Números de Catalan

Los números de Catalan forman la sucesión cuyo término general es
Numeros_de_Catalan_1

Los primeros números de Catalan son

Los números de Catalan satisfacen la siguiente relación de recurrencia:
Numeros_de_Catalan_2

Asintóticamente, los números de Catalan crecen como:
Numeros_de_Catalan_3
considerando que el cociente entre el n-ésimo número de Catalan y la expresión de la derecha tiende hacia 1 cuando n tiende a infinito.

Definir las funciones

tales que

  • catalan es la lista de términos de la sucesión de Catalan. Por ejemplo,

  • (grafica a b) dibuja los n-ésimos términos de la sucesión de Catalan, para n entre a y b, junto con los de la expresión de la derecha de
    Numeros_de_Catalan_3
    Por ejemplo, (grafica 5 10) dibuja
    Numeros_de_Catalan_4
    y (grafica 55 60) dibuja
    Numeros_de_Catalan_5

Soluciones

Cálculo de pi usando la fórmula de Vieta

La fórmula de Vieta para el cálculo de pi es la siguiente
Calculo_de_pi_usando_la_formula_de_Vieta

Definir las funciones

tales que

  • (aproximacionPi n) es la aproximación de pi usando n factores de la fórmula de Vieta. Por ejemplo,

  • (errorPi x) es el menor número de factores de la fórmula de Vieta necesarios para obtener pi con un error menor que x. Por ejemplo,

Soluciones

Cálculo de pi usando el producto de Wallis

El producto de Wallis es una expresión, descubierta por John Wallis en 1655, para representar el valor de π y que establece que:

Definir las funciones

tales que

  • factoresWallis es la sucesión de los factores del productos de Wallis. Por ejemplo,

  • productosWallis es la sucesión de los productos de los primeros factores de Wallis. Por ejemplo,

  • (aproximacionPi n) es la aproximación de pi obtenida multiplicando los n primeros factores de Wallis. Por ejemplo,

  • (errorPi x) es el menor número de factores de Wallis necesarios para obtener pi con un error menor que x. Por ejemplo,

Soluciones