all

La mayor potencia de dos no es divisor

PorJosé A. Alonso 7-enero-202014-enero-2020

Para cada número entero positivo n, se define el conjunto

   S(n) = {1, 2, 3, ..., n}

1	S(n) = {1, 2, 3, ..., n}

de los números desde el 1 hasta n.

Definir la función

   mayorPotenciaDeDosEnS :: Integer -> Integer

1	mayorPotenciaDeDosEnS :: Integer -> Integer

tal que (mayorPotenciaDeDosEnS n) es la mayor potencia de 2 en S(n). Por ejemplo,

   mayorPotenciaDeDosEnS 3  ==  2
   mayorPotenciaDeDosEnS 4  ==  4

1 2	mayorPotenciaDeDosEnS 3 == 2 mayorPotenciaDeDosEnS 4 == 4

Comprobar con QuickCheck que la mayor potencia de 2 en S(n) no divide a ningún otro elemento de S(n).

Soluciones

import Data.List (delete)
import Test.QuickCheck

mayorPotenciaDeDosEnS :: Integer -> Integer
mayorPotenciaDeDosEnS n =
  last (takeWhile (<=n) potenciasDeDos)

-- potenciasDeDos es la lista de las potencias de 2. Por ejemplo,
--    take 5 potenciasDeDos  ==  [1,2,4,8,16]
potenciasDeDos :: [Integer]
potenciasDeDos = iterate (*2) 1

-- La propiedad es
prop_mayorPotenciaDeDosEnS :: Integer -> Property
prop_mayorPotenciaDeDosEnS n =
  n > 0 ==> all (x `noDivide`) (delete x [1..n])
  where x = mayorPotenciaDeDosEnS n
        x `noDivide` y = y `mod` x /= 0

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_mayorPotenciaDeDosEnS
--    +++ OK, passed 100 tests.

import Data.List (delete)

import Test.QuickCheck

mayorPotenciaDeDosEnS :: Integer -> Integer

mayorPotenciaDeDosEnS n =

last (takeWhile (<=n) potenciasDeDos)

-- potenciasDeDos es la lista de las potencias de 2. Por ejemplo,

-- take 5 potenciasDeDos == [1,2,4,8,16]

potenciasDeDos :: [Integer]

potenciasDeDos = iterate (*2) 1

-- La propiedad es

prop_mayorPotenciaDeDosEnS :: Integer -> Property

prop_mayorPotenciaDeDosEnS n =

n > 0 ==> all (x `noDivide`) (delete x [1..n])

where x = mayorPotenciaDeDosEnS n

x `noDivide` y = y `mod` x /= 0

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_mayorPotenciaDeDosEnS

-- +++ OK, passed 100 tests.

Referencia

Basado en Greatest power of two not divisor de ProofWiki.

Pensamiento

¡Sólo tu figura,
como una centella blanca,
en mi noche oscura.

Antonio Machado

Suma de primos menores

PorJosé A. Alonso 9-diciembre-201917-diciembre-2019

La suma de los primos menores que 10 es 2 + 3 + 5 + 7 = 17.

Definir la función

   sumaPrimosMenores :: Integer -> Integer

1	sumaPrimosMenores :: Integer -> Integer

tal que (sumaPrimosMenores n) es la suma de los primos menores que n. Por ejemplo,

   sumaPrimosMenores 10        ==  17
   sumaPrimosMenores (5*10^5)  ==  9914236195

1 2	sumaPrimosMenores 10 == 17 sumaPrimosMenores (5*10^5) == 9914236195

Nota: Este ejercicio está basado en el problema 10 del Proyecto Euler

Soluciones

import Data.Numbers.Primes (primes)

-- 1ª solución
-- ===========

sumaPrimosMenores :: Integer -> Integer
sumaPrimosMenores n = sum (takeWhile (<n) primos)

-- primos es la lista de los números primos. Por ejemplo,
--    λ> take 12 primos
--    [2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37]
primos :: [Integer]
primos = 2 : filter esPrimo [3,5..]

esPrimo :: Integer -> Bool
esPrimo n = null [x | x <- [2..(ceiling . sqrt . fromIntegral) n]
                    , n `mod` x == 0]

-- 2ª solución
-- ===========

sumaPrimosMenores2 :: Integer -> Integer
sumaPrimosMenores2 n = sum (takeWhile (<n) primos2)

primos2 :: [Integer]
primos2 = 2 : filter esPrimo2 [3,5..]
 
