rem

Múltiplos con ceros y unos

PorJosé A. Alonso 23-febrero-201625-marzo-2022

Se observa que todos los primeros números naturales tienen al menos un múltiplo no nulo que está formado solamente por ceros y unos. Por ejemplo, 1×10=10, 2×5=10, 3×37=111, 4×25=100, 5×2=10, 6×185=1110; 7×143=1001; 8X125=1000; 9×12345679=111111111.

Definir la función

   multiplosCon1y0 :: Integer -> [Integer]

1	multiplosCon1y0 :: Integer -> [Integer]

tal que (multiplosCon1y0 n) es la lista de los múltiplos de n cuyos dígitos son 1 ó 0. Por ejemplo,

   take 4 (multiplosCon1y0 3)      ==  [111,1011,1101,1110]
   take 3 (multiplosCon1y0 23)     ==  [110101,1011011,1101010]
   head (multiplosCon1y0 1234658)  ==  110101101101000000110

take 4 (multiplosCon1y0 3) == [111,1011,1101,1110]

take 3 (multiplosCon1y0 23) == [110101,1011011,1101010]

head (multiplosCon1y0 1234658) == 110101101101000000110

Comprobar con QuickCheck que todo entero positivo tiene algún múltiplo cuyos dígitos son 1 ó 0.

Soluciones

import Test.QuickCheck

multiplosCon1y0 :: Integer -> [Integer] 
multiplosCon1y0 n = 
    [x | x <- numerosCon1y0, 
         x `rem` n == 0] 

-- numerosCon1y0 es la lista de los números cuyos dígitos son 1 ó 0. Por
-- ejemplo,  
--    ghci> take 15 numerosCon1y0
--    [1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011,1100,1101,1110,1111]
numerosCon1y0 :: [Integer]
numerosCon1y0 = 1 : concat [[10*x,10*x+1] | x <- numerosCon1y0]

-- La propiedad es
prop_existe_multiplosCon1y0 :: Integer -> Property
prop_existe_multiplosCon1y0 n = 
    n > 0 ==> multiplosCon1y0 n /= []

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_existe_multiplosCon1y0
--    +++ OK, passed 100 tests.

import Test.QuickCheck

multiplosCon1y0 :: Integer -> [Integer]

multiplosCon1y0 n =

[x | x <- numerosCon1y0,

x `rem` n == 0]

-- numerosCon1y0 es la lista de los números cuyos dígitos son 1 ó 0. Por

-- ejemplo,

-- ghci> take 15 numerosCon1y0

-- [1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011,1100,1101,1110,1111]

numerosCon1y0 :: [Integer]

numerosCon1y0 = 1 : concat [[10*x,10*x+1] | x <- numerosCon1y0]

-- La propiedad es

prop_existe_multiplosCon1y0 :: Integer -> Property

prop_existe_multiplosCon1y0 n =

n > 0 ==> multiplosCon1y0 n /= []

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_existe_multiplosCon1y0

-- +++ OK, passed 100 tests.

Dígitos en la factorización

PorJosé A. Alonso 19-febrero-20162-marzo-2016

El enunciado del problema 652 de Números y algo más es el siguiente

Si factorizamos los factoriales de un número en función de sus divisores primos y sus potencias, ¿Cuál es el menor número n tal que entre los factores primos y los exponentes de estos, n! contiene los dígitos del cero al nueve? Por ejemplo

6! = 2⁴x3²x5¹, le faltan los dígitos 0,6,7,8 y 9

12! = 2¹⁰x3⁵x5²x7¹x11¹, le faltan los dígitos 4,6,8 y 9

Definir la función

   digitosDeFactorizacion :: Integer -> [Integer]

1	digitosDeFactorizacion :: Integer -> [Integer]

tal que (digitosDeFactorizacion n) es el conjunto de los dígitos que aparecen en la factorización de n. Por ejemplo,

   digitosDeFactorizacion (factorial 6)   ==  [1,2,3,4,5]
   digitosDeFactorizacion (factorial 12)  ==  [0,1,2,3,5,7]

1 2	digitosDeFactorizacion (factorial 6) == [1,2,3,4,5] digitosDeFactorizacion (factorial 12) == [0,1,2,3,5,7]

Usando la función anterior, calcular la solución del problema.

