Listas infinitas

Las sucesiones de Loomis

PorJosé A. Alonso 22-mayo-202029-mayo-2020

La sucesión de Loomis generada por un número entero positivo x es la sucesión cuyos términos se definen por

f(0) es x
f(n) es la suma de f(n-1) y el producto de los dígitos no nulos de f(n-1)

Los primeros términos de las primeras sucesiones de Loomis son

Generada por 1: 1, 2, 4, 8, 16, 22, 26, 38, 62, 74, 102, 104, 108, 116, 122, …
Generada por 2: 2, 4, 8, 16, 22, 26, 38, 62, 74, 102, 104, 108, 116, 122, 126, …
Generada por 3: 3, 6, 12, 14, 18, 26, 38, 62, 74, 102, 104, 108, 116, 122, 126, …
Generada por 4: 4, 8, 16, 22, 26, 38, 62, 74, 102, 104, 108, 116, 122, 126, 138, …
Generada por 5: 5, 10, 11, 12, 14, 18, 26, 38, 62, 74, 102, 104, 108, 116, 122, …

Se observa que a partir de un término todas coinciden con la generada por 1. Dicho término se llama el punto de convergencia. Por ejemplo,

la generada por 2 converge a 2
la generada por 3 converge a 26
la generada por 4 converge a 4
la generada por 5 converge a 26

Definir las siguientes funciones

   sucLoomis           :: Integer -> [Integer]
   convergencia        :: Integer -> Integer
   graficaConvergencia :: [Integer] -> IO ()

sucLoomis :: Integer -> [Integer]

convergencia :: Integer -> Integer

graficaConvergencia :: [Integer] -> IO ()

tales que

(sucLoomis x) es la sucesión de Loomis generada por x. Por ejemplo,

     λ> take 15 (sucLoomis 1)
     [1,2,4,8,16,22,26,38,62,74,102,104,108,116,122]
     λ> take 15 (sucLoomis 2)
     [2,4,8,16,22,26,38,62,74,102,104,108,116,122,126]
     λ> take 15 (sucLoomis 3)
     [3,6,12,14,18,26,38,62,74,102,104,108,116,122,126]
     λ> take 15 (sucLoomis 4)
     [4,8,16,22,26,38,62,74,102,104,108,116,122,126,138]
     λ> take 15 (sucLoomis 5)
     [5,10,11,12,14,18,26,38,62,74,102,104,108,116,122]
     λ> take 15 (sucLoomis 20)
     [20,22,26,38,62,74,102,104,108,116,122,126,138,162,174]
     λ> take 15 (sucLoomis 100)
     [100,101,102,104,108,116,122,126,138,162,174,202,206,218,234]
     λ> sucLoomis 1 !! (2*10^5)
     235180736652

λ> take 15 (sucLoomis 1)

[1,2,4,8,16,22,26,38,62,74,102,104,108,116,122]

λ> take 15 (sucLoomis 2)

[2,4,8,16,22,26,38,62,74,102,104,108,116,122,126]

λ> take 15 (sucLoomis 3)

[3,6,12,14,18,26,38,62,74,102,104,108,116,122,126]

λ> take 15 (sucLoomis 4)

[4,8,16,22,26,38,62,74,102,104,108,116,122,126,138]

λ> take 15 (sucLoomis 5)

[5,10,11,12,14,18,26,38,62,74,102,104,108,116,122]

λ> take 15 (sucLoomis 20)

[20,22,26,38,62,74,102,104,108,116,122,126,138,162,174]

λ> take 15 (sucLoomis 100)

[100,101,102,104,108,116,122,126,138,162,174,202,206,218,234]

λ> sucLoomis 1 !! (2*10^5)

235180736652

(convergencia x) es el término de convergencia de la sucesioń de Loomis generada por x xon la geerada por 1. Por ejemplo,

     convergencia  2      ==  2
     convergencia  3      ==  26
     convergencia  4      ==  4
     convergencia 17      ==  38
     convergencia 19      ==  102
     convergencia 43      ==  162
     convergencia 27      ==  202
     convergencia 58      ==  474
     convergencia 63      ==  150056
     convergencia 81      ==  150056
     convergencia 89      ==  150056
     convergencia (10^12) ==  1000101125092

convergencia 2 == 2

convergencia 3 == 26

convergencia 4 == 4

convergencia 17 == 38

convergencia 19 == 102

convergencia 43 == 162

convergencia 27 == 202

convergencia 58 == 474

convergencia 63 == 150056

convergencia 81 == 150056

convergencia 89 == 150056

convergencia (10^12) == 1000101125092

(graficaConvergencia xs) dibuja la gráfica de los términos de convergencia de las sucesiones de Loomis generadas por los elementos de xs. Por ejemplo, (graficaConvergencia ([1..50]) dibuja

y graficaConvergencia ([1..148] \ [63,81,89,137]) dibuja

Soluciones

import Data.List               ((\\))
import Data.Char               (digitToInt)
import Graphics.Gnuplot.Simple (plotList, Attribute (Key, Title, XRange, PNG))

