Números compuestos por un conjunto de primos

Los números compuestos por un conjunto de primos son los números cuyos factores primos pertenecen al conjunto. Por ejemplo, los primeros números compuestos por [2,5,7] son

El 28 es compuesto ya que sus divisores primos son 2 y 7 que están en [2,5,7].

Definir la función

tal que (compuesto ps) es la lista de los números compuestos por el conjunto de primos ps. Por ejemplo,

Soluciones

Números superpares

Definir la función

tal que (superpar n) se verifica si n es un número par tal que todos sus dígitos son pares. Por ejemplo,

Soluciones

La conjetura de Gilbreath

Partiendo de los 5 primeros números primos y calculando el valor absoluto de la diferencia de cada dos números consecutivos hasta quedarse con un único número se obtiene la siguiente tabla:

Se observa que todas las filas, salvo la inicial, comienzan con el número 1.

Repitiendo el proceso pero empezando con los 8 primeros números primos se obtiene la siguiente tabla:

Se observa que, de nuevo, todas las filas, salvo la inicial, comienza con el número 1.

La conjetura de Gilbreath afirma que si escribimos la sucesión de números primos completa y después construimos las correspondientes sucesiones formadas por el valor absoluto de la resta de cada pareja de números consecutivos, entonces todas esas filas que obtenemos comienzan siempre por 1.

El objetivo de este ejercicio es comprobar experimentalmente dicha conjetura.

Para la representación, usaremos la simétrica de la que hemos comentado anteriormente; es decir,

en la que la primera columna son los números primos y el elemento de la fila i y columna j (con i, j > 1) es el valor absoluto de la diferencia de los elementos (i,j-1) e (i-1,j-1).

Definir las siguientes funciones

tales que

  • (siguiente x ys) es la línea siguiente de la ys que empieza por x en la tabla de Gilbreath; es decir, si ys es [y1,y2,…,yn], entonces (siguiente x ys) es [x,|y1-x|,|y2-|y1-x||,…] Por ejemplo,

  • triangulo es el triángulo de Gilbreath. Por ejemplo,

  • (conjeturaGilbreath n) se verifica si se cumple la conjetura de Gilbreath para los n primeros números primos; es decir, en el triángulo de Gilbreath cuya primera columna son los n primeros números primos, todas las filas a partir de la segunda terminan en 1. Por ejemplo,

Soluciones

Árboles binarios completos

Un árbol binario completo es un árbol en el que cada nodo tiene cero o dos hijos. Por ejemplo, el primero de los siguientes árboles es un árbol binario completo pero los otros no lo son

Los árboles se pueden representar mediante el siguiente tipo de datos

Por ejemplo, los árboles los árboles anteriores se puede representar por

Definir la función

tal que (esBinarioCompleto a) se verifica si a es un árbol binario completo. Por ejemplo,

Soluciones

Relaciones arbóreas

Como se explica en el ejercicio Relación definida por un árbol, cada árbol binario define una relación binaria donde un elemento x está relacionado con y si x es el padre de y.

Una relación binaria es arbórea si

  • hay exactamente un elemento que no tiene ningún (la raíz del árbol) y
  • todos los elementos tienen dos hijos (los nodos internos) o ninguno (las hojas del árbol).

Definir la función

tal que (arborea r) se verifica si la relación r es arbórea. Por ejemplo,

Soluciones