Exercitium

Mayor resto

PorJosé A. Alonso 26-octubre-20152-noviembre-2015

El resultado de dividir un número n por un divisor d es un cociente q y un resto r.

Definir la función

   mayorResto :: Int -> Int -> (Int,[Int])

1	mayorResto :: Int -> Int -> (Int,[Int])

tal que (mayorResto n d) es el par (m,xs) tal que m es el mayor resto de dividir n entre x (con 1 ≤ x < d) y xs es la lista de números x menores que d tales que el resto de n entre x es m. Por ejemplo,

   mayorResto 20 10  ==  (6,[7])
   mayorResto 50 8   ==  (2,[3,4,6])

1 2	mayorResto 20 10 == (6,[7]) mayorResto 50 8 == (2,[3,4,6])

Nota: Se supone que d es mayor que 1.

Soluciones

mayorResto :: Int -> Int -> (Int,[Int])
mayorResto n d = (m, [x | x <- [1..d-1], n `rem` x == m])
    where m = maximum [n `rem` x | x <- [1..d-1]]

mayorResto :: Int -> Int -> (Int,[Int])

mayorResto n d = (m, [x | x <- [1..d-1], n `rem` x == m])

where m = maximum [n `rem` x | x <- [1..d-1]]

Referencia

El ejercio está basado en el problema Largest possible remainder publicado el 16 de octubre de 2015 en «Programming paraxis».

Entero positivo con ciertas propiedades

PorJosé A. Alonso 23-octubre-201530-octubre-2015

El 6 de octubre, se propuso en el blog Gaussianos el siguiente problema

Demostrar que para todo entero positivo n, existe otro entero positivo que tiene las siguientes propiedades:

Tiene exactamente n dígitos.

Ninguno de sus dígitos es 0.

Es divisible por la suma de sus dígitos.

Definir la función

   especiales :: Integer -> [Integer]

1	especiales :: Integer -> [Integer]

tal que (especiales n) es la lista de los números enteros que cumplen las 3 propiedades anteriores para n. Por ejemplo,

   take 3 (especiales 2)  ==  [12,18,21]
   take 3 (especiales 3)  ==  [111,112,114]
   head (especiales 30)   ==  111111111111111111111111111125
   length (especiales 3)  ==  108
   null (especiales 1000) ==  False

take 3 (especiales 2) == [12,18,21]

take 3 (especiales 3) == [111,112,114]

head (especiales 30) == 111111111111111111111111111125

length (especiales 3) == 108

null (especiales 1000) == False

En el primer ejemplo, 12 es un número especial para 2 ya que tiene exactamente 2 dígitos, ninguno de sus dígitos es 0 y 12 es divisible por la suma de sus dígitos.

Soluciones

especiales :: Integer -> [Integer]
especiales n = [x | x <- [(10^n-1) `div` 9..10^n-1]
                  , esEspecial x]

esEspecial :: Integer -> Bool
esEspecial x = 
    notElem 0 digitos &&
    x `mod` sum digitos == 0        
    where digitos = [read [d] | d <- show x]

especiales :: Integer -> [Integer]

especiales n = [x | x <- [(10^n-1) `div` 9..10^n-1]

, esEspecial x]

esEspecial :: Integer -> Bool

esEspecial x =

notElem 0 digitos &&

x `mod` sum digitos == 0

where digitos = [read [d] | d <- show x]

Centro de masas

PorJosé A. Alonso 22-octubre-201529-octubre-2015

El centro de masas de un sistema discreto es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema.

Representamos un conjunto de n masas en el plano mediante una lista de n pares de la forma ((a(i),b(i)),m(i)) donde (a(i),b(i)) es la posición y m(i) la masa puntual. Las coordenadas del centro de masas (a,b) se calculan por

   a = (a(1)*m(1) + a(2)*m(2) + ... + a(n)*m(n)) / (m(1) + m(2) +...+ m(n))
   b = (b(1)*m(1) + b(2)*m(2) + ... + b(n)*m(n)) / (m(1) + m(2) +...+ m(n))

1 2	a = (a(1)m(1) + a(2)m(2) + ... + a(n)m(n)) / (m(1) + m(2) +...+ m(n)) b = (b(1)m(1) + b(2)m(2) + ... + b(n)m(n)) / (m(1) + m(2) +...+ m(n))

Definir la función

   centrodeMasas :: [((Float,Float),Float)] -> (Float,Float)

1	centrodeMasas :: [((Float,Float),Float)] -> (Float,Float)

tal que (centrodeMasas xs) es las coordenadas del centro
de masas del sistema discreto xs. Por ejemplo:

   centrodeMasas [((-1,3),2),((0,0),5),((1,3),3)] == (0.1,1.5)

1	centrodeMasas [((-1,3),2),((0,0),5),((1,3),3)] == (0.1,1.5)