-- 1ª definición de sucLoomis
-- ==========================

sucLoomis :: Integer -> [Integer]
sucLoomis x = map (loomis x) [0..]

loomis :: Integer -> Integer -> Integer
loomis x 0 = x
loomis x n = y + productoDigitosNoNulos y
  where y = loomis x (n-1)

productoDigitosNoNulos :: Integer -> Integer
productoDigitosNoNulos = product . digitosNoNulos

digitosNoNulos :: Integer -> [Integer]
digitosNoNulos x =
  [read [c] | c <- show x, c /= '0']

-- 2ª definición de sucLoomis
-- ==========================

sucLoomis2 :: Integer -> [Integer]
sucLoomis2 = iterate siguienteLoomis 

siguienteLoomis :: Integer -> Integer
siguienteLoomis y = y + productoDigitosNoNulos y

-- 3ª definición de sucLoomis
-- ==========================

sucLoomis3 :: Integer -> [Integer]
sucLoomis3 =
  iterate ((+) <*> product .
           map (toInteger . digitToInt) .
           filter (/= '0') . show)

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

--    λ> sucLoomis 1 !! 30000
--    6571272766
--    (2.45 secs, 987,955,944 bytes)
--    λ> sucLoomis2 1 !! 30000
--    6571272766
--    (2.26 secs, 979,543,328 bytes)
--    λ> sucLoomis3 1 !! 30000
--    6571272766
--    (0.31 secs, 88,323,832 bytes)

-- 1ª definición de convergencia
-- =============================

convergencia1 :: Integer -> Integer
convergencia1 x =
  head (dropWhile noEnSucLoomisDe1 (sucLoomis x))

noEnSucLoomisDe1 :: Integer -> Bool
noEnSucLoomisDe1 x = not (pertenece x sucLoomisDe1)

sucLoomisDe1 :: [Integer]
sucLoomisDe1 = sucLoomis 1

pertenece :: Integer -> [Integer] -> Bool
pertenece x ys =
  x == head (dropWhile (<x) ys)

-- 2ª definición de convergencia
-- =============================

convergencia2 :: Integer -> Integer
convergencia2 = aux (sucLoomis3 1) . sucLoomis3
 where aux as@(x:xs) bs@(y:ys) | x == y    = x
                               | x < y     = aux xs bs
                               | otherwise = aux as ys

-- 3ª definición de convergencia
-- =============================

convergencia3 :: Integer -> Integer
convergencia3 = head . interseccion (sucLoomis3 1) . sucLoomis3
 
-- (interseccion xs ys) es la intersección entre las listas ordenadas xs
-- e ys. Por ejemplo,
--    λ> take 10 (interseccion (sucLoomis3 1) (sucLoomis3 2))
--    [2,4,8,16,22,26,38,62,74,102]
interseccion :: Ord a => [a] -> [a] -> [a]
interseccion = aux
  where aux as@(x:xs) bs@(y:ys) = case compare x y of
                                    LT ->     aux xs bs
                                    EQ -> x : aux xs ys
                                    GT ->     aux as ys
        aux _         _         = []                           

-- 4ª definición de convergencia
-- =============================

convergencia4 :: Integer -> Integer
convergencia4 x = perteneceA (sucLoomis3 x) 1
  where perteneceA (y:ys) n | y == c    = y
                            | otherwise = perteneceA ys c
          where c = head $ dropWhile (< y) $ sucLoomis3 n

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

--    λ> convergencia1 (10^4)
--    150056
--    (2.94 secs, 1,260,809,808 bytes)
--    λ> convergencia2 (10^4)
--    150056
--    (0.03 secs, 700,240 bytes)
--    λ> convergencia3 (10^4)
--    150056
--    (0.03 secs, 1,165,496 bytes)
--    λ> convergencia4 (10^4)
--    150056
--    (0.02 secs, 1,119,648 bytes)
--    
--    λ> convergencia2 (10^12)
--    1000101125092
--    (1.81 secs, 714,901,080 bytes)
--    λ> convergencia3 (10^12)
--    1000101125092
--    (1.92 secs, 744,932,184 bytes)
--    λ> convergencia4 (10^12)
--    1000101125092
--    (1.82 secs, 941,053,328 bytes)

-- Definición de graficaConvergencia
-- ==================================

graficaConvergencia :: [Integer] -> IO ()
graficaConvergencia xs =
  plotList [ Key Nothing
           , Title "Convergencia de sucesiones de Loomis"
           , XRange (fromIntegral (minimum xs),fromIntegral (maximum xs))
           , PNG "Las_sucesiones_de_Loomis_2.png"
           ]
           [(x,convergencia2 x) | x <- xs]

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

import Data.List ((\\))

import Data.Char (digitToInt)

import Graphics.Gnuplot.Simple (plotList, Attribute (Key, Title, XRange, PNG))

-- 1ª definición de sucLoomis

-- ==========================

sucLoomis :: Integer -> [Integer]

sucLoomis x = map (loomis x) [0..]

