Postulado de Bertrand

El postulado de Bertrand afirma que para cualquier número entero n > 1, existe al menos un número primo p con n < p < 2n.

Definir la función

tal que (siguientePrimo n) es el menor primo mayor que n. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck el postulado de Bertrand; es decir, para todo entero n > 1, se verifica que n < p < 2n, donde p es (siguientePrimo n).

Soluciones

Referencias

Pensamiento

Pero caer de cabeza,
en esta noche sin luna,
en medio de esta maleza,
junto a la negra laguna.

Antonio Machado

Posiciones de conjuntos finitos de naturales

En un ejercicio anterior se mostró que los conjuntos finitos de números naturales se pueden enumerar como sigue

en la que los elementos están ordenados de manera decreciente.

Además, se definió la constante

tal que sus elementos son los conjuntos de los números naturales con la ordenación descrita anteriormente. Por ejemplo,

Definir la función

tal que (posicion xs) es la posición del conjunto finito de números naturales xs, representado por una lista decreciente, en enumeracionCFN. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck que para todo número natural n,

Soluciones

Pensamiento

¡Volar sin alas donde todo es cielo!

Antonio Machado

Conjuntos con más sumas que restas

Dado un conjunto de números naturales, por ejemplo A = {0, 2, 3, 4}, calculamos las sumas de todos los pares de elementos de A. Como A tiene 4 elementos hay 16 pares, pero no todas sus sumas son distintas. En este caso solo hay 8 sumas distintas: {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Procediendo análogamente hay 9 diferencias distinatas entre los pares de A: {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}.

Experimentando con más conjuntos, se puede conjeturar que el número de restas es mayor que el de sumas y argumentar que que mientras que con dos números distintos sólo se produce una suma distints sin embargo se producen dos restas distintas. Por ejemplo, con 5 y 7 sólo se produce una suma (ya que 5+7 y 7+5 ambos dan 12) pero dos restas (ya que 5-7 y 7-5 dan -2 y 2, respectivamente).

Sin embargo, la conjetura es falsa. Un contraejemplo en el conjunto {0, 2, 3, 4, 7, 11, 12, 14}, que tiene 26 sumas distintas con sus pares de elementos pero sólo 25 restas.

Los conjuntos con más sumas distintas con sus pares de elementos que restas se llaman conjuntos MSQR (por «más sumas que restas»).

El objetivo de este ejercicio es calcular los conjuntos MSQR.

Definir las funciones

tales que

  • (tieneMSQR xs) se verifica si el conjunto xs tiene más sumas que restas. Por ejemplo,

  • conjuntosMSQR es la lista de los conjuntos MSQR. Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

¡Qué fácil es volar, qué fácil es!
Todo consiste en no dejar que el suelo
se acerque a nuestros pies.

Antonio Machado

Enumeración de conjuntos finitos de naturales

Los conjuntos finitos de números naturales se pueden enumerar como sigue

en la que los elementos están ordenados de manera decreciente.

Definir la constante

tal que sus elementos son los conjuntos de los números naturales con la ordenación descrita anteriormente. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck que

  • si (xs,ys) es un par de elementos consecutivos de enumeracionCFN, entonces xs < ys;
  • todo conjunto finito de números naturales, representado por una lista decreciente, está en enumeracionCFN.

Soluciones

Pensamiento

Junto al agua fría,
en la senda clara,
sombra dará algún día,
ese arbolillo en que nadie repara.

Antonio Machado

Infinitud de primos gemelos

Un par de números primos (p,q) es un par de números primos gemelos si su distancia de 2; es decir, si q = p+2. Por ejemplo, (17,19) es una par de números primos gemelos.

La conjetura de los primos gemelos postula la existencia de infinitos pares de primos gemelos.

Definir la constante

tal que sus elementos son los pares de primos gemelos. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck la conjetura de los primos gemelos.

Soluciones

Pensamiento

El sentimiento ha de tener tanto de individual como de genérico; debe orientarse hacia valores universales, o que pretenden serlo.

Antonio Machado