Paridad del número de divisores

Definir la función

tal que (nDivisoresPar n) se verifica si n tiene un número par de divisores. Por ejemplo,

Soluciones

Solución en Maxima

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  1. Sabemos que si d es un divisor de n, n/d también lo será, luego los divisores pueden agruparse por pares cuyo producto es n. La única posibilidad, por tanto, de que n tenga un número impar de divisores es que exista un d divisor de n tal que d sea igual a n/d. Pero en ese caso se tiene n = d^2, de donde se deduce que n ha de ser cuadrado perfecto (nótese que a lo sumo puede haber uno, pues de lo contrario tendríamos que n es el cuadrado de dos números positivos distintos, lo cual es imposible).
    Sin embargo, buscar el número en la lista de cuadrados perfectos tampoco es mucho más eficiente. Pero si nos fijamos, un cuadrado perfecto se distingue del resto de números porque los exponentes de su factorización como producto de primos son todos pares. Luego si hay algún exponente impar en su factorización, automáticamente tendrá un número par de divisores. Por tanto:

  2. En esta definición se usa la siguiente propiedad: el número de divisores de un determinado número n se corresponde con la multiplicación de los exponentes de los factores primos de su factorización, sumando uno a todos estos exponentes. Por ejemplo:

    • Factorización de 100 = 2²5²
    • Cantidad de divisores de 100 = (2+1)*(2+1) = 9

    Efectivamente, los divisores de 100 son [1,2,4,5,10,20,25,50,100].

  3. Traducción en Maxima

    1. Pequeña mejora en la eficiencia que hace la función en Maxima algo así como perezosa

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