loomis :: Integer -> Integer -> Integer

loomis x 0 = x

loomis x n = y + productoDigitosNoNulos y

where y = loomis x (n-1)

productoDigitosNoNulos :: Integer -> Integer

productoDigitosNoNulos = product . digitosNoNulos

digitosNoNulos :: Integer -> [Integer]

digitosNoNulos x =

[read [c] | c <- show x, c /= '0']

-- 2ª definición de sucLoomis

-- ==========================

sucLoomis2 :: Integer -> [Integer]

sucLoomis2 = iterate siguienteLoomis

siguienteLoomis :: Integer -> Integer

siguienteLoomis y = y + productoDigitosNoNulos y

-- 3ª definición de sucLoomis

-- ==========================

sucLoomis3 :: Integer -> [Integer]

sucLoomis3 =

iterate ((+) <*> product .

map (toInteger . digitToInt) .

filter (/= '0') . show)

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- λ> sucLoomis 1 !! 30000

-- 6571272766

-- (2.45 secs, 987,955,944 bytes)

-- λ> sucLoomis2 1 !! 30000

-- 6571272766

-- (2.26 secs, 979,543,328 bytes)

-- λ> sucLoomis3 1 !! 30000

-- 6571272766

-- (0.31 secs, 88,323,832 bytes)

-- 1ª definición de convergencia

-- =============================

convergencia1 :: Integer -> Integer

convergencia1 x =

head (dropWhile noEnSucLoomisDe1 (sucLoomis x))

noEnSucLoomisDe1 :: Integer -> Bool

noEnSucLoomisDe1 x = not (pertenece x sucLoomisDe1)

sucLoomisDe1 :: [Integer]

sucLoomisDe1 = sucLoomis 1

pertenece :: Integer -> [Integer] -> Bool

pertenece x ys =

x == head (dropWhile (<x) ys)

-- 2ª definición de convergencia

-- =============================

convergencia2 :: Integer -> Integer

convergencia2 = aux (sucLoomis3 1) . sucLoomis3

where aux as@(x:xs) bs@(y:ys) | x == y = x

| x < y = aux xs bs

| otherwise = aux as ys

-- 3ª definición de convergencia

-- =============================

convergencia3 :: Integer -> Integer

convergencia3 = head . interseccion (sucLoomis3 1) . sucLoomis3

-- (interseccion xs ys) es la intersección entre las listas ordenadas xs

-- e ys. Por ejemplo,

-- λ> take 10 (interseccion (sucLoomis3 1) (sucLoomis3 2))

-- [2,4,8,16,22,26,38,62,74,102]

interseccion :: Ord a => [a] -> [a] -> [a]

interseccion = aux

where aux as@(x:xs) bs@(y:ys) = case compare x y of

LT -> aux xs bs

EQ -> x : aux xs ys

GT -> aux as ys

aux _ _ = []

-- 4ª definición de convergencia

-- =============================

convergencia4 :: Integer -> Integer

convergencia4 x = perteneceA (sucLoomis3 x) 1

where perteneceA (y:ys) n | y == c = y

| otherwise = perteneceA ys c

where c = head $ dropWhile (< y) $ sucLoomis3 n

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- λ> convergencia1 (10^4)

-- 150056

-- (2.94 secs, 1,260,809,808 bytes)

-- λ> convergencia2 (10^4)

-- 150056

-- (0.03 secs, 700,240 bytes)

-- λ> convergencia3 (10^4)

-- 150056

-- (0.03 secs, 1,165,496 bytes)

-- λ> convergencia4 (10^4)

-- 150056

-- (0.02 secs, 1,119,648 bytes)

-- λ> convergencia2 (10^12)

-- 1000101125092

-- (1.81 secs, 714,901,080 bytes)

-- λ> convergencia3 (10^12)

-- 1000101125092

-- (1.92 secs, 744,932,184 bytes)

-- λ> convergencia4 (10^12)

-- 1000101125092

-- (1.82 secs, 941,053,328 bytes)

-- Definición de graficaConvergencia

-- ==================================

graficaConvergencia :: [Integer] -> IO ()

graficaConvergencia xs =

plotList [ Key Nothing

, Title "Convergencia de sucesiones de Loomis"

, XRange (fromIntegral (minimum xs),fromIntegral (maximum xs))

, PNG "Las_sucesiones_de_Loomis_2.png"

]

[(x,convergencia2 x) | x <- xs]

Cálculo de pi mediante la serie de Nilakantha

PorJosé A. Alonso 12-marzo-202025-marzo-2022

Una serie infinita para el cálculo de pi, publicada por Nilakantha en el siglo XV, es

Definir las funciones

   aproximacionPi :: Int -> Double
   tabla          :: FilePath -> [Int] -> IO ()

