foldr

Números binarios invertidos

PorJosé A. Alonso 6-marzo-201713-marzo-2017

La representación binaria de 13 es 1101, que al invertirlo da 1011 cuya representación decimal es el número 11.

Definir la función

   transformado :: Integer -> Integer

1	transformado :: Integer -> Integer

tal que (transformado x) es la representación decimal del número obtenido invirtiendo la representación binaria de x. Por ejemplo,

   transformado 13  ==  11
   transformado 47  ==  61

1 2	transformado 13 == 11 transformado 47 == 61

Nota: El ejercicio está basado en el problema Reversed Binary Numbers de Kattis.

Soluciones

transformado :: Integer -> Integer 
transformado = bin2int . reverse . int2bin

-- (int2bin x) es la representación binaria de x. Por ejemplo,
--    int2bin 13  ==  [1,0,1,1]
int2bin :: Integer -> [Integer]
int2bin n | n < 2     = [n]
          | otherwise = n `mod` 2 : int2bin (n `div` 2)

-- (bin2int x) es la representación decimal del número binario x. Por
-- ejemplo, 
--    bin2int [1,0,1,1]           ==  13
--    bin2int (reverse [1,0,1,1]) ==  11
bin2int :: [Integer] -> Integer
bin2int =  foldr (\x y -> x + 2*y) 0

transformado :: Integer -> Integer

transformado = bin2int . reverse . int2bin

-- (int2bin x) es la representación binaria de x. Por ejemplo,

-- int2bin 13 == [1,0,1,1]

int2bin :: Integer -> [Integer]

int2bin n | n < 2 = [n]

| otherwise = n `mod` 2 : int2bin (n `div` 2)

-- (bin2int x) es la representación decimal del número binario x. Por

-- ejemplo,

-- bin2int [1,0,1,1] == 13

-- bin2int (reverse [1,0,1,1]) == 11

bin2int :: [Integer] -> Integer

bin2int = foldr (\x y -> x + 2*y) 0

Cálculo de pi mediante la fracción continua de Lange

PorJosé A. Alonso 22-febrero-201726-marzo-2022

En 1999, L.J. Lange publicó el artículo An elegant new continued fraction for π.

En el primer teorema del artículo se demuestra la siguiente expresión de π mediante una fracción continua
$Calculo_de_pi_mediante_la_fraccion_continua_de_Lange$

La primeras aproximaciones son

   a(1) = 3+1                = 4.0
   a(2) = 3+(1/(6+9))        = 3.066666666666667
   a(3) = 3+(1/(6+9/(6+25))) = 3.158974358974359

a(1) = 3+1 = 4.0

a(2) = 3+(1/(6+9)) = 3.066666666666667

a(3) = 3+(1/(6+9/(6+25))) = 3.158974358974359

Definir las funciones

   aproximacionPi :: Int -> Double
   grafica        :: [Int] -> IO ()

1 2	aproximacionPi :: Int -> Double grafica :: [Int] -> IO ()

tales que

(aproximacionPi n) es la n-ésima aproximación de pi con la fracción continua de Lange. Por ejemplo,

     aproximacionPi 1     ==  4.0
     aproximacionPi 2     ==  3.066666666666667
     aproximacionPi 3     ==  3.158974358974359
     aproximacionPi 10    ==  3.141287132741557
     aproximacionPi 100   ==  3.141592398533554
     aproximacionPi 1000  ==  3.1415926533392926

aproximacionPi 1 == 4.0

aproximacionPi 2 == 3.066666666666667

aproximacionPi 3 == 3.158974358974359

aproximacionPi 10 == 3.141287132741557

aproximacionPi 100 == 3.141592398533554

aproximacionPi 1000 == 3.1415926533392926

(grafica xs) dibuja la gráfica de las k-ésimas aproximaciones de pi donde k toma los valores de la lista xs. Por ejemplo, (grafica [1..10]) dibuja
$Calculo_de_pi_mediante_la_fraccion_continua_de_Lange_2$
(grafica [10..100]) dibuja
$Calculo_de_pi_mediante_la_fraccion_continua_de_Lange_3$
y (grafica [100..200]) dibuja
$Calculo_de_pi_mediante_la_fraccion_continua_de_Lange_4$

Nota: Este ejercicio ha sido propuesto por Antonio Morales.

Soluciones

import Graphics.Gnuplot.Simple
 
-- fraccionPi es la representación de la fracción continua de pi como un
-- par de listas infinitas.
fraccionPi :: [(Integer, Integer)]
fraccionPi = zip (3 : [6,6..]) (map (^2) [1,3..])

