genericIndex

Terminaciones de Fibonacci

PorJosé A. Alonso 2-enero-20179-enero-2017

Definir la sucesión

   sucFinalesFib :: [(Integer,Integer)]

1	sucFinalesFib :: [(Integer,Integer)]

cuyos elementos son los pares (n,x), donde x es el n-ésimo término de la sucesión de Fibonacci, tales que la terminación de x es n. Por ejemplo,

   λ> take 6 sucFinalesFib
   [(0,0),(1,1),(5,5),(25,75025),(29,514229),(41,165580141)]
   λ> head [(n,x) | (n,x) <- sucFinalesFib, n > 200]
   (245,712011255569818855923257924200496343807632829750245)
   λ> head [n | (n,_) <- sucFinalesFib, n > 10^4]
   10945

λ> take 6 sucFinalesFib

[(0,0),(1,1),(5,5),(25,75025),(29,514229),(41,165580141)]

λ> head [(n,x) | (n,x) <- sucFinalesFib, n > 200]

(245,712011255569818855923257924200496343807632829750245)

λ> head [n | (n,_) <- sucFinalesFib, n > 10^4]

10945

Soluciones

import Data.List (genericIndex, isSuffixOf)

sucFinalesFib :: [(Integer, Integer)]
sucFinalesFib =
  [(n, fib n) | n <- [0..]
              , show n `isSuffixOf` show (fib n)]

sucFib :: [Integer]
sucFib = 0 : 1 : zipWith (+) sucFib (tail sucFib)

-- (fib n) es el n-ésimo término de la sucesión de Fibonacci.
fib :: Integer -> Integer
fib n = sucFib `genericIndex` n

import Data.List (genericIndex, isSuffixOf)

sucFinalesFib :: [(Integer, Integer)]

sucFinalesFib =

[(n, fib n) | n <- [0..]

, show n `isSuffixOf` show (fib n)]

sucFib :: [Integer]

sucFib = 0 : 1 : zipWith (+) sucFib (tail sucFib)

-- (fib n) es el n-ésimo término de la sucesión de Fibonacci.

fib :: Integer -> Integer

fib n = sucFib `genericIndex` n

Números de Lucas

PorJosé A. Alonso 7-abril-201614-abril-2016

Los números de Lucas son los elementos de la sucesión L(n) definida por

   L(0) = 2
   L(1) = 1
   L(n) = L(n-1) + L(n-2), si n > 1.

L(0) = 2

L(1) = 1

L(n) = L(n-1) + L(n-2), si n > 1.

Los primeros números de Lucas son

   2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ...

1	2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ...

Definir las funciones

   nLucas :: Integer -> Integer 
   lucas  :: [Integer]

1 2	nLucas :: Integer -> Integer lucas :: [Integer]

tales que

(nLucas n) es el n-ésimo número de Lucas. Por ejemplo,

   nLucas 5                       ==  11
   nLucas 32                      ==  4870847
   length (show (nLucas (10^5)))  ==  20899

nLucas 5 == 11

nLucas 32 == 4870847

length (show (nLucas (10^5))) == 20899

lucas es la lista de los números de Lucas. Por ejemplo,

   take 11 lucas ==  [2,1,3,4,7,11,18,29,47,76,123]

1	take 11 lucas == [2,1,3,4,7,11,18,29,47,76,123]

Soluciones

import Data.List (genericIndex)

-- 1ª definición
-- =============

nLucas1 :: Integer -> Integer
nLucas1 0 = 2
nLucas1 1 = 1
nLucas1 n = nLucas1 (n-1) + nLucas1 (n-2)

lucas1 :: [Integer]
lucas1 = [nLucas1 n | n <- [0..]]

-- 2ª definición
-- =============

lucas2 :: [Integer]
lucas2 = 2 : 1 : zipWith (+) lucas2 (tail lucas2)

nLucas2 :: Integer -> Integer
nLucas2 n = lucas2 `genericIndex` n

-- 3ª definición
-- =============

lucas3  :: [Integer]
lucas3 = 2 : scanl (+) 1 lucas3
 
nLucas3 :: Integer -> Integer
nLucas3 = genericIndex lucas3
            
-- Comparación de eficiencia
-- =========================

--    λ> nLucas1 32
--    4870847
--    (3.22 secs, 1,467,677,208 bytes)
--    λ> nLucas2 32
--    4870847
--    (0.00 secs, 0 bytes)
--    λ> nLucas3 32
--    4870847
--    (0.00 secs, 0 bytes)
--    
--    λ> length (show (nLucas2 230000))
--    48068
--    (1.57 secs, 2,415,008,392 bytes)
--    λ> length (show (nLucas3 230000))
--    48068
--    (2.08 secs, 2,411,107,352 bytes)

import Data.List (genericIndex)

-- 1ª definición

-- =============

nLucas1 :: Integer -> Integer

nLucas1 0 = 2

nLucas1 1 = 1

nLucas1 n = nLucas1 (n-1) + nLucas1 (n-2)

lucas1 :: [Integer]

lucas1 = [nLucas1 n | n <- [0..]]

