La sucesión de Sylvester

La sucesión de Sylvester es la sucesión que comienza en 2 y sus restantes términos se obtienen multiplicando los anteriores y sumándole 1.

Definir las funciones

tales que

  • (sylvester n) es el n-ésimo término de la sucesión de Sylvester. Por ejemplo,

  • (graficaSylvester d n) dibuja la gráfica de los d últimos dígitos de los n primeros términos de la sucesión de Sylvester. Por ejemplo,
    • (graficaSylvester 3 30) dibuja
      La_sucesion_de_Sylvester_(3,30)
    • (graficaSylvester 4 30) dibuja
      La_sucesion_de_Sylvester_(4,30)
    • (graficaSylvester 5 30) dibuja
      La_sucesion_de_Sylvester_(5,30)

Soluciones

Suma de las sumas de los cuadrados de los divisores

La suma de las sumas de los cuadrados de los divisores de los 6 primeros números enteros positivos es

Definir la función

tal que (sumaSumasCuadradosDivisores n) es la suma de las sumas de los cuadrados de los divisores de los n primeros números enteros positivos. Por ejemplo,

Soluciones

Números que no son cuadrados

Definir las funciones

tales que

  • noCuadrados es la lista de los números naturales que no son cuadrados. Por ejemplo,

  • (graficaNoCuadrados n) dibuja las diferencias entre los n primeros elementos de noCuadrados y sus posiciones. Por ejemplo, (graficaNoCuadrados 300) dibuja
    Numeros_que_no_son_cuadrados_300
    (graficaNoCuadrados 3000) dibuja
    Numeros_que_no_son_cuadrados_3000
    (graficaNoCuadrados 30000) dibuja
    Numeros_que_no_son_cuadrados_30000

Comprobar con QuickCheck que el término de noCuadrados en la posición n-1 es (n + floor(1/2 + sqrt(n))).

Soluciones

Sumas parciales de Juzuk

En 1939 Dov Juzuk extendió el método de Nicómaco del cálculo de los cubos. La extensión se basaba en los siguientes pasos:

  • se comienza con la lista de todos los enteros positivos

  • se agrupan tomando el primer elemento, los dos siguientes, los tres
    siguientes, etc.

  • se seleccionan los elementos en posiciones pares

  • se suman los elementos de cada grupo

  • se calculan las sumas acumuladas

Las sumas obtenidas son las cuantas potencias de los números enteros positivos.

Definir las funciones

tal que

  • (listasParcialesJuzuk xs) es lalista de ls listas parciales de Juzuk; es decir, la selección de los elementos en posiciones pares de la agrupación de los elementos de xs tomando el primer elemento, los dos siguientes, los tres siguientes, etc. Por ejemplo,

  • (sumasParcialesJuzuk xs) es la lista de las sumas acumuladas de los elementos de las listas de Juzuk generadas por xs. Por ejemplo,

Comprobar con QuickChek que, para todo entero positivo n,

  • el elemento de (sumasParcialesJuzuk [1..]) en la posición (n-1) es n^4.
  • el elemento de (sumasParcialesJuzuk [1,3..]) en la posición (n-1) es n^2*(2*n^2 - 1).
  • el elemento de (sumasParcialesJuzuk [1,5..]) en la posición (n-1) es 4*n^4-3*n^2.
  • el elemento de (sumasParcialesJuzuk [2,3..]) en la posición (n-1) es n^2*(n^2+1).

Soluciones

Número de dígitos del factorial

Definir las funciones

tales que

  • (nDigitosFact n) es el número de dígitos de n!. Por ejemplo,

  • (graficas xs) dibuja las gráficas de los números de dígitos del factorial de k (para k en xs) y de la recta y = 5.5 x. Por ejemplo, (graficas [0,500..10^6]) dibuja
    Numero_de_digitos_del_factorial

Nota: Este ejercicio está basado en el problema How many digits? de Kattis en donde se impone la restricción de calcular, en menos de 1 segundo, el número de dígitos de los factoriales de 10.000 números del rango [0,1.000.000].

Se puede simular como sigue

Soluciones