Máximos locales en los números de descomposiciones de Goldbach

La conjetura de Goldbach afirma que todo número entero mayor que 2 se puede expresar como suma de dos primos.

Las descomposiciones de Goldbach son las maneras de expresar un número como suma de dos primos. Por ejemplo, el número 10 tiene dos descomposiciones de Goldbach ya que se puede expresar como la suma de 3 y 7 y la suma de 5 y 5.

Definir las funciones

tales que

  • (descomposicionesGoldbach n) es la lista de las descomposiciones de Goldbach del número n. Por ejemplo,

  • (numeroGolbach n) es el número de descomposiciones de Goldbach del número n. Por ejemplo,

  • (tieneMaximoLocalGoldbach n) se verifica si en n se alcanza un máximo local en el número de descomposiciones de Goldbach; es decir, los números n tales que el número de descomposiciones de Goldbach de n es mayor o igual que las de n-1 y las de n+1. Por ejemplo,

En el ejemplo anterior se comprueba que en los múltiplos de 6 (es decir, en 6, 12, 18, 24, 30, 36 y 42), el número de descomposiciones de Goldbach alcanza un máximo local. Comprobar con QuickCheck que esta propiedad se cumple en general; es decir, para todo entero positivo n, el número de descomposiciones de Goldbach en 6n es un máximo local.

Soluciones

Otras soluciones

  • Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
  • El código se debe escribir entre una línea con <pre lang=»haskell»> y otra con </pre>

Referencia

Pensamiento

Te abanicaras
con un madrigal que diga:
en amor el olvido pone la sal.

Antonio Machado

Conjetura de Grimm

La conjetura de Grimm establece que a cada elemento de un conjunto de números compuestos consecutivos se puede asignar un número primo que lo divide, de forma que cada uno de los números primos elegidos es distinto de todos los demás. Más formalmente, si n+1, n+2, …, n+k son números compuestos, entonces existen números primos p(i), distintos entre sí, tales que p(i) divide a n+i para 1 ≤ i ≤ k.

Diremos que la lista ps = [p(1),…,p(k)] es una sucesión de Grim para la lista xs = [x(1),…,x(k)] si p(i) son números primos distintos y p(i) divide a x(i), para 1 ≤ i ≤ k. Por ejemplo, 2, 5, 13, 3, 7 es una sucesión de Grim de 24, 25, 26, 27, 28.

Definir las funciones

tales que

  • (compuestos n) es la mayor lista de números enteros consecutivos empezando en n. Por ejemplo,

  • (sucesionesDeGrim xs) es la lista de las sucesiones de Grim de xs. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck la conjetura de Grim; es decir, para todo número n > 1, (sucesionesDeGrim (compuestos n)) es una lista no vacía.

Soluciones

Pensamiento

De encinar en encinar
se va fatigando el día.

Antonio Machado

Derivada aritmética

La derivada aritmética es una función definida sobre los números naturales por analogía con la regla del producto para el cálculo de las derivadas usada en análisis.

Para un número natural n su derivada D(n) se define por

Por ejemplo,

Definir la función

tal que (derivada n) es la derivada aritmética de n. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck que si x es un número entero positivo y su descomposición en factores primos es

entonces la derivada de x es

Nota: No usar en la definición la propiedad que hay que comprobar.

Soluciones

Referencias

Pensamiento

En ese jardín, Guiomar,
el mutuo jardín que inventan
dos corazones al par,
se funden y complementan
nuestras horas.

Antonio Machado

Infinitud de primos gemelos

Un par de números primos (p,q) es un par de números primos gemelos si su distancia de 2; es decir, si q = p+2. Por ejemplo, (17,19) es una par de números primos gemelos.

La conjetura de los primos gemelos postula la existencia de infinitos pares de primos gemelos.

Definir la constante

tal que sus elementos son los pares de primos gemelos. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck la conjetura de los primos gemelos.

Soluciones

Pensamiento

El sentimiento ha de tener tanto de individual como de genérico; debe orientarse hacia valores universales, o que pretenden serlo.

Antonio Machado

Variación de la conjetura de Goldbach.

La conjetura de Goldbach afirma que

Todo número entero mayor que 5 se puede escribir como suma de tres números primos.

En este ejercicio consideraremos la variación consistente en exigir que los tres sumandos sean distintos.

Definir las funciones

tales que

  • (sumas3PrimosDistintos n) es la lista de las descomposiciones decrecientes de n como tres primos distintos. Por ejemplo,

  • (conKsumas3PrimosDistintos k n) es la lista de los números menores o iguales que n que se pueden escribir en k forma distintas como suma de tres primos distintos. Por ejemplo,

  • (noSonSumas3PrimosDistintos n) es la lista de los números menores o iguales que n que no se pueden escribir como suma de tres primos distintos. Por ejemplo,

Soluciones

Pensamiento

En su claro verso
se canta y medita
sin grito ni ceño.

Antonio Machado