-- 2ª definición

-- =============

lucas2 :: [Integer]

lucas2 = 2 : 1 : zipWith (+) lucas2 (tail lucas2)

nLucas2 :: Integer -> Integer

nLucas2 n = lucas2 `genericIndex` n

-- 3ª definición

-- =============

lucas3 :: [Integer]

lucas3 = 2 : scanl (+) 1 lucas3

nLucas3 :: Integer -> Integer

nLucas3 = genericIndex lucas3

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- λ> nLucas1 32

-- 4870847

-- (3.22 secs, 1,467,677,208 bytes)

-- λ> nLucas2 32

-- 4870847

-- (0.00 secs, 0 bytes)

-- λ> nLucas3 32

-- 4870847

-- (0.00 secs, 0 bytes)

-- λ> length (show (nLucas2 230000))

-- 48068

-- (1.57 secs, 2,415,008,392 bytes)

-- λ> length (show (nLucas3 230000))

-- 48068

-- (2.08 secs, 2,411,107,352 bytes)

Soluciones en Maxima

nLucas (n) := lucas (n)$

1	nLucas (n) := lucas (n)$

La evaluación de los ejemplos es

(%i5) nLucas (5);
(%o5) 11
(%i6) nLucas (32);
(%o6) 4870847

(%i5) nLucas (5);

(%o5) 11

(%i6) nLucas (32);

(%o6) 4870847

Listas con los ceros emparejados

PorJosé A. Alonso 4-marzo-201511-marzo-2015

Sea S un conjunto de números. Las listas de ceros emparejados de S son las listas formadas con los elementos de S y en las cuales los ceros aparecen en sublistas de longitud par. Por ejemplo, si S = {0,1,2} entonces [1], [2], [2,1], [2,0,0,2,0,0,1] y [0,0,0,0,1,2] son listas de ceros emparejados de S; pero [0,0,0,2,1,0,0] y [0,0,1,0,1] no lo son.

Definir las funciones

   cerosEmparejados  :: Integer -> Integer -> [[Integer]]
   nCerosEmparejados :: Integer -> Integer -> Integer

1 2	cerosEmparejados :: Integer -> Integer -> [[Integer]] nCerosEmparejados :: Integer -> Integer -> Integer

tales que
+ (cerosEmparejados m n) es la lista de las listas de longitud n de ceros emparejados con los números 0, 1, 2,…, m. Por ejemplo,

     ghci> cerosEmparejados 2 0
     [[]]
     ghci> cerosEmparejados 2 1
     [[1],[2]]
     ghci> cerosEmparejados 3 1
     [[1],[2],[3]]
     ghci> cerosEmparejados 2 2
     [[1,1],[1,2],[2,1],[2,2],[0,0]]
     ghci> cerosEmparejados 2 3
     [[1,1,1],[1,1,2],[1,2,1],[1,2,2],[1,0,0],[2,1,1],[2,1,2],
      [2,2,1],[2,2,2],[2,0,0],[0,0,1],[0,0,2]]
     ghci> cerosEmparejados 2 4
     [[1,1,1,1],[1,1,1,2],[1,1,2,1],[1,1,2,2],[1,1,0,0],[1,2,1,1],
      [1,2,1,2],[1,2,2,1],[1,2,2,2],[1,2,0,0],[1,0,0,1],[1,0,0,2],
      [2,1,1,1],[2,1,1,2],[2,1,2,1],[2,1,2,2],[2,1,0,0],[2,2,1,1],
      [2,2,1,2],[2,2,2,1],[2,2,2,2],[2,2,0,0],[2,0,0,1],[2,0,0,2],
      [0,0,1,1],[0,0,1,2],[0,0,2,1],[0,0,2,2],[0,0,0,0]]

ghci> cerosEmparejados 2 0

[[]]

ghci> cerosEmparejados 2 1

[[1],[2]]

ghci> cerosEmparejados 3 1

[[1],[2],[3]]

ghci> cerosEmparejados 2 2

[[1,1],[1,2],[2,1],[2,2],[0,0]]

ghci> cerosEmparejados 2 3

[[1,1,1],[1,1,2],[1,2,1],[1,2,2],[1,0,0],[2,1,1],[2,1,2],

[2,2,1],[2,2,2],[2,0,0],[0,0,1],[0,0,2]]

ghci> cerosEmparejados 2 4

[[1,1,1,1],[1,1,1,2],[1,1,2,1],[1,1,2,2],[1,1,0,0],[1,2,1,1],

[1,2,1,2],[1,2,2,1],[1,2,2,2],[1,2,0,0],[1,0,0,1],[1,0,0,2],

[2,1,1,1],[2,1,1,2],[2,1,2,1],[2,1,2,2],[2,1,0,0],[2,2,1,1],

[2,2,1,2],[2,2,2,1],[2,2,2,2],[2,2,0,0],[2,0,0,1],[2,0,0,2],

[0,0,1,1],[0,0,1,2],[0,0,2,1],[0,0,2,2],[0,0,0,0]]

