foldl’

Elemento ausente

PorJosé A. Alonso 8-marzo-20162-mayo-2016

Sea xs una lista y n su longitud. Se dice que xs es casi completa si sus elementos son los números enteros entre 0 y n excepto uno. Por ejemplo, la lista [3,0,1] es casi completa.

Definir la función

   ausente :: [Integer] -> Integer

1	ausente :: [Integer] -> Integer

tal que (ausente xs) es el único entero (entre 0 y la longitud de xs) que no pertenece a la lista casi completa xs. Por ejemplo,

   ausente [3,0,1]               ==  2
   ausente [1,2,0]               ==  3
   ausente (1+10^7:[0..10^7-1])  ==  10000000

ausente [3,0,1] == 2

ausente [1,2,0] == 3

ausente (1+10^7:[0..10^7-1]) == 10000000

Soluciones

import Data.List (foldl', genericLength)
import Data.Set (fromList, notMember)
    
-- 1ª definición
ausente1 :: [Integer] -> Integer
ausente1 xs =
    head [n | n <- [0..], n `notElem` xs]

-- 2ª definición
ausente2 :: [Integer] -> Integer
ausente2 xs =
    head [n | n <- [0..], n `notMember` ys]
    where ys = fromList xs
         
-- 3ª definición (lineal)
ausente3 :: [Integer] -> Integer
ausente3 xs =
    ((n * (n+1)) `div` 2) - sum xs
    where n = genericLength xs  

-- 4ª definición
ausente4 :: [Integer] -> Integer
ausente4 xs =
    ((n * (n+1)) `div` 2) - foldl' (+) 0 xs
    where n = genericLength xs  

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

--    λ> let n = 10^5 in ausente1 (n+1:[0..n-1])
--    100000
--    (68.51 secs, 25,967,840 bytes)
--    λ> let n = 10^5 in ausente2 (n+1:[0..n-1])
--    100000
--    (0.12 secs, 123,488,144 bytes)
--    λ> let n = 10^5 in ausente3 (n+1:[0..n-1])
--    100000
--    (0.07 secs, 30,928,384 bytes)
--    λ> let n = 10^5 in ausente4 (n+1:[0..n-1])
--    100000
--    (0.02 secs, 23,039,904 bytes)
--    
--    λ> let n = 10^7 in ausente2 (n+1:[0..n-1])
--    10000000
--    (14.32 secs, 15,358,509,280 bytes)
--    λ> let n = 10^7 in ausente3 (n+1:[0..n-1])
--    10000000
--    (5.57 secs, 2,670,214,936 bytes)
--    λ> let n = 10^7 in ausente4 (n+1:[0..n-1])
--    10000000
--    (3.36 secs, 2,074,919,184 bytes)

import Data.List (foldl', genericLength)

import Data.Set (fromList, notMember)

-- 1ª definición

ausente1 :: [Integer] -> Integer

ausente1 xs =

head [n | n <- [0..], n `notElem` xs]

-- 2ª definición

ausente2 :: [Integer] -> Integer

ausente2 xs =

head [n | n <- [0..], n `notMember` ys]

where ys = fromList xs

-- 3ª definición (lineal)

ausente3 :: [Integer] -> Integer

ausente3 xs =

((n * (n+1)) `div` 2) - sum xs

where n = genericLength xs

-- 4ª definición

ausente4 :: [Integer] -> Integer

ausente4 xs =

((n * (n+1)) `div` 2) - foldl' (+) 0 xs

where n = genericLength xs

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- λ> let n = 10^5 in ausente1 (n+1:[0..n-1])

-- 100000

-- (68.51 secs, 25,967,840 bytes)

-- λ> let n = 10^5 in ausente2 (n+1:[0..n-1])

-- 100000

-- (0.12 secs, 123,488,144 bytes)

-- λ> let n = 10^5 in ausente3 (n+1:[0..n-1])

-- 100000

-- (0.07 secs, 30,928,384 bytes)

-- λ> let n = 10^5 in ausente4 (n+1:[0..n-1])

-- 100000

-- (0.02 secs, 23,039,904 bytes)

-- λ> let n = 10^7 in ausente2 (n+1:[0..n-1])

-- 10000000

-- (14.32 secs, 15,358,509,280 bytes)

-- λ> let n = 10^7 in ausente3 (n+1:[0..n-1])

-- 10000000

-- (5.57 secs, 2,670,214,936 bytes)

-- λ> let n = 10^7 in ausente4 (n+1:[0..n-1])

-- 10000000

-- (3.36 secs, 2,074,919,184 bytes)

Listas hermanadas

PorJosé A. Alonso 21-diciembre-201528-diciembre-2015

Una lista hermanada es una lista de números estrictamente positivos en la que cada elemento tiene algún factor primo en común con el siguiente, en caso de que exista, o alguno de los dos es un 1. Por ejemplo,

[2,6,3,9,1,5] es una lista hermanada pues 2 y 6 tienen un factor en común (2); 6 y 3 tienen un factor en común (3); 3 y 9 tienen un factor en común (3); de 9 y 1 uno es el número 1; y de 1 y 5 uno es el número 1.
[2,3,5] no es una lista hermanada pues 2 y 3 no tienen ningún factor primo en común.