esPrimo2 :: Integer -> Bool
esPrimo2 x =
  all ((/= 0) . mod x)
  (takeWhile (<= floor (sqrt (fromIntegral x))) primos2)

-- 3ª solución
-- ===========

sumaPrimosMenores3 :: Integer -> Integer
sumaPrimosMenores3 n = sum (takeWhile (<n) primes)

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

--    λ> sumaPrimosMenores (2*10^5)
--    1709600813
--    (2.56 secs, 1,522,015,240 bytes)
--    λ> sumaPrimosMenores2 (2*10^5)
--    1709600813
--    (0.56 secs, 376,951,456 bytes)
--    λ> sumaPrimosMenores3 (2*10^5)
--    1709600813
--    (0.07 secs, 62,321,888 bytes)

import Data.Numbers.Primes (primes)

-- 1ª solución

-- ===========

sumaPrimosMenores :: Integer -> Integer

sumaPrimosMenores n = sum (takeWhile (<n) primos)

-- primos es la lista de los números primos. Por ejemplo,

-- λ> take 12 primos

-- [2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37]

primos :: [Integer]

primos = 2 : filter esPrimo [3,5..]

esPrimo :: Integer -> Bool

esPrimo n = null [x | x <- [2..(ceiling . sqrt . fromIntegral) n]

, n `mod` x == 0]

-- 2ª solución

-- ===========

sumaPrimosMenores2 :: Integer -> Integer

sumaPrimosMenores2 n = sum (takeWhile (<n) primos2)

primos2 :: [Integer]

primos2 = 2 : filter esPrimo2 [3,5..]

esPrimo2 :: Integer -> Bool

esPrimo2 x =

all ((/= 0) . mod x)

(takeWhile (<= floor (sqrt (fromIntegral x))) primos2)

-- 3ª solución

-- ===========

sumaPrimosMenores3 :: Integer -> Integer

sumaPrimosMenores3 n = sum (takeWhile (<n) primes)

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- λ> sumaPrimosMenores (2*10^5)

-- 1709600813

-- (2.56 secs, 1,522,015,240 bytes)

-- λ> sumaPrimosMenores2 (2*10^5)

-- 1709600813

-- (0.56 secs, 376,951,456 bytes)

-- λ> sumaPrimosMenores3 (2*10^5)

-- 1709600813

-- (0.07 secs, 62,321,888 bytes)

Pensamiento

El movimiento no es nada esencial. La fuerza puede ser inmóvil (lo es en su estado de pureza); mas no por ello deja de ser activa.

Antonio Machado

Múltiplos con ceros y unos

PorJosé A. Alonso 3-diciembre-201925-marzo-2022

Se observa que todos los primeros números naturales tienen al menos un múltiplo no nulo que está formado solamente por ceros y unos. Por ejemplo, 1×10=10, 2×5=10, 3×37=111, 4×25=100, 5×2=10, 6×185=1110; 7×143=1001; 8X125=1000; 9×12345679=111111111.

Definir la función

   multiplosCon1y0 :: Integer -> [Integer]

1	multiplosCon1y0 :: Integer -> [Integer]

tal que (multiplosCon1y0 n) es la lista de los múltiplos de n cuyos dígitos son 1 ó 0. Por ejemplo,

   take 4 (multiplosCon1y0 3)      ==  [111,1011,1101,1110]
   take 3 (multiplosCon1y0 23)     ==  [110101,1011011,1101010]
   head (multiplosCon1y0 1234658)  ==  110101101101000000110

take 4 (multiplosCon1y0 3) == [111,1011,1101,1110]

take 3 (multiplosCon1y0 23) == [110101,1011011,1101010]

head (multiplosCon1y0 1234658) == 110101101101000000110

Comprobar con QuickCheck que todo entero positivo tiene algún múltiplo cuyos dígitos son 1 ó 0.

Soluciones

import Test.QuickCheck

-- 1ª definición
-- =============

multiplosCon1y0 :: Integer -> [Integer]
multiplosCon1y0 n = [x | x <- multiplos n
                       , todos1y0 x]

-- (multiplos n) es la lista de los múltiplos de n. Por ejemplo, 
--    take 12 (multiplos 5)  ==  [5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60]
multiplos :: Integer -> [Integer]
multiplos n = [n,2*n..]