1 2	aproximacionPi :: Int -> Double tabla :: FilePath -> [Int] -> IO ()

tales que

(aproximacionPi n) es la n-ésima aproximación de pi obtenido sumando los n primeros términos de la serie de Nilakantha. Por ejemplo,

     aproximacionPi 0        ==  3.0
     aproximacionPi 1        ==  3.1666666666666665
     aproximacionPi 2        ==  3.1333333333333333
     aproximacionPi 3        ==  3.145238095238095
     aproximacionPi 4        ==  3.1396825396825396
     aproximacionPi 5        ==  3.1427128427128426
     aproximacionPi 10       ==  3.1414067184965018
     aproximacionPi 100      ==  3.1415924109719824
     aproximacionPi 1000     ==  3.141592653340544
     aproximacionPi 10000    ==  3.141592653589538
     aproximacionPi 100000   ==  3.1415926535897865
     aproximacionPi 1000000  ==  3.141592653589787
     pi                      ==  3.141592653589793

aproximacionPi 0 == 3.0

aproximacionPi 1 == 3.1666666666666665

aproximacionPi 2 == 3.1333333333333333

aproximacionPi 3 == 3.145238095238095

aproximacionPi 4 == 3.1396825396825396

aproximacionPi 5 == 3.1427128427128426

aproximacionPi 10 == 3.1414067184965018

aproximacionPi 100 == 3.1415924109719824

aproximacionPi 1000 == 3.141592653340544

aproximacionPi 10000 == 3.141592653589538

aproximacionPi 100000 == 3.1415926535897865

aproximacionPi 1000000 == 3.141592653589787

pi == 3.141592653589793

(tabla f ns) escribe en el fichero f las n-ésimas aproximaciones de pi, donde n toma los valores de la lista ns, junto con sus errores. Por ejemplo, al evaluar la expresión

     tabla "AproximacionesPi.txt" [0,10..100]

1	tabla "AproximacionesPi.txt" [0,10..100]

hace que el contenido del fichero «AproximacionesPi.txt» sea

+------+----------------+----------------+
| n    | Aproximación   | Error          |
+------+----------------+----------------+
|    0 | 3.000000000000 | 0.141592653590 |
|   10 | 3.141406718497 | 0.000185935093 |
|   20 | 3.141565734659 | 0.000026918931 |
|   30 | 3.141584272675 | 0.000008380915 |
|   40 | 3.141589028941 | 0.000003624649 |
|   50 | 3.141590769850 | 0.000001883740 |
|   60 | 3.141591552546 | 0.000001101044 |
|   70 | 3.141591955265 | 0.000000698325 |
|   80 | 3.141592183260 | 0.000000470330 |
|   90 | 3.141592321886 | 0.000000331704 |
|  100 | 3.141592410972 | 0.000000242618 |
+------+----------------+----------------+

+------+----------------+----------------+

| n | Aproximación | Error |

+------+----------------+----------------+

| 0 | 3.000000000000 | 0.141592653590 |

| 10 | 3.141406718497 | 0.000185935093 |

| 20 | 3.141565734659 | 0.000026918931 |

| 30 | 3.141584272675 | 0.000008380915 |

| 40 | 3.141589028941 | 0.000003624649 |

| 50 | 3.141590769850 | 0.000001883740 |

| 60 | 3.141591552546 | 0.000001101044 |

| 70 | 3.141591955265 | 0.000000698325 |

| 80 | 3.141592183260 | 0.000000470330 |

| 90 | 3.141592321886 | 0.000000331704 |

| 100 | 3.141592410972 | 0.000000242618 |

+------+----------------+----------------+

al evaluar la expresión

     tabla "AproximacionesPi.txt" [0,500..5000]

1	tabla "AproximacionesPi.txt" [0,500..5000]

hace que el contenido del fichero «AproximacionesPi.txt» sea

+------+----------------+----------------+
| n    | Aproximación   | Error          |
+------+----------------+----------------+
|    0 | 3.000000000000 | 0.141592653590 |
|  500 | 3.141592651602 | 0.000000001988 |
| 1000 | 3.141592653341 | 0.000000000249 |
| 1500 | 3.141592653516 | 0.000000000074 |
| 2000 | 3.141592653559 | 0.000000000031 |
| 2500 | 3.141592653574 | 0.000000000016 |
| 3000 | 3.141592653581 | 0.000000000009 |
| 3500 | 3.141592653584 | 0.000000000006 |
| 4000 | 3.141592653586 | 0.000000000004 |
| 4500 | 3.141592653587 | 0.000000000003 |
| 5000 | 3.141592653588 | 0.000000000002 |
+------+----------------+----------------+