Definir la función

   hermanada :: [Int] -> Bool

1	hermanada :: [Int] -> Bool

tal que (hermanada xs) se verifica si la lista xs es hermanada según la definición anterior. Por ejemplo,

   hermanada [2,6,3,9,1,5]   ==  True
   hermanada [2,3,5]         ==  False
   hermanada [2,4..1000000]  ==  True

hermanada [2,6,3,9,1,5] == True

hermanada [2,3,5] == False

hermanada [2,4..1000000] == True

Nota: Este ejercicio es parte del examen del grupo 3 del 2 de diciembre.

Soluciones

-- 1ª definición (por comprensión)
hermanada1 :: [Int] -> Bool
hermanada1 xs = and [hermanos p | p <- zip xs (tail xs)]

-- (hermanos (x,y)) se verifica si x e y son hermanos; es decir, alguno es
-- igual a 1 o tienen algún factor primo en común
hermanos :: (Int, Int) -> Bool
hermanos (x,y) = x == 1 || y == 1 || gcd x y /= 1

-- 2ª definición (con all)
hermanada2 :: [Int] -> Bool
hermanada2 xs = all hermanos (zip xs (tail xs))

-- 3ª definición (por recursión)
hermanada3 :: [Int] -> Bool
hermanada3 (x1:x:xs) = hermanos (x1,x) && hermanada3 (x:xs)
hermanada3 _          = True

-- 4ª definición (por plegado)
hermanada4 :: [Int] -> Bool
hermanada4 xs =
    foldl (\ws p -> hermanos p && ws) True (zip xs (tail xs))

-- Comparación de eficiencia
--    λ> hermanada1 [2,4..1000000]
--    True
--    (2.33 secs, 476,586,552 bytes)
--    λ> hermanada2 [2,4..1000000]
--    True
--    (1.80 secs, 422,879,072 bytes)
--    λ> hermanada3 [2,4..1000000]
--    True
--    (2.58 secs, 477,251,896 bytes)
--    λ> hermanada4 [2,4..1000000]
--    True
--    (2.36 secs, 440,047,520 bytes)

-- 1ª definición (por comprensión)

hermanada1 :: [Int] -> Bool

hermanada1 xs = and [hermanos p | p <- zip xs (tail xs)]

-- (hermanos (x,y)) se verifica si x e y son hermanos; es decir, alguno es

-- igual a 1 o tienen algún factor primo en común

hermanos :: (Int, Int) -> Bool

hermanos (x,y) = x == 1 || y == 1 || gcd x y /= 1

-- 2ª definición (con all)

hermanada2 :: [Int] -> Bool

hermanada2 xs = all hermanos (zip xs (tail xs))

-- 3ª definición (por recursión)

hermanada3 :: [Int] -> Bool

hermanada3 (x1:x:xs) = hermanos (x1,x) && hermanada3 (x:xs)

hermanada3 _ = True

-- 4ª definición (por plegado)

hermanada4 :: [Int] -> Bool

hermanada4 xs =

foldl (\ws p -> hermanos p && ws) True (zip xs (tail xs))

-- Comparación de eficiencia

-- λ> hermanada1 [2,4..1000000]

-- True

-- (2.33 secs, 476,586,552 bytes)

-- λ> hermanada2 [2,4..1000000]

-- True

-- (1.80 secs, 422,879,072 bytes)

-- λ> hermanada3 [2,4..1000000]

-- True

-- (2.58 secs, 477,251,896 bytes)

-- λ> hermanada4 [2,4..1000000]

-- True

-- (2.36 secs, 440,047,520 bytes)

Con mínimo común denominador

PorJosé A. Alonso 20-abril-201527-abril-2015

Los números racionales se pueden representar como pares de enteros:

   type Racional a = (a,a)

1	type Racional a = (a,a)

Definir la función

   reducida :: Integral a => [Racional a] -> [Racional a]

1	reducida :: Integral a => [Racional a] -> [Racional a]

tal que (reducida xs) es la lista de los números racionales donde cada uno es igual al correspondiente elemento de xs y el denominador de todos los elementos de (reducida xs) es el menor número que cumple dicha condición; es decir, si xs es la lista

   [(x_1, y_1), ..., (x_n, y_n)]