-- (aproximacionFC n fc) es la n-ésima aproximación de la fracción
-- continua fc (como un par de listas).  
aproximacionFC :: Int -> [(Integer, Integer)] -> Double
aproximacionFC n =
  foldr (\(a,b) z -> fromIntegral a + fromIntegral b / z) 1 . take n

aproximacionPi :: Int -> Double
aproximacionPi n =
  aproximacionFC n fraccionPi
 
grafica :: [Int] -> IO ()
grafica xs = 
    plotList [Key Nothing]
             [(k,aproximacionPi k) | k <- xs]

import Graphics.Gnuplot.Simple

-- fraccionPi es la representación de la fracción continua de pi como un

-- par de listas infinitas.

fraccionPi :: [(Integer, Integer)]

fraccionPi = zip (3 : [6,6..]) (map (^2) [1,3..])

-- (aproximacionFC n fc) es la n-ésima aproximación de la fracción

-- continua fc (como un par de listas).

aproximacionFC :: Int -> [(Integer, Integer)] -> Double

aproximacionFC n =

foldr (\(a,b) z -> fromIntegral a + fromIntegral b / z) 1 . take n

aproximacionPi :: Int -> Double

aproximacionPi n =

aproximacionFC n fraccionPi

grafica :: [Int] -> IO ()

grafica xs =

plotList [Key Nothing]

[(k,aproximacionPi k) | k <- xs]

Sumas y restas alternativas

PorJosé A. Alonso 9-enero-201716-enero-2017

Definir la función

   sumasYrestas :: Num a => [a] -> a

1	sumasYrestas :: Num a => [a] -> a

tal que (sumasYrestas xs) es el resultado de alternativamente los elementos de xs. Por ejemplo,

   sumasYrestas [3,2,4,1,7] = 3 - 2 + 4 - 1 + 7
                            = 11

1 2	sumasYrestas [3,2,4,1,7] = 3 - 2 + 4 - 1 + 7 = 11

Otros ejemplos,

   sumasYrestas [3,2,4]              ==  5
   sumasYrestas [3,2,4,1]            ==  4
   sumasYrestas [3,2,4,1,7]          ==  11
   sumasYrestas (replicate (10^6) 1) ==  0

sumasYrestas [3,2,4] == 5

sumasYrestas [3,2,4,1] == 4

sumasYrestas [3,2,4,1,7] == 11

sumasYrestas (replicate (10^6) 1) == 0

Soluciones

-- 1ª definición
sumasYrestas1 :: Num a => [a] -> a
sumasYrestas1 []       = 0
sumasYrestas1 [x]      = x
sumasYrestas1 (x:y:xs) = x - y + sumasYrestas1 xs

-- 2ª definición
sumasYrestas2 :: Num a => [a] -> a
sumasYrestas2 xs = aux 1 xs
  where aux _ []     = 0
        aux n (y:ys) = n * y + aux (-n) ys

-- 3ª definición
sumasYrestas3 :: Num a => [a] -> a
sumasYrestas3 xs = auxS 0 xs
  where auxS v []       = v
        auxS v [x]      = v + x
        auxS v (x:y:xs) = auxS (v+x-y) xs

-- 4ª definición
sumasYrestas4 :: Num a => [a] -> a
sumasYrestas4 xs =
  sum (zipWith (*) xs [(-1)^n | n <- [0..]])

-- 5ª definición
sumasYrestas5 :: Num a => [a] -> a
sumasYrestas5 = sum . zipWith (*) (cycle [1,-1])

-- 6ª definición
sumasYrestas6 :: Num a => [a] -> a
sumasYrestas6 = foldr (-) 0

-- Comparación de eficiencia
--    λ> sumasYrestas1 (replicate (10^6) 1)
--    0
--    (1.50 secs, 171,623,648 bytes)
--    λ> sumasYrestas2 (replicate (10^6) 1)
--    0
--    (3.78 secs, 382,691,856 bytes)
--    λ> sumasYrestas3 (replicate (10^6) 1)
--    0
--    (1.39 secs, 204,404,024 bytes)
--    λ> sumasYrestas4 (replicate (10^6) 1)
--    0
--    (16.04 secs, 5,727,351,024 bytes)
--    λ> sumasYrestas5 (replicate (10^6) 1)
--    0
--    (1.39 secs, 235,770,344 bytes)
--    λ> sumasYrestas6 (replicate (10^6) 1)
--    0
--    (0.53 secs, 142,802,656 bytes)