-- (todos1y0 n) se verifica si todos los dígitos de n son el 1 o el
-- 0. Por ejmplo,
--    todos1y0 1101110  ==  True
--    todos1y0 1102110  ==  False
todos1y0 :: Integer -> Bool
todos1y0 n = all (`elem` "01") (show n)

-- 2ª definición
-- =============
    
multiplosCon1y0b :: Integer -> [Integer] 
multiplosCon1y0b n = 
    [x | x <- numerosCon1y0
       , x `rem` n == 0] 

-- numerosCon1y0 es la lista de los números cuyos dígitos son 1 ó 0. Por
-- ejemplo,  
--    ghci> take 15 numerosCon1y0
--    [1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011,1100,1101,1110,1111]
numerosCon1y0 :: [Integer]
numerosCon1y0 = 1 : concat [[10*x,10*x+1] | x <- numerosCon1y0]

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

--    λ> head (multiplosCon1y0 9)
--    111111111
--    (7.70 secs, 10,853,320,456 bytes)
--    λ> head (multiplosCon1y0b 9)
--    111111111
--    (0.01 secs, 167,992 bytes)
                        
-- Comprobación de la propiedad
-- ============================
                        
-- La propiedad es
prop_existe_multiplosCon1y0 :: Integer -> Property
prop_existe_multiplosCon1y0 n = 
    n > 0 ==> (not . null) (multiplosCon1y0b n)

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_existe_multiplosCon1y0
--    +++ OK, passed 100 tests.

import Test.QuickCheck

-- 1ª definición

-- =============

multiplosCon1y0 :: Integer -> [Integer]

multiplosCon1y0 n = [x | x <- multiplos n

, todos1y0 x]

-- (multiplos n) es la lista de los múltiplos de n. Por ejemplo,

-- take 12 (multiplos 5) == [5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60]

multiplos :: Integer -> [Integer]

multiplos n = [n,2*n..]

-- (todos1y0 n) se verifica si todos los dígitos de n son el 1 o el

-- 0. Por ejmplo,

-- todos1y0 1101110 == True

-- todos1y0 1102110 == False

todos1y0 :: Integer -> Bool

todos1y0 n = all (`elem` "01") (show n)

-- 2ª definición

-- =============

multiplosCon1y0b :: Integer -> [Integer]

multiplosCon1y0b n =

[x | x <- numerosCon1y0

, x `rem` n == 0]

-- numerosCon1y0 es la lista de los números cuyos dígitos son 1 ó 0. Por

-- ejemplo,

-- ghci> take 15 numerosCon1y0

-- [1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011,1100,1101,1110,1111]

numerosCon1y0 :: [Integer]

numerosCon1y0 = 1 : concat [[10*x,10*x+1] | x <- numerosCon1y0]

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- λ> head (multiplosCon1y0 9)

-- 111111111

-- (7.70 secs, 10,853,320,456 bytes)

-- λ> head (multiplosCon1y0b 9)

-- 111111111

-- (0.01 secs, 167,992 bytes)

-- Comprobación de la propiedad

-- ============================

-- La propiedad es

prop_existe_multiplosCon1y0 :: Integer -> Property

prop_existe_multiplosCon1y0 n =

n > 0 ==> (not . null) (multiplosCon1y0b n)

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_existe_multiplosCon1y0

-- +++ OK, passed 100 tests.

Pensamiento

Huye del triste amor, amor pacato,
sin peligro, sin venda ni aventura,
que espera del amor prenda segura,
porque en amor locura es lo sensato.

Antonio Machado

Matriz dodecafónica

PorJosé A. Alonso 10-abril-201925-abril-2019

Como se explica en Create a Twelve-Tone Melody With a Twelve-Tone Matrix una matriz dodecafónica es una matriz de 12 filas y 12 columnas construidas siguiendo los siguientes pasos:

Se escribe en la primera fila una permutación de los números del 1 al 12. Por ejemplo,

     (  3  1  9  5  4  6  8  7 12 10 11  2 )
     (                                     )
     (                                     )
     (                                     )
     (                                     )
     (                                     )
     (                                     )
     (                                     )
     (                                     )
     (                                     )
     (                                     )
     (                                     )

( 3 1 9 5 4 6 8 7 12 10 11 2 )

( )

Escribir la primera columna de forma que, para todo i (entre 2 y 12), a(i,1) es el número entre 1 y 12 que verifica la siguiente condición

     (a(1,1) - a(i,1)) = (a(1,i) - a(1,1)) (módulo 12)

1	(a(1,1) - a(i,1)) = (a(1,i) - a(1,1)) (módulo 12)