+------+----------------+----------------+

| n | Aproximación | Error |

+------+----------------+----------------+

| 0 | 3.000000000000 | 0.141592653590 |

| 500 | 3.141592651602 | 0.000000001988 |

| 1000 | 3.141592653341 | 0.000000000249 |

| 1500 | 3.141592653516 | 0.000000000074 |

| 2000 | 3.141592653559 | 0.000000000031 |

| 2500 | 3.141592653574 | 0.000000000016 |

| 3000 | 3.141592653581 | 0.000000000009 |

| 3500 | 3.141592653584 | 0.000000000006 |

| 4000 | 3.141592653586 | 0.000000000004 |

| 4500 | 3.141592653587 | 0.000000000003 |

| 5000 | 3.141592653588 | 0.000000000002 |

+------+----------------+----------------+

Soluciones

import Text.Printf

-- 1ª solución
-- ===========

aproximacionPi :: Int -> Double
aproximacionPi n = serieNilakantha !! n

serieNilakantha :: [Double]
serieNilakantha = scanl1 (+) terminosNilakantha

terminosNilakantha :: [Double]
terminosNilakantha = zipWith (/) numeradores denominadores
  where numeradores   = 3 : cycle [4,-4]
        denominadores = 1 : [n*(n+1)*(n+2) | n <- [2,4..]]

-- 2ª solución
-- ===========

aproximacionPi2 :: Int -> Double
aproximacionPi2 = aux 3 2 1
  where aux x _ _ 0 = x
        aux x y z m =
          aux (x+4/product[y..y+2]*z) (y+2) (negate z) (m-1)

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

--    λ> aproximacionPi (2*10^5)
--    3.141592653589787
--    (0.82 secs, 145,964,728 bytes)
--    λ> aproximacionPi2 (2*10^5)
--    3.141592653589787
--    (2.27 secs, 432,463,496 bytes)
--    λ> aproximacionPi (3*10^5)
--    3.141592653589787
--    (0.34 secs, 73,056,488 bytes)
--    λ> aproximacionPi2 (3*10^5)
--    3.141592653589787
--    (3.24 secs, 648,603,824 bytes)

-- Definicioń de tabla
-- ===================

tabla :: FilePath -> [Int] -> IO ()
tabla f ns = do
  writeFile f (tablaAux ns)

tablaAux :: [Int] -> String
tablaAux ns =
     linea
  ++ cabecera
  ++ linea
  ++ concat [printf "| %4d | %.12f | %.12f |\n" n a e
            | n <- ns
            , let a = aproximacionPi n
            , let e = abs (pi - a)]
  ++ linea

linea :: String
linea = "+------+----------------+----------------+\n"

cabecera :: String
cabecera = "| n    | Aproximación   | Error          |\n"

import Text.Printf

-- 1ª solución

-- ===========

aproximacionPi :: Int -> Double

aproximacionPi n = serieNilakantha !! n

serieNilakantha :: [Double]

serieNilakantha = scanl1 (+) terminosNilakantha

terminosNilakantha :: [Double]

terminosNilakantha = zipWith (/) numeradores denominadores

where numeradores = 3 : cycle [4,-4]

denominadores = 1 : [n*(n+1)*(n+2) | n <- [2,4..]]

-- 2ª solución

-- ===========

aproximacionPi2 :: Int -> Double

aproximacionPi2 = aux 3 2 1

where aux x _ _ 0 = x

aux x y z m =

aux (x+4/product[y..y+2]*z) (y+2) (negate z) (m-1)

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- λ> aproximacionPi (2*10^5)

-- 3.141592653589787

-- (0.82 secs, 145,964,728 bytes)

-- λ> aproximacionPi2 (2*10^5)

-- 3.141592653589787

-- (2.27 secs, 432,463,496 bytes)

-- λ> aproximacionPi (3*10^5)

-- 3.141592653589787

-- (0.34 secs, 73,056,488 bytes)

-- λ> aproximacionPi2 (3*10^5)

-- 3.141592653589787

-- (3.24 secs, 648,603,824 bytes)

-- Definicioń de tabla

-- ===================

tabla :: FilePath -> [Int] -> IO ()

tabla f ns = do

writeFile f (tablaAux ns)

tablaAux :: [Int] -> String

tablaAux ns =

linea

++ cabecera

++ linea

++ concat [printf "| %4d | %.12f | %.12f |\n" n a e

| n <- ns

, let a = aproximacionPi n

, let e = abs (pi - a)]

++ linea

linea :: String

linea = "+------+----------------+----------------+\n"

cabecera :: String

cabecera = "| n | Aproximación | Error |\n"

Producto de Fibonaccis consecutivos

PorJosé A. Alonso 6-marzo-202017-marzo-2020

Los números de Fibonacci son los números F(n) de la siguiente sucesión

   0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...

1	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...

que comienza con 0 y 1 y los siguientes términos son las sumas de los dos anteriores.

Un número x es el producto de dos números de Fibonacci consecutivos si existe un n tal que

   F(n) * F(n+1) = x

1	F(n) * F(n+1) = x

y su prueba es (F(n),F(n+1),True). Por ejemplo, 714 es el producto de dos números de Fibonacci consecutivos ya que

F(8) = 21, F(9) = 34 y 714 = 21 * 34.

1	F(8) = 21, F(9) = 34 y 714 = 21 * 34.

Su prueba es (21, 34, True).

