La función de Smarandache

La función de Smarandache, también conocida como la función de Kempner, es la función que asigna a cada número entero positivo n el menor número cuyo factorial es divisible por n y se representa por S(n). Por ejemplo, el número 8 no divide a 1!, 2!, 3!, pero sí divide 4!; por tanto, S(8) = 4.

Definir las funciones

tales que

  • (smarandache n) es el menor número cuyo factorial es divisible por n. Por ejemplo,

  • (graficaSmarandache n) dibuja la gráfica de los n primeros términos de la sucesión de Smarandache. Por ejemplo, (graficaSmarandache 100) dibuja
    La_funcion_de_Smarandache_100
    (graficaSmarandache 500) dibuja
    La_funcion_de_Smarandache_500

Soluciones

Períodos de Fibonacci

Los primeros términos de la sucesión de Fibonacci son

Al calcular sus restos módulo 3 se obtiene

Se observa que es periódica y su período es

Definir las funciones

tales que

  • (fibsMod n) es la lista de los términos de la sucesión de Fibonacci módulo n. Por ejemplo,

  • (periodoFibMod n) es la parte perioica de la sucesión de Fibonacci módulo n. Por ejemplo,

  • longPeriodosFibMod es la sucesión de las longitudes de los períodos de las sucesiones de Fibonacci módulo n, para n > 0. Por ejemplo,

  • (graficaLongPeriodosFibMod n) dibuja la gráfica de los n primeros términos de la sucesión longPeriodosFibMod. Por ejemplo, (graficaLongPeriodosFibMod n) dibuja
    Periodos_de_Fibonacci 300

Soluciones

Celdas interiores de una retícula

Las celdas de una retícula cuadrada se numeran consecutivamente. Por ejemplo, la numeración de la retícula cuadrada de lado 4 es

Los números de sus celdas interiores son 6,7,10,11.

Definir la función

tal que (interiores n) es la lista de los números de las celdas interiores de la retícula cuadrada de lado n. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck que el número de celdas interiores de la retícula cuadrada de lado n, con n > 1, es (n-2)^2.

Soluciones

Fractal hexagonal

Escribir, usando CodeWorld, un programa para dibujar el fractal hexagonal que se muestra en la siguiente animación
Fractal_hexagonal

Las 4 primeras fases de la animación son

  • Fase 0:
    Fractal_hexagonal_0
  • Fase 1:
    Fractal_hexagonal_1
  • Fase 2:
    Fractal_hexagonal_2
  • Fase 3:
    Fractal_hexagonal_3

Nota: Este ejercicio ha sido propuesto por Agustín Martín Aguera.

Soluciones

Números malvados y odiosos

Un número malvado es un número natural cuya expresión en base 2 (binaria) contiene un número par de unos.

Un número odioso es un número natural cuya expresión en base 2 (binaria) contiene un número impar de unos.

Podemos representar los números malvados y odiosos mediante el siguiente tipo de dato

Definir la función

tal que (malvadoOdioso n) devuelve el tipo de número que es n. Por ejemplo,

Nota: Este ejercicio ha sido propuesto por Ángel Ruiz Campos.

Soluciones