Siguiendo con el ejemplo anterior, la matriz con la 1ª fila y la 1ª columna es

     (  3  1  9  5  4  6  8  7 12 10 11  2 )
     (  5                                  )
     (  9                                  )
     (  1                                  )
     (  2                                  )
     ( 12                                  )
     ( 10                                  )
     ( 11                                  )
     (  6                                  )
     (  8                                  )
     (  7                                  )
     (  4                                  )

( 3 1 9 5 4 6 8 7 12 10 11 2 )

( 5 )

( 9 )

( 1 )

( 2 )

( 12 )

( 10 )

( 11 )

( 6 )

( 8 )

( 7 )

( 4 )

Escribir la segunda fila de forma que, para todo j (entre 2 y 12), a(j,2) es el número entre 1 y 12 que verifica la siguiente condición

     (a(2,j) - a(1,j)) = (a(2,1) - a(1,1)) (módulo 12)

1	(a(2,j) - a(1,j)) = (a(2,1) - a(1,1)) (módulo 12)

Siguiendo con el ejemplo anterior, la matriz con la 1ª fila, 1ª columna y 2ª fila es

     (  3  1  9  5  4  6  8  7 12 10 11  2 )
     (  5  3 11  7  6  8 10  9  2 12  1  4 )
     (  9                                  )
     (  1                                  )
     (  2                                  )
     ( 12                                  )
     ( 10                                  )
     ( 11                                  )
     (  6                                  )
     (  8                                  )
     (  7                                  )
     (  4                                  )

( 3 1 9 5 4 6 8 7 12 10 11 2 )

( 5 3 11 7 6 8 10 9 2 12 1 4 )

( 9 )

( 1 )

( 2 )

( 12 )

( 10 )

( 11 )

( 6 )

( 8 )

( 7 )

( 4 )

Las restantes filas se completan como la 2ª; es decir, para todo i (entre 3 y 12) y todo j (entre 2 y 12), a(i,j) es el número entre 1 y 12 que verifica la siguiente relación.

     (a(i,j) - a(1,j)) = (a(i,1) - a(1,1)) (módulo 12)

1	(a(i,j) - a(1,j)) = (a(i,1) - a(1,1)) (módulo 12)

Siguiendo con el ejemplo anterior, la matriz dodecafónica es

     (  3  1  9  5  4  6  8  7 12 10 11  2 )
     (  5  3 11  7  6  8 10  9  2 12  1  4 )
     (  9  7  3 11 10 12  2  1  6  4  5  8 )
     (  1 11  7  3  2  4  6  5 10  8  9 12 )
     (  2 12  8  4  3  5  7  6 11  9 10  1 )
     ( 12 10  6  2  1  3  5  4  9  7  8 11 )
     ( 10  8  4 12 11  1  3  2  7  5  6  9 )
     ( 11  9  5  1 12  2  4  3  8  6  7 10 )
     (  6  4 12  8  7  9 11 10  3  1  2  5 )
     (  8  6  2 10  9 11  1 12  5  3  4  7 )
     (  7  5  1  9  8 10 12 11  4  2  3  6 )
     (  4  2 10  6  5  7  9  8  1 11 12  3 )

( 3 1 9 5 4 6 8 7 12 10 11 2 )

( 5 3 11 7 6 8 10 9 2 12 1 4 )

( 9 7 3 11 10 12 2 1 6 4 5 8 )

( 1 11 7 3 2 4 6 5 10 8 9 12 )

( 2 12 8 4 3 5 7 6 11 9 10 1 )

( 12 10 6 2 1 3 5 4 9 7 8 11 )

( 10 8 4 12 11 1 3 2 7 5 6 9 )

( 11 9 5 1 12 2 4 3 8 6 7 10 )

( 6 4 12 8 7 9 11 10 3 1 2 5 )

( 8 6 2 10 9 11 1 12 5 3 4 7 )

( 7 5 1 9 8 10 12 11 4 2 3 6 )

( 4 2 10 6 5 7 9 8 1 11 12 3 )

Definir la función

   matrizDodecafonica :: [Int] -> Matrix Int

1	matrizDodecafonica :: [Int] -> Matrix Int

tal que (matrizDodecafonica xs) es la matriz dodecafónica cuya primera fila es xs (que se supone que es una permutación de los números del 1 al 12). Por ejemplo,