Un número x no es el producto de dos números de Fibonacci consecutivos si no existe un n tal que

   F(n) * F(n+1) = x

1	F(n) * F(n+1) = x

y su prueba es (F(m),F(m+1),False) donde m es el menor número tal que

   F(m) * F(m+1) > x

1	F(m) * F(m+1) > x

Por ejemplo, 800 no es el producto de dos números de Fibonacci consecutivos, ya que

 F(8) = 21, F(9) = 34, F(10) = 55 y 21 * 34 < 800 < 34 * 55.

1	F(8) = 21, F(9) = 34, F(10) = 55 y 21 * 34 < 800 < 34 * 55.

Su prueba es (34, 55, False),

Definir la función

   productoFib :: Integer -> (Integer, Integer, Bool)

1	productoFib :: Integer -> (Integer, Integer, Bool)

tal que (productoFib x) es la prueba de que es, o no es, el producto de dos números de Fibonacci consecutivos. Por ejemplo,

   productoFib 714  == (21,  34, True)
   productoFib 800  == (34,  55, False)
   productoFib 4895 == (55,  89, True)
   productoFib 5895 == (89, 144, False)

productoFib 714 == (21, 34, True)

productoFib 800 == (34, 55, False)

productoFib 4895 == (55, 89, True)

productoFib 5895 == (89, 144, False)

Soluciones

-- 1ª solución
-- ===========

productoFib :: Integer -> (Integer, Integer, Bool)
productoFib n
  | c == n    = (a,b,True)
  | otherwise = (a,b,False)
  where (a,b,c) = head (dropWhile (\(x,y,z) -> z < n) productos) 

-- fibs es la sucesión de números de Fibonacci. Por ejemplo,
--    take 14 fibs  ==  [0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233]
fibs :: [Integer]
fibs = 0 : 1 : zipWith (+) fibs (tail fibs)

-- productos es la lista de las ternas (a,b,c) tales que a y b son dos
-- números de Fibonacci consecutivos y c es su producto. Por ejemplo,
--    λ> take 7 productos
--    [(0,1,0),(1,1,1),(1,2,2),(2,3,6),(3,5,15),(5,8,40),(8,13,104)]
productos :: [(Integer,Integer,Integer)]
productos = [(x,y,x*y) | (x,y) <- zip fibs (tail fibs)] 

-- 2ª solución
-- ===========

productoFib2 :: Integer -> (Integer, Integer, Bool)
productoFib2 n = aux 0 1 n
  where
    aux a b c
        | a * b >= c = (a, b, a * b == c)
        | otherwise  = aux b (a + b) c
           
-- 3ª solución
-- ===========

productoFib3 :: Integer -> (Integer, Integer, Bool)
productoFib3 x = aux 0 1
  where
    aux a b | a * b >= x = (a, b, x == a * b)
            | otherwise  = aux b (a + b)

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

-- La comparación es
--    λ> let (x,_,_) = productoFib (10^20000) in length (show x)
--    10000
--    (1.15 secs, 323,396,360 bytes)
--    λ> let (x,_,_) = productoFib2 (10^20000) in length (show x)
--    10000
--    (1.10 secs, 317,268,672 bytes)
--    λ> let (x,_,_) = productoFib3 (10^20000) in length (show x)
--    10000
--    (1.08 secs, 314,972,440 bytes)

-- 1ª solución

-- ===========

productoFib :: Integer -> (Integer, Integer, Bool)

productoFib n

| c == n = (a,b,True)

| otherwise = (a,b,False)

where (a,b,c) = head (dropWhile (\(x,y,z) -> z < n) productos)

-- fibs es la sucesión de números de Fibonacci. Por ejemplo,

-- take 14 fibs == [0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233]

fibs :: [Integer]

fibs = 0 : 1 : zipWith (+) fibs (tail fibs)

-- productos es la lista de las ternas (a,b,c) tales que a y b son dos

-- números de Fibonacci consecutivos y c es su producto. Por ejemplo,

-- λ> take 7 productos

-- [(0,1,0),(1,1,1),(1,2,2),(2,3,6),(3,5,15),(5,8,40),(8,13,104)]

productos :: [(Integer,Integer,Integer)]

productos = [(x,y,x*y) | (x,y) <- zip fibs (tail fibs)]

-- 2ª solución

-- ===========

productoFib2 :: Integer -> (Integer, Integer, Bool)

productoFib2 n = aux 0 1 n

where

aux a b c

| a * b >= c = (a, b, a * b == c)

| otherwise = aux b (a + b) c

-- 3ª solución

-- ===========

productoFib3 :: Integer -> (Integer, Integer, Bool)

productoFib3 x = aux 0 1

where

aux a b | a * b >= x = (a, b, x == a * b)

| otherwise = aux b (a + b)

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- La comparación es

-- λ> let (x,_,_) = productoFib (10^20000) in length (show x)

-- 10000

-- (1.15 secs, 323,396,360 bytes)

-- λ> let (x,_,_) = productoFib2 (10^20000) in length (show x)

-- 10000

-- (1.10 secs, 317,268,672 bytes)

-- λ> let (x,_,_) = productoFib3 (10^20000) in length (show x)

-- 10000

-- (1.08 secs, 314,972,440 bytes)

Otras soluciones

Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang="haskell"> y otra con </pre>

Pensamiento

«El placer que obtenemos de la música proviene de contar, pero contando inconscientemente. La música no es más que aritmética inconsciente.»