Comprobar con QuickCheck que si n es mayor que 100, entonces

   digitosDeFactorizacion (factorial n) == [0..9]

1	digitosDeFactorizacion (factorial n) == [0..9]

Soluciones

import Data.List (genericLength, group, nub, sort)
import Data.Numbers.Primes (primeFactors)
import Test.QuickCheck

-- 1ª definición
-- =============

digitosDeFactorizacion1 :: Integer -> [Integer]
digitosDeFactorizacion1 n =
   sort (nub (concat [digitos x | x <- numerosDeFactorizacion n]))

-- (digitos n) es la lista de los digitos del número n. Por ejemplo, 
--    digitos 320274  ==  [3,2,0,2,7,4]
digitos :: Integer -> [Integer]
digitos n = [read [x] | x <- show n]

-- (numerosDeFactorizacion n) es el conjunto de los números en la
-- factorización de n. Por ejemplo,
--    numerosDeFactorizacion 60  ==  [1,2,3,5]
numerosDeFactorizacion :: Integer -> [Integer]
numerosDeFactorizacion n = 
   sort (nub (aux (factorizacion n)))
   where aux [] = []
         aux ((x,y):zs) = x : y : aux zs

-- (factorización n) es la factorización de n. Por ejemplo,
--    factorizacion 300  ==  [(2,2),(3,1),(5,2)]
factorizacion :: Integer -> [(Integer,Integer)]
factorizacion n = 
    [(head xs, genericLength xs) | xs <- group (factorizacion' n)]

-- (factorizacion' n) es la lista de todos los factores primos de n; es
-- decir, es una lista de números primos cuyo producto es n. Por ejemplo,
--    factorizacion 300  ==  [2,2,3,5,5]
factorizacion' :: Integer -> [Integer]
factorizacion' n | n == 1    = []
                 | otherwise = x : factorizacion' (div n x)
                 where x = menorFactor n

-- (menorFactor n) es el menor factor primo de n. Por ejemplo,
--    menorFactor 15  ==  3
menorFactor :: Integer -> Integer
menorFactor n = head [x | x <- [2..], rem n x == 0]

-- (factorial n) es el factorial de n. Por ejemplo,
--    factorial 5  ==  120
factorial :: Integer -> Integer
factorial n = product [1..n]

-- 2ª definición
-- =============

digitosDeFactorizacion2 :: Integer -> [Integer]
digitosDeFactorizacion2 n =
   sort (nub (concat [digitos x | x <- numerosDeFactorizacion2 n]))

-- (numerosDeFactorizacion2 n) es el conjunto de los números en la
-- factorización de n. Por ejemplo,
--    numerosDeFactorizacion2 60  ==  [1,2,3,5]
numerosDeFactorizacion2 :: Integer -> [Integer]
numerosDeFactorizacion2 n = 
    sort (nub (aux (factorizacion2 n)))
    where aux xs = concat [[a,b] | (a,b) <- xs]

-- (factorización2 n) es la factorización de n. Por ejemplo,
--    factorizacion2 300  ==  [(2,2),(3,1),(5,2)]
factorizacion2 :: Integer -> [(Integer,Integer)]
factorizacion2 n =
    [(head xs, genericLength xs) | xs <- group (primeFactors n)]

-- 3ª definición
-- =============

digitosDeFactorizacion3 :: Integer -> [Integer]
digitosDeFactorizacion3 n =
    sort (nub (concat [digitos x | x <- aux (group (primeFactors n))]))
    where aux  []            = []
          aux (ys@(y:_):xss) = y : genericLength ys : aux xss

-- Definición
-- ==========

digitosDeFactorizacion :: Integer -> [Integer]
digitosDeFactorizacion = digitosDeFactorizacion3

-- Solución
-- ========

-- Para calcular la solución, se define la constante
solucion :: Integer
solucion = 
    head [n | n <- [1..], digitosDeFactorizacion (factorial n) == [0..9]]

-- El cálculo de la solución es
--    ghci> solucion2
--    49

-- Propiedad
-- =========

-- La propiedad es
prop_completa :: Integer -> Bool
prop_completa n =
    digitosDeFactorizacion (factorial n1) == [0..9]
    where n1 = 101 + abs n

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_completa
--    +++ OK, passed 100 tests.