-- 1ª definición

sumasYrestas1 :: Num a => [a] -> a

sumasYrestas1 [] = 0

sumasYrestas1 [x] = x

sumasYrestas1 (x:y:xs) = x - y + sumasYrestas1 xs

-- 2ª definición

sumasYrestas2 :: Num a => [a] -> a

sumasYrestas2 xs = aux 1 xs

where aux _ [] = 0

aux n (y:ys) = n * y + aux (-n) ys

-- 3ª definición

sumasYrestas3 :: Num a => [a] -> a

sumasYrestas3 xs = auxS 0 xs

where auxS v [] = v

auxS v [x] = v + x

auxS v (x:y:xs) = auxS (v+x-y) xs

-- 4ª definición

sumasYrestas4 :: Num a => [a] -> a

sumasYrestas4 xs =

sum (zipWith (*) xs [(-1)^n | n <- [0..]])

-- 5ª definición

sumasYrestas5 :: Num a => [a] -> a

sumasYrestas5 = sum . zipWith (*) (cycle [1,-1])

-- 6ª definición

sumasYrestas6 :: Num a => [a] -> a

sumasYrestas6 = foldr (-) 0

-- Comparación de eficiencia

-- λ> sumasYrestas1 (replicate (10^6) 1)

-- 0

-- (1.50 secs, 171,623,648 bytes)

-- λ> sumasYrestas2 (replicate (10^6) 1)

-- 0

-- (3.78 secs, 382,691,856 bytes)

-- λ> sumasYrestas3 (replicate (10^6) 1)

-- 0

-- (1.39 secs, 204,404,024 bytes)

-- λ> sumasYrestas4 (replicate (10^6) 1)

-- 0

-- (16.04 secs, 5,727,351,024 bytes)

-- λ> sumasYrestas5 (replicate (10^6) 1)

-- 0

-- (1.39 secs, 235,770,344 bytes)

-- λ> sumasYrestas6 (replicate (10^6) 1)

-- 0

-- (0.53 secs, 142,802,656 bytes)

Caminos reducidos

PorJosé A. Alonso 12-abril-201625-abril-2021

Un camino es una sucesión de pasos en una de las cuatros direcciones Norte, Sur, Este, Oeste. Ir en una dirección y a continuación en la opuesta es un esfuerzo que se puede reducir, Por ejemplo, el camino [Norte,Sur,Este,Sur] se puede reducir a [Este,Sur].

Un camino se dice que es reducido si no tiene dos pasos consecutivos en direcciones opuesta. Por ejemplo, [Este,Sur] es reducido y [Norte,Sur,Este,Sur] no lo es.

En Haskell, las direcciones y los caminos se pueden definir por

   data Direccion = N | S | E | O deriving (Show, Eq)
   type Camino = [Direccion]

1 2	data Direccion = N \| S \| E \| O deriving (Show, Eq) type Camino = [Direccion]

Definir la función

   reducido :: Camino -> Camino

1	reducido :: Camino -> Camino

tal que (reducido ds) es el camino reducido equivalente al camino ds. Por ejemplo,

   reducido []                              ==  []
   reducido [N]                             ==  [N]
   reducido [N,O]                           ==  [N,O]
   reducido [N,O,E]                         ==  [N]
   reducido [N,O,E,S]                       ==  [] 
   reducido [N,O,S,E]                       ==  [N,O,S,E]
   reducido [S,S,S,N,N,N]                   ==  []
   reducido [N,S,S,E,O,N]                   ==  []
   reducido [N,S,S,E,O,N,O]                 ==  [O]
   reducido (take (10^7) (cycle [N,E,O,S])) ==  []

reducido [] == []

reducido [N] == [N]

reducido [N,O] == [N,O]

reducido [N,O,E] == [N]

reducido [N,O,E,S] == []

reducido [N,O,S,E] == [N,O,S,E]

reducido [S,S,S,N,N,N] == []

reducido [N,S,S,E,O,N] == []

reducido [N,S,S,E,O,N,O] == [O]

reducido (take (10^7) (cycle [N,E,O,S])) == []

Nótese que en el penúltimo ejemplo las reducciones son

       [N,S,S,E,O,N,O]  
   --> [S,E,O,N,O]  
   --> [S,N,O]  
   --> [O]

[N,S,S,E,O,N,O]

--> [S,E,O,N,O]

--> [S,N,O]

--> [O]

