAnumero [3,2,5] == 325

digitosAnumero :: [Integer] -> Integer

digitosAnumero xs =

read (concatMap show xs)

-- En la definición anterior se pueden eliminar el argumento

digitosAnumero2 :: [Integer] -> Integer

digitosAnumero2 = read . (concatMap show)

-- La propiedad es

prop_carol :: Integer -> Property

prop_carol n =

n > 2 ==> carolBinario n == carolBinario2 n

where

carolBinario2 n =

digitosAnumero ((replicate (m-2) 1) ++ [0] ++ (replicate (m+1) 1))

where m = fromIntegral n

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_carol

-- +++ OK, passed 100 tests.

Referencias

Carol number por Shashank Mishra en GeeksforGeeks.
Carol number en la Wikipedia.

Números cíclopes

Soluciones

Pensamiento

Dígitos iniciales

Soluciones

Ampliación de una matriz

Soluciones

Máximo común divisor de x e y veces n

Soluciones

Representación binaria de los números de Carol

Soluciones

Referencias

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