Listas engarzadas

Una lista de listas es engarzada si el último elemento de cada lista coincide con el primero de la siguiente.

Definir la función

tal que (engarzada xss) se verifica si xss es una lista engarzada. Por ejemplo,

Soluciones

Números consecutivos compuestos

Una serie compuesta de longitud n es una lista de n números consecutivos que son todos compuestos. Por ejemplo, [8,9,10] y [24,25,26] son dos series compuestas de longitud 3.

Cada serie compuesta se puede representar por el par formado por su primer y último elemento. Por ejemplo, las dos series anteriores se pueden representar pos (8,10) y (24,26) respectivamente.

Definir la función

tal que (menorSerieCompuesta n) es la menor serie compuesta (es decir, la que tiene menores elementos) de longitud 3. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck que para n > 1, el primer elemento de (menorSerieCompuesta n) es igual al primero de (menorSerieCompuesta (n-1)) o al primero de (menorSerieCompuesta (n+1)).

Soluciones

Referencias

Conjetura de Rassias

El artículo de esta semana del blog Números y hoja de cálculo está dedicado a la Conjetura de Rassias. Dicha conjetura afirma que

Para cada número primo p > 2 existen dos primos a y b, con a < b, tales que
(p-1)a = b+1

Dado un primo p > 2, los pares de Rassia de p son los pares de primos (a,b), con a < b, tales que (p-1)a = b+1. Por ejemplo, (2,7) y (3,11) son pares de Rassia de 5 ya que

  • 2 y 7 son primos, 2 < 7 y (5-1)·2 = 7+1
  • 3 y 11 son primos, 3 < 11 y (5-1)·3 = 11+1

Definir las siguientes funciones

tales que

  • (paresRassias p) es la lista de los pares de Rassias del primo p (que se supone que es mayor que 2). Por ejemplo,

  • (conjeturaRassia x) se verifica si para todos los primos menores que x (y mayores que 2) se cumple la conjetura de Rassia. Por ejemplo,

Soluciones

Referencias

Primos de Kamenetsky

Un número primo se dice que es un primo de Kamenetsky si al anteponerlo cualquier dígito se obtiene un número compuesto. Por ejemplo, el 5 es un primo de Kamenetsky ya que 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85 y 95 son compuestos. También lo es 149 ya que 1149, 2149, 3149, 4149, 5149, 6149, 7149, 8149 y 9149 son compuestos.

Definir la sucesión

tal que sus elementos son los números primos de Kamenetsky. Por ejemplo,

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Referencias

Densidad de números no monótonos

Un número entero positivo se dice que es

  • creciente si cada uno de sus dígitos es menor o igual que el que está a su derecha; por ejemplo, 134479.
  • decreciente si cada uno de sus dígitos es menor o igual que el que está a su derecha; por ejemplo, 664210.
  • no monótono si no es creciente ni decreciente; por ejemplo, 155369.

Para cada entero positivo n, la densidad números no monótonos hasta n es el cociente entre la cantidad de n números no monótonos entre menores o iguales que n y el número n. Por ejemplo, hasta 150 hay 19 números no monótonos (101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 120, 121, 130, 131, 132, 140, 141, 142, 143 y 150); por tanto, la densidad hasta 150 es 19/150 = 0.12666667

Definir las siguientes funciones

tales que

  • (densidad n) es la densidad de números no monótonos hasta n. Por ejemplo,

  • (menorConDensidadMayor x) es el menor número n tal que la densidad de números no monótonos hasta n es mayor o igual que x. Por ejemplo,

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