Soluciones

data Direccion = N | S | E | O deriving (Show, Eq)

type Camino = [Direccion]

-- 1ª solución (por recursión):
reducido1 :: Camino -> Camino
reducido1 [] = []
reducido1 (d:ds) | null ds'                = [d]
                 | d == opuesta (head ds') = tail ds'
                 | otherwise               = d:ds'
    where ds' = reducido1 ds

opuesta :: Direccion -> Direccion
opuesta N = S
opuesta S = N
opuesta E = O
opuesta O = E

-- 2ª solución (por plegado)
reducido2 :: Camino -> Camino
reducido2 = foldr aux []
    where aux N (S:xs) = xs
          aux S (N:xs) = xs
          aux E (O:xs) = xs
          aux O (E:xs) = xs
          aux x xs     = x:xs

-- 3ª solución 
reducido3 :: Camino -> Camino
reducido3 []       = []
reducido3 (N:S:ds) = reducido3 ds
reducido3 (S:N:ds) = reducido3 ds
reducido3 (E:O:ds) = reducido3 ds
reducido3 (O:E:ds) = reducido3 ds
reducido3 (d:ds) | null ds'                = [d]
                 | d == opuesta (head ds') = tail ds'
                 | otherwise               = d:ds'
    where ds' = reducido3 ds

-- 4ª solución
reducido4 :: Camino -> Camino
reducido4 ds = reverse (aux ([],ds)) where 
    aux (N:xs, S:ys) = aux (xs,ys)
    aux (S:xs, N:ys) = aux (xs,ys)
    aux (E:xs, O:ys) = aux (xs,ys)
    aux (O:xs, E:ys) = aux (xs,ys)
    aux (  xs, y:ys) = aux (y:xs,ys)
    aux (  xs,   []) = xs

-- Comparación de eficiencia
--    ghci> reducido1 (take (10^6) (cycle [N,E,O,S]))
--    []
--    (3.87 secs, 460160736 bytes)
--    ghci> reducido2 (take (10^6) (cycle [N,E,O,S]))
--    []
--    (1.16 secs, 216582880 bytes)
--    ghci> reducido3 (take (10^6) (cycle [N,E,O,S]))
--    []
--    (0.58 secs, 98561872 bytes)
--    ghci> reducido4 (take (10^6) (cycle [N,E,O,S]))
--    []
--    (0.64 secs, 176154640 bytes)
--    
--    ghci> reducido3 (take (10^7) (cycle [N,E,O,S]))
--    []
--    (5.43 secs, 962694784 bytes)
--    ghci> reducido4 (take (10^7) (cycle [N,E,O,S]))
--    []
--    (9.29 secs, 1722601528 bytes)
-- 
--    ghci> length $ reducido3 (take 2000000 $ cycle [N,O,N,S,E,N,S,O,S,S])
--    400002
--    (4.52 secs, 547004960 bytes)
--    ghci> length $ reducido4 (take 2000000 $ cycle [N,O,N,S,E,N,S,O,S,S])
--    400002
--    (2.17 secs, 379049224 bytes)

data Direccion = N | S | E | O deriving (Show, Eq)

type Camino = [Direccion]

-- 1ª solución (por recursión):

reducido1 :: Camino -> Camino

reducido1 [] = []

reducido1 (d:ds) | null ds' = [d]

| d == opuesta (head ds') = tail ds'

| otherwise = d:ds'

where ds' = reducido1 ds

opuesta :: Direccion -> Direccion

opuesta N = S

opuesta S = N

opuesta E = O

opuesta O = E

-- 2ª solución (por plegado)

reducido2 :: Camino -> Camino

reducido2 = foldr aux []

where aux N (S:xs) = xs

aux S (N:xs) = xs

aux E (O:xs) = xs

aux O (E:xs) = xs

aux x xs = x:xs

-- 3ª solución

reducido3 :: Camino -> Camino

reducido3 [] = []

reducido3 (N:S:ds) = reducido3 ds

reducido3 (S:N:ds) = reducido3 ds

reducido3 (E:O:ds) = reducido3 ds

reducido3 (O:E:ds) = reducido3 ds

reducido3 (d:ds) | null ds' = [d]

| d == opuesta (head ds') = tail ds'

| otherwise = d:ds'

where ds' = reducido3 ds

-- 4ª solución

reducido4 :: Camino -> Camino

reducido4 ds = reverse (aux ([],ds)) where

aux (N:xs, S:ys) = aux (xs,ys)

aux (S:xs, N:ys) = aux (xs,ys)

aux (E:xs, O:ys) = aux (xs,ys)

aux (O:xs, E:ys) = aux (xs,ys)

aux ( xs, y:ys) = aux (y:xs,ys)

aux ( xs, []) = xs

-- Comparación de eficiencia

-- ghci> reducido1 (take (10^6) (cycle [N,E,O,S]))