Gottfried Wilhelm Leibniz.

Entre dos potencias sucesivas

PorJosé A. Alonso 3-febrero-202010-febrero-2020

Se dice que un número entero está entre potencias sucesivas de n si x-1 es una potencia n-ésima y x+1 es una potencia (n+1)-ésima; es decir, si existen a y b tales que x-1 es a^n y x+1 es b^(n+1). Por ejemplo,

 2 está entre potencias sucesivas de 0, ya que  1 =  1^0 y  3 = 3^1
15 está entre potencias sucesivas de 1, ya que 14 = 14^1 y 16 = 4^2
26 está entre potencias sucesivas de 2, ya que 25 =  5^2 y 27 = 3^3

2 está entre potencias sucesivas de 0, ya que 1 = 1^0 y 3 = 3^1

15 está entre potencias sucesivas de 1, ya que 14 = 14^1 y 16 = 4^2

26 está entre potencias sucesivas de 2, ya que 25 = 5^2 y 27 = 3^3

Definir las funciones

   entrePotencias :: Integer -> Integer -> Bool
   pares :: [(Integer,Integer)]
   paresEntrePotencias :: [(Integer,Integer)]

entrePotencias :: Integer -> Integer -> Bool

pares :: [(Integer,Integer)]

paresEntrePotencias :: [(Integer,Integer)]

tales que

(entrePotencias n x) se verifica si x está entre potencias sucesivas de n. Por ejemplo,

     entrePotencias 0 2   ==  True
     entrePotencias 1 15  ==  True
     entrePotencias 2 26  ==  True

entrePotencias 0 2 == True

entrePotencias 1 15 == True

entrePotencias 2 26 == True

pares es la lista de los números enteros ordenados por su suma y primer elemento. Por ejemplo,

     λ> take 11 pares
     [(0,0),(0,1),(1,0),(0,2),(1,1),(2,0),(0,3),(1,2),(2,1),(3,0),(0,4)]

1 2	λ> take 11 pares [(0,0),(0,1),(1,0),(0,2),(1,1),(2,0),(0,3),(1,2),(2,1),(3,0),(0,4)]

paresEntrePotencias es la lista de los pares (n,x) tales que x está entre potencias sucesivas de n. Por ejemplo,

     λ> take 10 paresEntrePotencias
     [(1,0),(0,2),(1,3),(1,8),(1,15),(1,24),(2,26),(1,35),(1,48),(1,63)]

1 2	λ> take 10 paresEntrePotencias [(1,0),(0,2),(1,3),(1,8),(1,15),(1,24),(2,26),(1,35),(1,48),(1,63)]

Comprobar con QuickCheck que 26 es el único número que está entre potencias sucesivas con exponentes mayor que 1; es decir, que el único par (n,x) tal que x está entre potencias sucesivas de n con n mayor que uno es el (2,26).

Nota: Este ejercicio ha sido propuesto por Rebeca Isabel González Gordillo y está basado en el artículo El número 26 … ¡un número especial! de Amadeo Artacho en MatematicasCercanas.

Soluciones

import Test.QuickCheck

entrePotencias :: Integer -> Integer -> Bool
entrePotencias n x = esPotencia n (x-1) && esPotencia (n+1) (x+1)

-- (esPotencia n x) se verifica si x es una potencia n-ésima. Por
-- ejemplo, 
--    esPotencia 3 27  ==  True
--    esPotencia 3 25  ==  False
esPotencia :: Integer -> Integer -> Bool
esPotencia n x = x == r^n
  where r = ceiling ((fromIntegral x)**(1/fromIntegral n))

pares :: [(Integer,Integer)]
pares = [(x,n-x) | n <- [0..], x <- [0..n]]

paresEntrePotencias :: [(Integer,Integer)]
paresEntrePotencias =
  [(n,x) | (n,x) <- pares
         , entrePotencias n x]

prop_entrePotencias :: Integer -> Integer -> Property
prop_entrePotencias n x =
  n > 1 ==> entrePotencias n x == ((n,x) == (2,26))

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_entrePotencias
--    +++ OK, passed 100 tests.

import Test.QuickCheck

entrePotencias :: Integer -> Integer -> Bool

entrePotencias n x = esPotencia n (x-1) && esPotencia (n+1) (x+1)

-- (esPotencia n x) se verifica si x es una potencia n-ésima. Por

-- ejemplo,

-- esPotencia 3 27 == True

-- esPotencia 3 25 == False

esPotencia :: Integer -> Integer -> Bool

esPotencia n x = x == r^n

where r = ceiling ((fromIntegral x)**(1/fromIntegral n))

pares :: [(Integer,Integer)]

pares = [(x,n-x) | n <- [0..], x <- [0..n]]

paresEntrePotencias :: [(Integer,Integer)]

paresEntrePotencias =

[(n,x) | (n,x) <- pares

, entrePotencias n x]

prop_entrePotencias :: Integer -> Integer -> Property

prop_entrePotencias n x =

n > 1 ==> entrePotencias n x == ((n,x) == (2,26))

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_entrePotencias

-- +++ OK, passed 100 tests.