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

import Data.List (genericLength, group, nub, sort)

import Data.Numbers.Primes (primeFactors)

import Test.QuickCheck

-- 1ª definición

-- =============

digitosDeFactorizacion1 :: Integer -> [Integer]

digitosDeFactorizacion1 n =

sort (nub (concat [digitos x | x <- numerosDeFactorizacion n]))

-- (digitos n) es la lista de los digitos del número n. Por ejemplo,

-- digitos 320274 == [3,2,0,2,7,4]

digitos :: Integer -> [Integer]

digitos n = [read [x] | x <- show n]

-- (numerosDeFactorizacion n) es el conjunto de los números en la

-- factorización de n. Por ejemplo,

-- numerosDeFactorizacion 60 == [1,2,3,5]

numerosDeFactorizacion :: Integer -> [Integer]

numerosDeFactorizacion n =

sort (nub (aux (factorizacion n)))

where aux [] = []

aux ((x,y):zs) = x : y : aux zs

-- (factorización n) es la factorización de n. Por ejemplo,

-- factorizacion 300 == [(2,2),(3,1),(5,2)]

factorizacion :: Integer -> [(Integer,Integer)]

factorizacion n =

[(head xs, genericLength xs) | xs <- group (factorizacion' n)]

-- (factorizacion' n) es la lista de todos los factores primos de n; es

-- decir, es una lista de números primos cuyo producto es n. Por ejemplo,

-- factorizacion 300 == [2,2,3,5,5]

factorizacion' :: Integer -> [Integer]

factorizacion' n | n == 1 = []

| otherwise = x : factorizacion' (div n x)

where x = menorFactor n

-- (menorFactor n) es el menor factor primo de n. Por ejemplo,

-- menorFactor 15 == 3

menorFactor :: Integer -> Integer

menorFactor n = head [x | x <- [2..], rem n x == 0]

-- (factorial n) es el factorial de n. Por ejemplo,

-- factorial 5 == 120

factorial :: Integer -> Integer

factorial n = product [1..n]

-- 2ª definición

-- =============

digitosDeFactorizacion2 :: Integer -> [Integer]

digitosDeFactorizacion2 n =

sort (nub (concat [digitos x | x <- numerosDeFactorizacion2 n]))

-- (numerosDeFactorizacion2 n) es el conjunto de los números en la

-- factorización de n. Por ejemplo,

-- numerosDeFactorizacion2 60 == [1,2,3,5]

numerosDeFactorizacion2 :: Integer -> [Integer]

numerosDeFactorizacion2 n =

sort (nub (aux (factorizacion2 n)))

where aux xs = concat [[a,b] | (a,b) <- xs]

-- (factorización2 n) es la factorización de n. Por ejemplo,

-- factorizacion2 300 == [(2,2),(3,1),(5,2)]

factorizacion2 :: Integer -> [(Integer,Integer)]

factorizacion2 n =

[(head xs, genericLength xs) | xs <- group (primeFactors n)]

-- 3ª definición

-- =============

digitosDeFactorizacion3 :: Integer -> [Integer]

digitosDeFactorizacion3 n =

sort (nub (concat [digitos x | x <- aux (group (primeFactors n))]))

where aux [] = []

aux (ys@(y:_):xss) = y : genericLength ys : aux xss

-- Definición

-- ==========

digitosDeFactorizacion :: Integer -> [Integer]

digitosDeFactorizacion = digitosDeFactorizacion3

-- Solución

-- ========

-- Para calcular la solución, se define la constante

solucion :: Integer

solucion =

head [n | n <- [1..], digitosDeFactorizacion (factorial n) == [0..9]]

-- El cálculo de la solución es

-- ghci> solucion2

-- 49

-- Propiedad

-- =========

-- La propiedad es

prop_completa :: Integer -> Bool

prop_completa n =

digitosDeFactorizacion (factorial n1) == [0..9]

where n1 = 101 + abs n

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_completa

-- +++ OK, passed 100 tests.

La solución en Maxima

/* digitos(n) es la lista de los digitos del número n. Por ejemplo, 
      digitos (320274) == [3,2,0,2,7,4]
*/      
digitos (n) := charlist (string (n))$

digitosDeFactorizacion (n) :=
   unique (apply (append, map (digitos, apply (append, ifactors (n))))) $

solucion () := block ([n:1],
  while length (digitosDeFactorizacion (n!)) < 10 do
     n : n+1,
  n)$   

/*
   (%i5) digitosDeFactorizacion (6!);
   (%o5) [1, 2, 3, 4, 5]

   (%i6) solucion ();
   (%o6) 49
*/

/* digitos(n) es la lista de los digitos del número n. Por ejemplo,

digitos (320274) == [3,2,0,2,7,4]

digitos (n) := charlist (string (n))$

digitosDeFactorizacion (n) :=

unique (apply (append, map (digitos, apply (append, ifactors (n))))) $

solucion () := block ([n:1],

while length (digitosDeFactorizacion (n!)) < 10 do

n : n+1,

n)$

(%i5) digitosDeFactorizacion (6!);