(nCerosEmparejados m n) es el número de listas de longitud n de ceros emparejados con los números 0, 1, 2,…, m. Por ejemplo,

     nCerosEmparejados 2 2   ==  5
     nCerosEmparejados 2 3   ==  12
     nCerosEmparejados 2 4   ==  29
     nCerosEmparejados 9 27  ==  79707842493701635611689499

nCerosEmparejados 2 2 == 5

nCerosEmparejados 2 3 == 12

nCerosEmparejados 2 4 == 29

nCerosEmparejados 9 27 == 79707842493701635611689499

Soluciones

import Data.List (genericIndex)
import Data.List (genericLength) 

cerosEmparejados :: Integer -> Integer -> [[Integer]]
cerosEmparejados m 0 = [[]]
cerosEmparejados m 1 = [[k] | k <- [1..m]]
cerosEmparejados m n = 
    [x:ys | x <- [1..m], ys <- cerosEmparejados m (n-1)] ++
    [0:0:ys | ys <- cerosEmparejados m (n-2)]

-- 1ª definición de nCerosEmparejados: 
nCerosEmparejados1 :: Integer -> Integer -> Integer
nCerosEmparejados1 m n = fromIntegral (length (cerosEmparejados m n))

-- 2ª definición de nCerosEmparejados: 
nCerosEmparejados2 :: Integer -> Integer -> Integer
nCerosEmparejados2 _ 0 = 1
nCerosEmparejados2 m 1 = m
nCerosEmparejados2 m n = 
    m * nCerosEmparejados2 m (n-1) + nCerosEmparejados2 m (n-2)

-- 3ª definición de nCerosEmparejados: 
nCerosEmparejados3 :: Integer -> Integer -> Integer
nCerosEmparejados3 m n = aux `genericIndex` n
    where aux = 1 : m : zipWith (\x y -> x+m*y) aux (tail aux)

-- Comparación de eficiencia
--    ghci> nCerosEmparejados1 9 7
--    5144589
--    (22.30 secs, 6556279384 bytes)
--    ghci> nCerosEmparejados2 9 7
--    5144589
--    (0.01 secs, 515464 bytes)
--    ghci> nCerosEmparejados3 9 7
--    5144589
--    (0.01 secs, 518104 bytes)
--
--    ghci> nCerosEmparejados2 9 33
--    45556060883025783396845717812863
--    (21.59 secs, 2676070480 bytes)
--    ghci> nCerosEmparejados3 9 33
--    45556060883025783396845717812863
--    (0.00 secs, 1017240 bytes)

import Data.List (genericIndex)

import Data.List (genericLength)

cerosEmparejados :: Integer -> Integer -> [[Integer]]

cerosEmparejados m 0 = [[]]

cerosEmparejados m 1 = [[k] | k <- [1..m]]

cerosEmparejados m n =

[x:ys | x <- [1..m], ys <- cerosEmparejados m (n-1)] ++

[0:0:ys | ys <- cerosEmparejados m (n-2)]

-- 1ª definición de nCerosEmparejados:

nCerosEmparejados1 :: Integer -> Integer -> Integer

nCerosEmparejados1 m n = fromIntegral (length (cerosEmparejados m n))

-- 2ª definición de nCerosEmparejados:

nCerosEmparejados2 :: Integer -> Integer -> Integer

nCerosEmparejados2 _ 0 = 1

nCerosEmparejados2 m 1 = m

nCerosEmparejados2 m n =

m * nCerosEmparejados2 m (n-1) + nCerosEmparejados2 m (n-2)

-- 3ª definición de nCerosEmparejados:

nCerosEmparejados3 :: Integer -> Integer -> Integer

nCerosEmparejados3 m n = aux `genericIndex` n

where aux = 1 : m : zipWith (\x y -> x+m*y) aux (tail aux)

-- Comparación de eficiencia

-- ghci> nCerosEmparejados1 9 7

-- 5144589

-- (22.30 secs, 6556279384 bytes)

-- ghci> nCerosEmparejados2 9 7

-- 5144589

-- (0.01 secs, 515464 bytes)

-- ghci> nCerosEmparejados3 9 7

-- 5144589

-- (0.01 secs, 518104 bytes)

-- ghci> nCerosEmparejados2 9 33

-- 45556060883025783396845717812863

-- (21.59 secs, 2676070480 bytes)

-- ghci> nCerosEmparejados3 9 33

-- 45556060883025783396845717812863

-- (0.00 secs, 1017240 bytes)

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