Otras soluciones

Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang=»haskell»> y otra con </pre>

Pensamiento

«El verdadero objetivo de la ciencia es el honor de la mente humana.»

Carl Gustav Jacob Jacobi

Cocientes y restos de la transformación decimal

PorJosé A. Alonso 29-enero-20205-febrero-2020

La transformación de una fracción en un número decimal se realiza mediante una sucesión de divisiones. Por ejemplo, para transformar a decimal la fracción

   247813    |19980
  -19980     ---------------
  -------     12.40305305...
    48013
   -39960
   ------
     80530
    -79920
    ------
       6100
      -   0
      -----
       61000
      -59940
      ------
        10600
       -    0
       ------
        106000
       - 99900
       -------
          61000
          -59940
          ------
           10600
          -    0
          ------
          106000
         - 99900
         -------
           61000

247813 |19980

-19980 ---------------

------- 12.40305305...

48013

-39960

------

80530

-79920

------

6100

- 0

-----

61000

-59940

------

10600

- 0

------

106000

- 99900

-------

61000

-59940

------

10600

- 0

------

106000

- 99900

-------

61000

La transformación anterior se puede representar mediante la siguiente lista de cocientes y restos

   [(12,8053),(4,610),(0,6100),(3,1060),(0,10600),(5,6100),
                               (3,1060),(0,10600),(5,6100)]

1 2	[(12,8053),(4,610),(0,6100),(3,1060),(0,10600),(5,6100), (3,1060),(0,10600),(5,6100)]

Definir la función

   cocientesRestos :: (Integer,Integer) -> [(Integer,Integer)]

1	cocientesRestos :: (Integer,Integer) -> [(Integer,Integer)]

tal que (cocientesRestos (n,d)) es la lista de los cocientes y restos de la transformación decimal de la fracción n/d como se ha indicado anteriormente. Por ejemplo,

   λ> take 9 (cocientesRestos (247813,19980))
   [(12,8053),(4,610),(0,6100),(3,1060),(0,10600),(5,6100),
                               (3,1060),(0,10600),(5,6100)]
   λ> take 10 (cocientesRestos (6,2))
   [(3,0),(0,0),(0,0),(0,0),(0,0),(0,0),(0,0),(0,0),(0,0),(0,0)]
   λ> take 10 (cocientesRestos (1,2))
   [(0,1),(5,0),(0,0),(0,0),(0,0),(0,0),(0,0),(0,0),(0,0),(0,0)]
   λ> take 10 (cocientesRestos (1,3))
   [(0,1),(3,1),(3,1),(3,1),(3,1),(3,1),(3,1),(3,1),(3,1),(3,1)]
   λ> take 10 (cocientesRestos (23,14))
   [(1,9),(6,6),(4,4),(2,12),(8,8),(5,10),(7,2),(1,6),(4,4),(2,12)]

λ> take 9 (cocientesRestos (247813,19980))

[(12,8053),(4,610),(0,6100),(3,1060),(0,10600),(5,6100),

(3,1060),(0,10600),(5,6100)]

λ> take 10 (cocientesRestos (6,2))

[(3,0),(0,0),(0,0),(0,0),(0,0),(0,0),(0,0),(0,0),(0,0),(0,0)]

λ> take 10 (cocientesRestos (1,2))

[(0,1),(5,0),(0,0),(0,0),(0,0),(0,0),(0,0),(0,0),(0,0),(0,0)]

λ> take 10 (cocientesRestos (1,3))

[(0,1),(3,1),(3,1),(3,1),(3,1),(3,1),(3,1),(3,1),(3,1),(3,1)]

λ> take 10 (cocientesRestos (23,14))

[(1,9),(6,6),(4,4),(2,12),(8,8),(5,10),(7,2),(1,6),(4,4),(2,12)]

Soluciones

cocientesRestos :: (Integer,Integer) -> [(Integer,Integer)]
cocientesRestos (n,d) =
  (q,r) : cocientesRestos (10*r, d)
  where (q,r) = quotRem n d

cocientesRestos :: (Integer,Integer) -> [(Integer,Integer)]

cocientesRestos (n,d) =

(q,r) : cocientesRestos (10*r, d)

where (q,r) = quotRem n d

Otras soluciones

Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
El código se debe escribir entre una línea con <pre lang=»haskell»> y otra con </pre>

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«Hay dos maneras de diseñar un software. Una forma es hacerlo tan simple que obviamente no haya deficiencias. Y la otra forma es hacerlo tan complicado que no haya deficiencias obvias.»

Tony Hoare.

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