(%o5) [1, 2, 3, 4, 5]

(%i6) solucion ();

(%o6) 49

Números muy divisibles por 3

PorJosé A. Alonso 4-noviembre-201511-noviembre-2015

Se dice que un número n es muy divisible por 3 si es divisible por 3 y sigue siendo divisible por 3 si vamos quitando dígitos por la derecha. Por ejemplo, 96060 es muy divisible por 3 porque 96060, 9606, 960, 96 y 9 son todos divisibles por 3.

Definir las funciones

   muyDivPor3             :: Integer -> Bool
   numeroMuyDivPor3Cifras :: Integer -> Integer

1 2	muyDivPor3 :: Integer -> Bool numeroMuyDivPor3Cifras :: Integer -> Integer

tales que

(muyDivPor3 n) se verifica si n es muy divisible por 3. Por ejemplo,

     muyDivPor3 96060 == True
     muyDivPor3 90616 == False

1 2	muyDivPor3 96060 == True muyDivPor3 90616 == False

(numeroMuyDivPor3CifrasC k) es la cantidad de números de k cifras muy divisibles por 3. Por ejemplo,

     numeroMuyDivPor3Cifras 5                    == 768
     numeroMuyDivPor3Cifras 7                    == 12288
     numeroMuyDivPor3Cifras (10^6) `rem` (10^6)  == 332032

numeroMuyDivPor3Cifras 5 == 768

numeroMuyDivPor3Cifras 7 == 12288

numeroMuyDivPor3Cifras (10^6) `rem` (10^6) == 332032

Soluciones

import Data.List (genericLength)

muyDivPor3 :: Integer -> Bool
muyDivPor3 n 
    | n < 10    = n `rem` 3 == 0
    | otherwise = n `rem` 3 == 0 && muyDivPor3 (n `div` 10)

-- 1ª definición
-- =============

numeroMuyDivPor3Cifras :: Integer -> Integer
numeroMuyDivPor3Cifras k = 
    genericLength [x | x <- [10^(k-1)..10^k-1], muyDivPor3 x]

-- 2ª definición
-- =============

numeroMuyDivPor3Cifras2 :: Integer -> Integer
numeroMuyDivPor3Cifras2 k = 
    genericLength [x | x <- [n,n+3..10^k-1], muyDivPor3 x]
    where n = k*10^(k-1)

-- 3ª definición
-- =============

numeroMuyDivPor3Cifras3 :: Integer -> Integer
numeroMuyDivPor3Cifras3 k = genericLength (numeroMuyDivPor3Cifras3a k)

numeroMuyDivPor3Cifras3a :: Integer -> [Integer]
numeroMuyDivPor3Cifras3a 1 = [3,6,9] 
numeroMuyDivPor3Cifras3a k = 
    [10*x+y | x <- numeroMuyDivPor3Cifras3a (k-1),
              y <- [0,3..9]]

-- 4ª definición
-- =============

numeroMuyDivPor3Cifras4 :: Integer -> Integer
numeroMuyDivPor3Cifras4 1 = 3
numeroMuyDivPor3Cifras4 k = 4 * numeroMuyDivPor3Cifras4 (k-1)

-- 5ª definición
-- =============

numeroMuyDivPor3Cifras5 :: Integer -> Integer
numeroMuyDivPor3Cifras5 k = 3 * 4^(k-1)

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

--    λ> numeroMuyDivPor3Cifras 6
--    3072
--    (3.47 secs, 534,789,608 bytes)
--    λ> numeroMuyDivPor3Cifras2 6
--    2048
--    (0.88 secs, 107,883,432 bytes)
--    λ> numeroMuyDivPor3Cifras3 6
--    3072
--    (0.01 secs, 0 bytes)
--    
--    λ> numeroMuyDivPor3Cifras2 7
--    0
--    (2.57 secs, 375,999,336 bytes)
--    λ> numeroMuyDivPor3Cifras3 7
--    12288
--    (0.02 secs, 0 bytes)
--    λ> numeroMuyDivPor3Cifras4 7
--    12288
--    (0.00 secs, 0 bytes)
--    λ> numeroMuyDivPor3Cifras5 7
--    12288
--    (0.01 secs, 0 bytes)
--
--    λ> numeroMuyDivPor3Cifras4 (10^5) `rem` 100000
--    32032
--    (5.74 secs, 1,408,600,592 bytes)
--    λ> numeroMuyDivPor3Cifras5 (10^5) `rem` 100000
--    32032
--    (0.02 secs, 0 bytes)

import Data.List (genericLength)

muyDivPor3 :: Integer -> Bool

muyDivPor3 n

| n < 10 = n `rem` 3 == 0

| otherwise = n `rem` 3 == 0 && muyDivPor3 (n `div` 10)