1	[(x_1, y_1), ..., (x_n, y_n)]

entonces (reducida xs) es

   [(z_1, d), ..., (z_n, d)]

1	[(z_1, d), ..., (z_n, d)]

tales que

   z_1/d = x_1/y_1, ..., z_n/d = x_n/y_n

1	z_1/d = x_1/y_1, ..., z_n/d = x_n/y_n

y d es el menor posible. Por ejemplo,

   reducida [(1,2),(1,3),(1,4)]  ==  [(6,12),(4,12),(3,12)]
   reducida [(1,2),(1,3),(6,4)]  ==  [(3,6),(2,6),(9,6)]
   reducida [(-7,6),(-10,-8)]    ==  [(-14,12),(15,12)]
   reducida [(8,12)]             ==  [(2,3)]

reducida [(1,2),(1,3),(1,4)] == [(6,12),(4,12),(3,12)]

reducida [(1,2),(1,3),(6,4)] == [(3,6),(2,6),(9,6)]

reducida [(-7,6),(-10,-8)] == [(-14,12),(15,12)]

reducida [(8,12)] == [(2,3)]

Soluciones

type Racional a = (a,a) 

reducida :: Integral a => [Racional a] -> [Racional a]
reducida xs = 
    [(x * (m `div` y), m) | (x,y) <- ys]
    where ys = map fraccionReducida xs
          m  = mcm [y | (_,y) <- ys]

-- (fraccionReducida r) es el número racional igual a r con menor
-- denominador positivo. Por ejemplo,
--    fraccionReducida ( 6, 10)  ==  ( 3,5)
--    fraccionReducida (-6, 10)  ==  (-3,5)
--    fraccionReducida ( 6,-10)  ==  (-3,5)
--    fraccionReducida (-6,-10)  ==  ( 3,5)
--    fraccionReducida ( 3,  5)  ==  ( 3,5)
fraccionReducida :: Integral a => (a,a) -> (a,a)
fraccionReducida (x,y) =
    (s * x1 `div` m, y1 `div` m)
    where s  = signum x * signum y      
          x1 = abs x
          y1 = abs y
          m  = gcd x1 y1
          
-- (mcm xs) es el mínimo común múltiplo de xs. Por ejemplo,
--    mcm [2,6,10]  ==  30
mcm :: Integral a => [a] -> a
mcm = foldl lcm 1

type Racional a = (a,a)

reducida :: Integral a => [Racional a] -> [Racional a]

reducida xs =

[(x * (m `div` y), m) | (x,y) <- ys]

where ys = map fraccionReducida xs

m = mcm [y | (_,y) <- ys]

-- (fraccionReducida r) es el número racional igual a r con menor

-- denominador positivo. Por ejemplo,

-- fraccionReducida ( 6, 10) == ( 3,5)

-- fraccionReducida (-6, 10) == (-3,5)

-- fraccionReducida ( 6,-10) == (-3,5)

-- fraccionReducida (-6,-10) == ( 3,5)

-- fraccionReducida ( 3, 5) == ( 3,5)

fraccionReducida :: Integral a => (a,a) -> (a,a)

fraccionReducida (x,y) =

(s * x1 `div` m, y1 `div` m)

where s = signum x * signum y

x1 = abs x

y1 = abs y

m = gcd x1 y1

-- (mcm xs) es el mínimo común múltiplo de xs. Por ejemplo,

-- mcm [2,6,10] == 30

mcm :: Integral a => [a] -> a

mcm = foldl lcm 1

Desemparejamiento de listas

PorJosé A. Alonso 23-diciembre-201430-diciembre-2014

Definir la función

   desemparejada :: [(a,b)] -> ([a],[b])

1	desemparejada :: [(a,b)] -> ([a],[b])

tal que (desemparejada ps) es el par de lista (xs,ys) tal que al emparejar (con zip) xs e ys devuelve ps. Por ejemplo,

   ghci> desemparejada [(3,'l'),(2,'u'),(5,'i'),(9,'s')]
   ([3,2,5,9],"luis")

1 2	ghci> desemparejada [(3,'l'),(2,'u'),(5,'i'),(9,'s')] ([3,2,5,9],"luis")

Comprobar con QuickCheck que

desemparejada es equivalente a la función predefinida unzip.
si el valor de (desemparejada ps) es (xs,ys), entonces (zip xs ys) es igual a ps.