   λ> matrizDodecafonica [3,1,9,5,4,6,8,7,12,10,11,2]
   (  3  1  9  5  4  6  8  7 12 10 11  2 )
   (  5  3 11  7  6  8 10  9  2 12  1  4 )
   (  9  7  3 11 10 12  2  1  6  4  5  8 )
   (  1 11  7  3  2  4  6  5 10  8  9 12 )
   (  2 12  8  4  3  5  7  6 11  9 10  1 )
   ( 12 10  6  2  1  3  5  4  9  7  8 11 )
   ( 10  8  4 12 11  1  3  2  7  5  6  9 )
   ( 11  9  5  1 12  2  4  3  8  6  7 10 )
   (  6  4 12  8  7  9 11 10  3  1  2  5 )
   (  8  6  2 10  9 11  1 12  5  3  4  7 )
   (  7  5  1  9  8 10 12 11  4  2  3  6 )
   (  4  2 10  6  5  7  9  8  1 11 12  3 )

λ> matrizDodecafonica [3,1,9,5,4,6,8,7,12,10,11,2]

( 3 1 9 5 4 6 8 7 12 10 11 2 )

( 5 3 11 7 6 8 10 9 2 12 1 4 )

( 9 7 3 11 10 12 2 1 6 4 5 8 )

( 1 11 7 3 2 4 6 5 10 8 9 12 )

( 2 12 8 4 3 5 7 6 11 9 10 1 )

( 12 10 6 2 1 3 5 4 9 7 8 11 )

( 10 8 4 12 11 1 3 2 7 5 6 9 )

( 11 9 5 1 12 2 4 3 8 6 7 10 )

( 6 4 12 8 7 9 11 10 3 1 2 5 )

( 8 6 2 10 9 11 1 12 5 3 4 7 )

( 7 5 1 9 8 10 12 11 4 2 3 6 )

( 4 2 10 6 5 7 9 8 1 11 12 3 )

Comprobar con QuickCheck para toda matriz dodecafónica D se verifican las siguientes propiedades:

todas las filas de D son permutaciones de los números 1 a 12,
todos los elementos de la diagonal de D son iguales y
la suma de todos los elementos de D es 936.

Nota: Este ejercicio ha sido propuesto por Francisco J. Hidalgo.

Soluciones

import Data.List
import Test.QuickCheck
import Data.Matrix

-- 1ª solución
-- ===========

matrizDodecafonica :: [Int] -> Matrix Int
matrizDodecafonica xs = matrix 12 12 f
  where f (1,j) = xs !! (j-1)
        f (i,1) = modulo12 (2 * f (1,1) - f (1,i)) 
        f (i,j) = modulo12 (f (1,j) + f (i,1) - f (1,1)) 
        modulo12 0  = 12
        modulo12 12 = 12
        modulo12 x  = x `mod` 12
  
-- 2ª solución
-- ===========

matrizDodecafonica2 :: [Int] -> Matrix Int
matrizDodecafonica2 xs = fromLists (secuencias xs)

secuencias :: [Int] -> [[Int]]
secuencias xs = [secuencia a xs | a <- inversa xs]

inversa :: [Int] -> [Int]
inversa xs = map conv (map (\x -> (-x) + 2* (abs a)) xs)
  where a = head xs
        
secuencia :: Int -> [Int] -> [Int]
secuencia n xs = [conv (a+(n-b)) | a <- xs] 
  where b = head xs

conv :: Int -> Int
conv n | n == 0 = 12
       | n < 0 = conv (n+12)
       | n > 11 = conv (mod n 12)
       | otherwise = n          

-- Propiedades
-- ===========

-- Las propiedades son
prop_dodecafonica :: Int -> Property
prop_dodecafonica n = 
  n >= 0 ==>
  all esPermutacion (toLists d)
  && all (== d!(1,1)) [d!(i,i) | i <- [2..12]]
  && sum d == 936
  where xss = permutations [1..12]
        k   = n `mod` product [1..12]
        d   = matrizDodecafonica (xss !! k)
        esPermutacion ys = sort ys == [1..12]

-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_dodecafonica
--    +++ OK, passed 100 tests.