-- 1ª definición

-- =============

numeroMuyDivPor3Cifras :: Integer -> Integer

numeroMuyDivPor3Cifras k =

genericLength [x | x <- [10^(k-1)..10^k-1], muyDivPor3 x]

-- 2ª definición

-- =============

numeroMuyDivPor3Cifras2 :: Integer -> Integer

numeroMuyDivPor3Cifras2 k =

genericLength [x | x <- [n,n+3..10^k-1], muyDivPor3 x]

where n = k*10^(k-1)

-- 3ª definición

-- =============

numeroMuyDivPor3Cifras3 :: Integer -> Integer

numeroMuyDivPor3Cifras3 k = genericLength (numeroMuyDivPor3Cifras3a k)

numeroMuyDivPor3Cifras3a :: Integer -> [Integer]

numeroMuyDivPor3Cifras3a 1 = [3,6,9]

numeroMuyDivPor3Cifras3a k =

[10*x+y | x <- numeroMuyDivPor3Cifras3a (k-1),

y <- [0,3..9]]

-- 4ª definición

-- =============

numeroMuyDivPor3Cifras4 :: Integer -> Integer

numeroMuyDivPor3Cifras4 1 = 3

numeroMuyDivPor3Cifras4 k = 4 * numeroMuyDivPor3Cifras4 (k-1)

-- 5ª definición

-- =============

numeroMuyDivPor3Cifras5 :: Integer -> Integer

numeroMuyDivPor3Cifras5 k = 3 * 4^(k-1)

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- λ> numeroMuyDivPor3Cifras 6

-- 3072

-- (3.47 secs, 534,789,608 bytes)

-- λ> numeroMuyDivPor3Cifras2 6

-- 2048

-- (0.88 secs, 107,883,432 bytes)

-- λ> numeroMuyDivPor3Cifras3 6

-- 3072

-- (0.01 secs, 0 bytes)

-- λ> numeroMuyDivPor3Cifras2 7

-- 0

-- (2.57 secs, 375,999,336 bytes)

-- λ> numeroMuyDivPor3Cifras3 7

-- 12288

-- (0.02 secs, 0 bytes)

-- λ> numeroMuyDivPor3Cifras4 7

-- 12288

-- (0.00 secs, 0 bytes)

-- λ> numeroMuyDivPor3Cifras5 7

-- 12288

-- (0.01 secs, 0 bytes)

-- λ> numeroMuyDivPor3Cifras4 (10^5) `rem` 100000

-- 32032

-- (5.74 secs, 1,408,600,592 bytes)

-- λ> numeroMuyDivPor3Cifras5 (10^5) `rem` 100000

-- 32032

-- (0.02 secs, 0 bytes)

Números libres de cuadrados

PorJosé A. Alonso 3-noviembre-201525-abril-2021

Un número es libre de cuadrados si no es divisible el cuadrado de ningún entero mayor que 1. Por ejemplo, 70 es libre de cuadrado porque sólo es divisible por 1, 2, 5, 7 y 70; en cambio, 40 no es libre de cuadrados porque es divisible por 2².

Definir la función

   libreDeCuadrados :: Integer -> Bool

1	libreDeCuadrados :: Integer -> Bool

tal que (libreDeCuadrados x) se verifica si x es libre de cuadrados. Por ejemplo,

   libreDeCuadrados 70                 ==  True
   libreDeCuadrados 40                 ==  False
   libreDeCuadrados 510510             ==  True
   libreDeCuadrados (((10^10)^10)^10)  ==  False

libreDeCuadrados 70 == True

libreDeCuadrados 40 == False

libreDeCuadrados 510510 == True

libreDeCuadrados (((10^10)^10)^10) == False

Soluciones

-- 1ª definición:
libreDeCuadrados :: Integer -> Bool
libreDeCuadrados x = x == product (divisoresPrimos x)

