La carrera de Collatz

Sea f la siguiente función, aplicable a cualquier número entero positivo:

  • Si el número es par, se divide entre 2.
  • Si el número es impar, se multiplica por 3 y se suma 1.

La carrera de Collatz consiste en, dada una lista de números ns, sustituir cada número n de ns por f(n) hasta que alguno sea igual a 1. Por ejemplo, la siguiente sucesión es una carrera de Collatz

En esta carrera, los ganadores son 3 y 20.

Definir la función

tal que (ganadores ns) es la lista de los ganadores de la carrera de Collatz a partir de la lista inicial ns. Por ejmplo,

Soluciones

Múltiplos repitunos

El ejercicio 4 de la Olimpiada Matemáticas de 1993 es el siguiente:

Demostrar que para todo número primo p distinto de 2 y de 5, existen infinitos múltiplos de p de la forma 1111……1 (escrito sólo con unos).

Definir la función

tal que (multiplosRepitunos p n) es la lista de los múltiplos repitunos de p (es decir, de la forma 1111…1 escrito sólo con unos), donde p es un número primo distinto de 2 y 5. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck que para todo primo p mayor que 5 y todo número entero positivo n, existe un mútiplo repituno de p mayor que n.

Soluciones

La conjetura de Levy

Hyman Levy observó que

y conjeturó que todos los número impares mayores o iguales que 7 se pueden escribir como la suma de un primo y el doble de un primo. El objetivo de los siguientes ejercicios es comprobar la conjetura de Levy.

Definir las siguientes funciones

tales que

  • (descomposicionesLevy x) es la lista de pares de primos (p,q) tales que x = p + 2q. Por ejemplo,

  • (graficaLevy n) dibuja los puntos (x,y) tales que x pertenece a [7,9..7+2x(n-1)] e y es el número de descomposiciones de Levy de x. Por ejemplo, (graficaLevy 200) dibuja
    La_conjetura_de_Levy-200

Comprobar con QuickCheck la conjetura de Levy.

Soluciones

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Suma de las sumas de los cuadrados de los divisores

La suma de las sumas de los cuadrados de los divisores de los 6 primeros números enteros positivos es

Definir la función

tal que (sumaSumasCuadradosDivisores n) es la suma de las sumas de los cuadrados de los divisores de los n primeros números enteros positivos. Por ejemplo,

Soluciones

Generación de progresiones geométricas

Definir la función

tal que (geometrica a b c) es la lista de los términos de la progresión geométrica cuyo primer término es a, su segundo término es b (que se supone que es múltiplo de a) y los términos son menores o iguales que c. Por ejemplo,

Soluciones