Soluciones

import Test.QuickCheck

-- 1ª definición (por comprensión):
desemparejada1 :: [(a,b)] -> ([a],[b])
desemparejada1 ps = ([x | (x,_) <- ps], [y | (_,y) <- ps])

-- 2ª definición (con map):
desemparejada2 :: [(a,b)] -> ([a],[b])
desemparejada2 ps = (map fst ps, map snd ps)

-- 3ª definición (por recursión):
desemparejada3 :: [(a,b)] -> ([a],[b])
desemparejada3 []         = ([],[])
desemparejada3 ((x,y):ps) = (x:xs,y:ys)
    where (xs,ys) = desemparejada3 ps 

-- 4ª definición (por plegado):
desemparejada4 :: [(a,b)] -> ([a],[b])
desemparejada4 = foldr f ([],[])
    where f (x,y) (xs,ys) = (x:xs, y:ys)

-- 5ª definición (por plegado por la izquierda):
desemparejada5 :: [(a,b)] -> ([a],[b])
desemparejada5 ps = (reverse us, reverse vs)
    where (us,vs) = foldl f ([],[]) ps
          f (xs,ys) (x,y) = (x:xs,y:ys)

-- Comparación de eficiencia-
--    ghci> let ps = zip [1..10^7] [1..10^7]
--    
--    ghci> length (fst (desemparejada1 ps))
--    10000000
--    (3.67 secs, 360441524 bytes)
--    
--    ghci> length (fst (desemparejada2 ps))
--    10000000
--    (0.38 secs, 440476764 bytes)
--    
--    ghci> length (fst (desemparejada3 ps))
--    10000000
--    (14.11 secs, 2160188668 bytes)
--    
--    ghci> length (fst (desemparejada4 ps))
--    10000000
--    (19.08 secs, 1658689692 bytes)
--    
--    ghci> length (fst (desemparejada5 ps))
--    10000000
--    (20.98 secs, 1610061796 bytes)

-- En lo que sigue, usaremos la  2º definición
desemparejada :: [(a,b)] -> ([a],[b])
desemparejada = desemparejada2

-- La primera propiedad es
prop_desemparejada_1 :: (Eq a, Eq b) => [(a,b)] -> Bool
prop_desemparejada_1 ps =
    desemparejada ps == unzip ps

-- Su comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_desemparejada_1
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- La segunda propiedad es
prop_desemparejada_2 :: (Eq a, Eq b) => [(a,b)] -> Bool
prop_desemparejada_2 ps = zip xs ys == ps
    where (xs,ys) = desemparejada ps

-- Su comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_desemparejada_2
--    +++ OK, passed 100 tests.

import Test.QuickCheck

-- 1ª definición (por comprensión):

desemparejada1 :: [(a,b)] -> ([a],[b])

desemparejada1 ps = ([x | (x,_) <- ps], [y | (_,y) <- ps])

-- 2ª definición (con map):

desemparejada2 :: [(a,b)] -> ([a],[b])

desemparejada2 ps = (map fst ps, map snd ps)

-- 3ª definición (por recursión):

desemparejada3 :: [(a,b)] -> ([a],[b])

desemparejada3 [] = ([],[])

desemparejada3 ((x,y):ps) = (x:xs,y:ys)

where (xs,ys) = desemparejada3 ps

-- 4ª definición (por plegado):

desemparejada4 :: [(a,b)] -> ([a],[b])

desemparejada4 = foldr f ([],[])

where f (x,y) (xs,ys) = (x:xs, y:ys)

-- 5ª definición (por plegado por la izquierda):

desemparejada5 :: [(a,b)] -> ([a],[b])

desemparejada5 ps = (reverse us, reverse vs)

where (us,vs) = foldl f ([],[]) ps

f (xs,ys) (x,y) = (x:xs,y:ys)

-- Comparación de eficiencia-

-- ghci> let ps = zip [1..10^7] [1..10^7]

-- ghci> length (fst (desemparejada1 ps))

-- 10000000

-- (3.67 secs, 360441524 bytes)

-- ghci> length (fst (desemparejada2 ps))

-- 10000000

-- (0.38 secs, 440476764 bytes)

-- ghci> length (fst (desemparejada3 ps))

-- 10000000

-- (14.11 secs, 2160188668 bytes)

-- ghci> length (fst (desemparejada4 ps))

-- 10000000

-- (19.08 secs, 1658689692 bytes)

-- ghci> length (fst (desemparejada5 ps))

-- 10000000

-- (20.98 secs, 1610061796 bytes)

-- En lo que sigue, usaremos la 2º definición

desemparejada :: [(a,b)] -> ([a],[b])

desemparejada = desemparejada2

-- La primera propiedad es

prop_desemparejada_1 :: (Eq a, Eq b) => [(a,b)] -> Bool

prop_desemparejada_1 ps =

desemparejada ps == unzip ps

-- Su comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_desemparejada_1

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- La segunda propiedad es

prop_desemparejada_2 :: (Eq a, Eq b) => [(a,b)] -> Bool

prop_desemparejada_2 ps = zip xs ys == ps

where (xs,ys) = desemparejada ps

-- Su comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_desemparejada_2

-- +++ OK, passed 100 tests.

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