-- (divisoresPrimos x) es la lista de los divisores primos de x. Por
-- ejemplo,  
--    divisoresPrimos 40  ==  [2,5]
--    divisoresPrimos 70  ==  [2,5,7]
divisoresPrimos :: Integer -> [Integer]
divisoresPrimos x = [n | n <- divisores x, primo n]

-- (divisores n) es la lista de los divisores del número n. Por ejemplo,
--    divisores 30  ==  [1,2,3,5,6,10,15,30]  
divisores :: Integer -> [Integer]
divisores n = [x | x <- [1..n], n `mod` x == 0]

-- (primo n) se verifica si n es primo. Por ejemplo,
--    primo 30  == False
--    primo 31  == True  
primo :: Integer -> Bool
primo n = divisores n == [1, n]

-- 2ª definición
libreDeCuadrados2 :: Integer -> Bool
libreDeCuadrados2 n = 
    null [x | x <- [2..n], rem n (x^2) == 0]

-- 3ª definición
libreDeCuadrados3 :: Integer -> Bool
libreDeCuadrados3 n = 
    null [x | x <- [2..floor (sqrt (fromIntegral n))], 
              rem n (x^2) == 0]

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

--    λ> libreDeCuadrados 510510
--    True
--    (0.76 secs, 89,522,360 bytes)
--    λ> libreDeCuadrados2 510510
--    True
--    (1.78 secs, 371,826,320 bytes)
--    λ> libreDeCuadrados3 510510
--    True
--    (0.01 secs, 0 bytes)

-- 1ª definición:

libreDeCuadrados :: Integer -> Bool

libreDeCuadrados x = x == product (divisoresPrimos x)

-- (divisoresPrimos x) es la lista de los divisores primos de x. Por

-- ejemplo,

-- divisoresPrimos 40 == [2,5]

-- divisoresPrimos 70 == [2,5,7]

divisoresPrimos :: Integer -> [Integer]

divisoresPrimos x = [n | n <- divisores x, primo n]

-- (divisores n) es la lista de los divisores del número n. Por ejemplo,

-- divisores 30 == [1,2,3,5,6,10,15,30]

divisores :: Integer -> [Integer]

divisores n = [x | x <- [1..n], n `mod` x == 0]

-- (primo n) se verifica si n es primo. Por ejemplo,

-- primo 30 == False

-- primo 31 == True

primo :: Integer -> Bool

primo n = divisores n == [1, n]

-- 2ª definición

libreDeCuadrados2 :: Integer -> Bool

libreDeCuadrados2 n =

null [x | x <- [2..n], rem n (x^2) == 0]

-- 3ª definición

libreDeCuadrados3 :: Integer -> Bool

libreDeCuadrados3 n =

null [x | x <- [2..floor (sqrt (fromIntegral n))],

rem n (x^2) == 0]

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- λ> libreDeCuadrados 510510

-- True

-- (0.76 secs, 89,522,360 bytes)

-- λ> libreDeCuadrados2 510510

-- True

-- (1.78 secs, 371,826,320 bytes)

-- λ> libreDeCuadrados3 510510

-- True

-- (0.01 secs, 0 bytes)

Mayor resto

PorJosé A. Alonso 26-octubre-20152-noviembre-2015

El resultado de dividir un número n por un divisor d es un cociente q y un resto r.

Definir la función

   mayorResto :: Int -> Int -> (Int,[Int])

1	mayorResto :: Int -> Int -> (Int,[Int])

tal que (mayorResto n d) es el par (m,xs) tal que m es el mayor resto de dividir n entre x (con 1 ≤ x < d) y xs es la lista de números x menores que d tales que el resto de n entre x es m. Por ejemplo,

   mayorResto 20 10  ==  (6,[7])
   mayorResto 50 8   ==  (2,[3,4,6])

1 2	mayorResto 20 10 == (6,[7]) mayorResto 50 8 == (2,[3,4,6])

Nota: Se supone que d es mayor que 1.

Soluciones

mayorResto :: Int -> Int -> (Int,[Int])
mayorResto n d = (m, [x | x <- [1..d-1], n `rem` x == m])
    where m = maximum [n `rem` x | x <- [1..d-1]]

mayorResto :: Int -> Int -> (Int,[Int])

mayorResto n d = (m, [x | x <- [1..d-1], n `rem` x == m])

where m = maximum [n `rem` x | x <- [1..d-1]]

Referencia

El ejercio está basado en el problema Largest possible remainder publicado el 16 de octubre de 2015 en «Programming paraxis».

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