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Suma de los elementos de las diagonales de las matrices espirales

José A. Alonso,

Empezando con el número 1 y moviéndose en el sentido de las agujas del reloj se obtienen las matrices espirales

   |1 2|   |7 8 9|   | 7  8  9 10|   |21 22 23 24 25|
   |4 3|   |6 1 2|   | 6  1  2 11|   |20  7  8  9 10|
           |5 4 3|   | 5  4  3 12|   |19  6  1  2 11|
                     |16 15 14 13|   |18  5  4  3 12|
                                     |17 16 15 14 13|

La suma los elementos de sus diagonales es

   + en la 2x2: 1+3+2+4               =  10
   + en la 3x3: 1+3+5+7+9             =  25
   + en la 4x4: 1+2+3+4+7+10+13+16    =  56
   + en la 5x5: 1+3+5+7+9+13+17+21+25 = 101

Definir la función

   sumaDiagonales :: Integer -> Integer

tal que (sumaDiagonales n) es la suma de los elementos en las diagonales de la matriz espiral de orden nxn. Por ejemplo.

   sumaDiagonales 1         ==  1
   sumaDiagonales 2         ==  10
   sumaDiagonales 3         ==  25
   sumaDiagonales 4         ==  56
   sumaDiagonales 5         ==  101
   sumaDiagonales (10^6)    ==  666667166668000000
   sumaDiagonales (1+10^6)  ==  666669166671000001
 
   sumaDiagonales (10^2)  ==         671800
   sumaDiagonales (10^3)  ==        667168000
   sumaDiagonales (10^4)  ==       666716680000
   sumaDiagonales (10^5)  ==      666671666800000
   sumaDiagonales (10^6)  ==     666667166668000000
   sumaDiagonales (10^7)  ==    666666716666680000000
   sumaDiagonales (10^8)  ==   666666671666666800000000
   sumaDiagonales (10^9)  ==  666666667166666668000000000
 
   length (show (sumaDiagonales (10^(10^4))))  == 30000
   length (show (sumaDiagonales (10^(10^5))))  == 300000
   length (show (sumaDiagonales (10^(10^6))))  == 3000000

Comprobar con QuickCheck que el último dígito de (sumaDiagonales n) es 0, 4 ó 6 si n es par y es 1, 5 ó 7 en caso contrario.

Soluciones

import Test.QuickCheck
 
-- 1ª solución
-- ===========
 
sumaDiagonales :: Integer -> Integer
sumaDiagonales = sum . elementosEnDiagonales
 
-- (elementosEnDiagonales n) es la lista de los elementos en las
-- diagonales de la matriz espiral de orden nxn. Por ejemplo,
--    elementosEnDiagonales 1  ==  [1]
--    elementosEnDiagonales 2  ==  [1,2,3,4]
--    elementosEnDiagonales 3  ==  [1,3,5,7,9]
--    elementosEnDiagonales 4  ==  [1,2,3,4,7,10,13,16]
--    elementosEnDiagonales 5  ==  [1,3,5,7,9,13,17,21,25]
elementosEnDiagonales :: Integer -> [Integer]
elementosEnDiagonales n 
  | even n    = tail (scanl (+) 0 (concatMap (replicate 4) [1,3..n-1]))
  | otherwise = scanl (+) 1 (concatMap (replicate 4) [2,4..n-1])
 
-- 2ª solución
-- ===========
 
sumaDiagonales2 :: Integer -> Integer
sumaDiagonales2 n
  | even n    = (-1) + n `div` 2 + sum [2*k^2-k+1 | k <- [0..n]]
  | otherwise = 1 + sum [4*k^2-6*k+6 | k <- [3,5..n]]
 
-- 3ª solución
-- ===========
 
sumaDiagonales3 :: Integer -> Integer
sumaDiagonales3 n
  | even n    = n * (4*n^2 + 3*n + 8) `div` 6
  | otherwise = (4*n^3 + 3*n^2 + 8*n - 9) `div` 6
 
-- Equivalencia de las definiciones
-- ================================
 
-- La propiedad es
prop_sumaDiagonales_equiv :: (Positive Integer) -> Bool
prop_sumaDiagonales_equiv (Positive n) =
  all (== sumaDiagonales n) [ sumaDiagonales2 n 
                            , sumaDiagonales3 n]
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_sumaDiagonales_equiv
--    +++ OK, passed 100 tests.
 
-- Comparación de eficiencia
-- =========================
 
-- La comparación es
--    λ> sumaDiagonales (2*10^6)
--    5333335333336000000
--    (2.30 secs, 1,521,955,848 bytes)
--    λ> sumaDiagonales2 (2*10^6)
--    5333335333336000000
--    (2.77 secs, 1,971,411,440 bytes)
--    λ> sumaDiagonales3 (2*10^6)
--    5333335333336000000
--    (0.01 secs, 139,520 bytes)
 
-- Propiedad
-- =========
 
-- La propiedad es
prop_sumaDiagonales :: (Positive Integer) -> Bool
prop_sumaDiagonales (Positive n) 
  | even n    = x `elem` [0,4,6] 
  | otherwise = x `elem` [1,5,7] 
  where x = sumaDiagonales n `mod` 10
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_sumaDiagonales
--    +++ OK, passed 100 tests.

Pensamiento

Sobre el olivar,
se vio al la lechuza
volar y volar.
Campo, campo, campo.
Entre los olivos,
los cortijos blancos.

Antonio Machado

, , , , , , , , , ,

3 soluciones de “Suma de los elementos de las diagonales de las matrices espirales”

  1. Responder
    frahidzam 
    diagPrin n = div (n^3+2*n) 3
diagSec n | even n = sum [a^2 + mod a 2 | a <- [1..n]]
          | otherwise = sum [f a | a <- [0..n-1]]
 
f :: Integer -> Integer
f n | even n = (n+1)^2
    | otherwise = (n+1)^2 + 1
 
sumaDiagonales :: Integer -> Integer
sumaDiagonales n | even n = a
                 | otherwise = a-1
    where a = diagPrin n + diagSec n
 
prop_diag n = n > 0 ==> if even n then elem b [0,4,6] else elem b [1,5,7]
 where b = last (digitosG (sumaDiagonales n))
  2. Responder
    adogargon 
    import Data.Array
 
import Test.QuickCheck
 
sumaDiagonales :: Integer -> Integer
sumaDiagonales n = v!n
        where v = array (1,n) [(i,f i) | i <- [1..n]]
              f 1 = 1
              f 2 = 10
              f k = v!(k-2) + sum [k^2-(k-1)*t | t <- [0..3]]
 
 
prop_diagonales :: Positive Integer -> Bool
prop_diagonales (Positive n) | even n = elem x ['0','4','6']
                             | otherwise = elem x ['1','5','7']
                               where x = (last.show.sumaDiagonales) n
 
λ> quickCheck prop_diagonales
+++ OK, passed 100 tests.
  3. Responder
    luipromor 
    sumaDiagonales :: Integer -> Integer
sumaDiagonales n = mod (n^(n+1)) (n+1) + (div n 2)^2*(6-4*(-1)^n) + div (16*(div n 2)^3 + (14-12*(-1)^n)*(div n 2)) 3
 
prop_sumaDiagonales n | even n = elem y "046"
                      |otherwise = elem y "175"
                        where y = last $ show $ sumaDiagonales $ abs n

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