Números perfectos y cojonudos

Un número perfecto es un número entero positivo que es igual a la suma de sus divisores propios. Por ejemplo, el 28 es perfecto porque sus divisores propios son 1, 2, 4, 7 y 14 y 1+2+4+7+14 = 28.

Un entero positivo x es un número cojonudo si existe un n tal que n > 0, x = 2^n·(2^(n+1)-1) y 2^(n+1)-1 es primo. Por ejemplo, el 28 es cojonudo ya que para n = 2 se verifica que 2 > 0, 28 = 2^2·(2^3-1) y 2^3-1 = 7 es primo.

Definir la funciones

tales que

  • (esPerfecto x) se verifica si x es perfecto. Por ejemplo,

  • (esCojonudo x) se verifica si x es cojonudo. Por ejemplo,

  • (equivalenciaCojonudosPerfectos n) se verifica si para todos los números x menores o iguales que n se tiene que x es perfecto si, y sólo si, x es cojonudo. Por ejemplo,

Soluciones

Conjetura de Rassias

El artículo de esta semana del blog Números y hoja de cálculo está dedicado a la Conjetura de Rassias. Dicha conjetura afirma que

Para cada número primo p > 2 existen dos primos a y b, con a < b, tales que
(p-1)a = b+1

Dado un primo p > 2, los pares de Rassia de p son los pares de primos (a,b), con a < b, tales que (p-1)a = b+1. Por ejemplo, (2,7) y (3,11) son pares de Rassia de 5 ya que

  • 2 y 7 son primos, 2 < 7 y (5-1)·2 = 7+1
  • 3 y 11 son primos, 3 < 11 y (5-1)·3 = 11+1

Definir las siguientes funciones

tales que

  • (paresRassias p) es la lista de los pares de Rassias del primo p (que se supone que es mayor que 2). Por ejemplo,

  • (conjeturaRassia x) se verifica si para todos los primos menores que x (y mayores que 2) se cumple la conjetura de Rassia. Por ejemplo,

Soluciones

Referencias

2016 es un número práctico

Un entero positivo n es un número práctico si todos los enteros positivos menores que él se pueden expresar como suma de distintos divisores de n. Por ejemplo, el 12 es un número práctico, ya que todos los enteros positivos menores que 12 se pueden expresar como suma de divisores de 12 (1, 2, 3, 4 y 6) sin usar ningún divisor más de una vez en cada suma:

En cambio, 14 no es un número práctico ya que 6 no se puede escribir como suma, con sumandos distintos, de divisores de 14.

Definir la función

tal que (esPractico n) se verifica si n es un número práctico. Por ejemplo,

Soluciones

Referencias

Basado en el artículo de Gaussianos Feliz Navidad y Feliz Año (número práctico) 2016.

Otras referencias

Listas hermanadas

Una lista hermanada es una lista de números estrictamente positivos en la que cada elemento tiene algún factor primo en común con el siguiente, en caso de que exista, o alguno de los dos es un 1. Por ejemplo,

  • [2,6,3,9,1,5] es una lista hermanada pues 2 y 6 tienen un factor en común (2); 6 y 3 tienen un factor en común (3); 3 y 9 tienen un factor en común (3); de 9 y 1 uno es el número 1; y de 1 y 5 uno es el número 1.
  • [2,3,5] no es una lista hermanada pues 2 y 3 no tienen ningún factor primo en común.

Definir la función

tal que (hermanada xs) se verifica si la lista xs es hermanada según la definición anterior. Por ejemplo,

Nota: Este ejercicio es parte del examen del grupo 3 del 2 de diciembre.

Soluciones

Listas de igual longitud

Definir la función

tal que (mismaLongitud xss) se verifica si todas las listas de la lista de listas xss tienen la misma longitud. Por ejemplo,

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