import Data.List

import Test.QuickCheck

import Data.Matrix

-- 1ª solución

-- ===========

matrizDodecafonica :: [Int] -> Matrix Int

matrizDodecafonica xs = matrix 12 12 f

where f (1,j) = xs !! (j-1)

f (i,1) = modulo12 (2 * f (1,1) - f (1,i))

f (i,j) = modulo12 (f (1,j) + f (i,1) - f (1,1))

modulo12 0 = 12

modulo12 12 = 12

modulo12 x = x `mod` 12

-- 2ª solución

-- ===========

matrizDodecafonica2 :: [Int] -> Matrix Int

matrizDodecafonica2 xs = fromLists (secuencias xs)

secuencias :: [Int] -> [[Int]]

secuencias xs = [secuencia a xs | a <- inversa xs]

inversa :: [Int] -> [Int]

inversa xs = map conv (map (\x -> (-x) + 2* (abs a)) xs)

where a = head xs

secuencia :: Int -> [Int] -> [Int]

secuencia n xs = [conv (a+(n-b)) | a <- xs]

where b = head xs

conv :: Int -> Int

conv n | n == 0 = 12

| n < 0 = conv (n+12)

| n > 11 = conv (mod n 12)

| otherwise = n

-- Propiedades

-- ===========

-- Las propiedades son

prop_dodecafonica :: Int -> Property

prop_dodecafonica n =

n >= 0 ==>

all esPermutacion (toLists d)

&& all (== d!(1,1)) [d!(i,i) | i <- [2..12]]

&& sum d == 936

where xss = permutations [1..12]

k = n `mod` product [1..12]

d = matrizDodecafonica (xss !! k)

esPermutacion ys = sort ys == [1..12]

-- La comprobación es

-- λ> quickCheck prop_dodecafonica

-- +++ OK, passed 100 tests.

Pensamiento

Como el olivar,
mucho fruto lleva,
poca sombra da.

Antonio Machado

Números en una cadena

PorJosé A. Alonso 8-abril-201923-abril-2019

Definir la función

   numeros :: String -> [Int]

1	numeros :: String -> [Int]

tal que (numeros cs) es la lista de los números enteros no negativos de la cadena cs. Por ejemplo,

   λ> numeros "Esta cadena tiene 3 numeros: el 16 y el 2019 solamente." 
   [3,16,2019]
   λ> numeros "Esta cadena tiene 3 numeros naturales: -2 más 2 es 0" 
   [3,2,0]
   λ> numeros "Esta cadena tiene 1 numero natural: 2.5 no es entereo" 
   [1]

λ> numeros "Esta cadena tiene 3 numeros: el 16 y el 2019 solamente."

[3,16,2019]

λ> numeros "Esta cadena tiene 3 numeros naturales: -2 más 2 es 0"

[3,2,0]

λ> numeros "Esta cadena tiene 1 numero natural: 2.5 no es entereo"

[1]

Soluciones

import Data.Char  (isDigit)

-- 1ª definición
-- =============

numeros :: String -> [Int]
numeros cs = map read (filter esNumero (words cs))

-- (esNumero cs) se verifica si la cadena no vacía cs representa
-- un número entero. Por ejemplo,
--    esNumero "2019"  ==  True
--    esNumero "20.9"  ==  False
--    esNumero "201a"  ==  False
esNumero :: String -> Bool
esNumero = all (`elem` ['0'..'9'])

-- 2ª solución
-- ===========

numeros2 :: String -> [Int]
numeros2 cs = map read (filter (all isDigit) (words cs))

-- 3ª solución
-- ===========

numeros3 :: String -> [Int]
numeros3 = map read . filter (all isDigit) . words

import Data.Char (isDigit)

-- 1ª definición

-- =============

numeros :: String -> [Int]

numeros cs = map read (filter esNumero (words cs))

-- (esNumero cs) se verifica si la cadena no vacía cs representa

-- un número entero. Por ejemplo,

-- esNumero "2019" == True

-- esNumero "20.9" == False

-- esNumero "201a" == False

esNumero :: String -> Bool

esNumero = all (`elem` ['0'..'9'])

-- 2ª solución

-- ===========

numeros2 :: String -> [Int]

numeros2 cs = map read (filter (all isDigit) (words cs))

-- 3ª solución

-- ===========

numeros3 :: String -> [Int]

numeros3 = map read . filter (all isDigit) . words

Pensamiento

Tu profecía, poeta.
— Mañana hablarán los mudos:
el corazón y la piedra.

Antonio Machado

La mayor potencia de dos no es divisor

Soluciones

Referencia

Pensamiento

Suma de primos menores

Soluciones

Pensamiento

Múltiplos con ceros y unos

Soluciones

Pensamiento

Matriz dodecafónica

Soluciones

Pensamiento

Números en una cadena

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Pensamiento

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