-- []

-- (3.87 secs, 460160736 bytes)

-- ghci> reducido2 (take (10^6) (cycle [N,E,O,S]))

-- []

-- (1.16 secs, 216582880 bytes)

-- ghci> reducido3 (take (10^6) (cycle [N,E,O,S]))

-- []

-- (0.58 secs, 98561872 bytes)

-- ghci> reducido4 (take (10^6) (cycle [N,E,O,S]))

-- []

-- (0.64 secs, 176154640 bytes)

-- ghci> reducido3 (take (10^7) (cycle [N,E,O,S]))

-- []

-- (5.43 secs, 962694784 bytes)

-- ghci> reducido4 (take (10^7) (cycle [N,E,O,S]))

-- []

-- (9.29 secs, 1722601528 bytes)

-- ghci> length $ reducido3 (take 2000000 $ cycle [N,O,N,S,E,N,S,O,S,S])

-- 400002

-- (4.52 secs, 547004960 bytes)

-- ghci> length $ reducido4 (take 2000000 $ cycle [N,O,N,S,E,N,S,O,S,S])

-- 400002

-- (2.17 secs, 379049224 bytes)

Operación sobre todos los pares

PorJosé A. Alonso 28-diciembre-20154-enero-2016

Definir la función

   todosPares :: (a -> b -> c) -> [a] -> [b] -> [c]

1	todosPares :: (a -> b -> c) -> [a] -> [b] -> [c]

tal que (todosPares f xs ys) es el resultado de aplicar la operación f a todos los pares de xs e ys. Por ejemplo,

   todosPares (*) [2,3,5] [7,11]            == [14,22,21,33,35,55]
   todosPares (\x y -> x:show y) "ab" [7,5] == ["a7","a5","b7","b5"]

1 2	todosPares (*) [2,3,5] [7,11] == [14,22,21,33,35,55] todosPares (\x y -> x:show y) "ab" [7,5] == ["a7","a5","b7","b5"]

Soluciones

-- 1ª definición (por comprensión)
todosPares1 :: (a -> b -> c) -> [a] -> [b] -> [c]
todosPares1 f xs ys = [f x y | x <- xs, y <- ys] 

-- 2ª definición (por recursión)
todosPares2 :: (a -> b -> c) -> [a] -> [b] -> [c]
todosPares2 _ []     _  = []
todosPares2 f (x:xs) ys = map (f x) ys ++ todosPares2 f xs ys

-- 3ª definición (recursión con auxiliar)
todosPares3 :: (a -> b -> c) -> [a] -> [b] -> [c]
todosPares3 f xs ys = aux xs where
   aux []     = []
   aux (x:xs) = map (f x) ys ++ aux xs

-- 4ª definición (recursión con auxiliar)
todosPares4 :: (a -> b -> c) -> [a] -> [b] -> [c]
todosPares4 f xs ys = 
    (foldr (\x zs -> map (f x) ys ++ zs) []) xs

-- 1ª definición (por comprensión)

todosPares1 :: (a -> b -> c) -> [a] -> [b] -> [c]

todosPares1 f xs ys = [f x y | x <- xs, y <- ys]

-- 2ª definición (por recursión)

todosPares2 :: (a -> b -> c) -> [a] -> [b] -> [c]

todosPares2 _ [] _ = []

todosPares2 f (x:xs) ys = map (f x) ys ++ todosPares2 f xs ys

-- 3ª definición (recursión con auxiliar)

todosPares3 :: (a -> b -> c) -> [a] -> [b] -> [c]

todosPares3 f xs ys = aux xs where

aux [] = []

aux (x:xs) = map (f x) ys ++ aux xs

-- 4ª definición (recursión con auxiliar)

todosPares4 :: (a -> b -> c) -> [a] -> [b] -> [c]

todosPares4 f xs ys =

(foldr (\x zs -> map (f x) ys ++ zs) []) xs

Números binarios invertidos

Soluciones

Cálculo de pi mediante la fracción continua de Lange

Soluciones

Sumas y restas alternativas

Soluciones

Caminos reducidos

Soluciones

Operación sobre todos los pares

Soluciones

Entradas recientes

Buscar

Correo electrónico