Soluciones

-- 1ª definición (por comprensión):
centrodeMasas :: [((Float,Float),Float)] -> (Float,Float) 
centrodeMasas xs = 
    (sum [a*m | ((a,_),m) <- xs] / t,
     sum [b*m | ((_,b),m) <- xs] / t)
    where t = sum [m | (_,m) <- xs]

-- 2ª definición (por recursión):
centrodeMasas2 :: [((Float,Float),Float)] -> (Float,Float)
centrodeMasas2 xs = aux xs (0,0,0)
    where aux [] (as,bs,ms)             = (as/ms, bs/ms)
          aux (((a,b),m):ys) (as,bs,ms) = aux ys (as+a*m,bs+b*m,ms+m)

-- 1ª definición (por comprensión):

centrodeMasas :: [((Float,Float),Float)] -> (Float,Float)

centrodeMasas xs =

(sum [a*m | ((a,_),m) <- xs] / t,

sum [b*m | ((_,b),m) <- xs] / t)

where t = sum [m | (_,m) <- xs]

-- 2ª definición (por recursión):

centrodeMasas2 :: [((Float,Float),Float)] -> (Float,Float)

centrodeMasas2 xs = aux xs (0,0,0)

where aux [] (as,bs,ms) = (as/ms, bs/ms)

aux (((a,b),m):ys) (as,bs,ms) = aux ys (as+a*m,bs+b*m,ms+m)

Refinamiento de listas

PorJosé A. Alonso 21-octubre-201528-octubre-2015

Definir la función

   refinada :: [Float] -> [Float]

1	refinada :: [Float] -> [Float]

tal que (refinada xs) es la lista obtenida intercalando entre cada dos elementos consecutivos de xs su media aritmética. Por ejemplo,

   refinada [2,7,1,8]  ==  [2.0,4.5,7.0,4.0,1.0,4.5,8.0]
   refinada [2]        ==  [2.0]
   refinada []         ==  []

refinada [2,7,1,8] == [2.0,4.5,7.0,4.0,1.0,4.5,8.0]

refinada [2] == [2.0]

refinada [] == []

Soluciones

-- 1ª definición (por recursión):
refinada :: [Float] -> [Float]
refinada (x:y:zs) = x : (x+y)/2 : refinada (y:zs)
refinada xs       = xs

-- 2ª definición (por comprensión);
refinada2 :: [Float] -> [Float]
refinada2 []     = []
refinada2 (x:xs) = x : concat [[(a+b)/2,b] | (a,b) <- zip (x:xs) xs]

-- 1ª definición (por recursión):

refinada :: [Float] -> [Float]

refinada (x:y:zs) = x : (x+y)/2 : refinada (y:zs)

refinada xs = xs

-- 2ª definición (por comprensión);

refinada2 :: [Float] -> [Float]

refinada2 [] = []

refinada2 (x:xs) = x : concat [[(a+b)/2,b] | (a,b) <- zip (x:xs) xs]

Pandigitales tridivisibles

PorJosé A. Alonso 26-junio-201528-octubre-2015

El número 4106357289 tiene la siguientes dos propiedades:

es pandigital, porque tiene todos los dígitos del 0 al 9 exactamente una vez y
es tridivisible, porque los sucesivos subnúmeros de tres dígitos (a partir del segundo) son divisibles por los sucesivos números primos; es decir, representado por d(i) el i-ésimo dígito, se tiene

     d(2)d(3)d(4)  = 106 es divisible por 2
     d(3)d(4)d(5)  = 063 es divisible por 3
     d(4)d(5)d(6)  = 635 es divisible por 5
     d(5)d(6)d(7)  = 357 es divisible por 7
     d(6)d(7)d(8)  = 572 es divisible por 11
     d(7)d(8)d(9)  = 728 es divisible por 13
     d(8)d(9)d(10) = 289 es divisible por 17

d(2)d(3)d(4) = 106 es divisible por 2

d(3)d(4)d(5) = 063 es divisible por 3

d(4)d(5)d(6) = 635 es divisible por 5

d(5)d(6)d(7) = 357 es divisible por 7

d(6)d(7)d(8) = 572 es divisible por 11

d(7)d(8)d(9) = 728 es divisible por 13

d(8)d(9)d(10) = 289 es divisible por 17

Definir la constante

   pandigitalesTridivisibles :: [Integer]

1	pandigitalesTridivisibles :: [Integer]

cuyos elementos son los números pandigitales tridivisibles. Por ejemplo,

   head pandigitalesTridivisibles  ==  4106357289
   sum pandigitalesTridivisibles   ==  16695334890

1 2	head pandigitalesTridivisibles == 4106357289 sum pandigitalesTridivisibles == 16695334890

Soluciones

import Data.List ((\\))

pandigitalesTridivisibles :: [Integer]
pandigitalesTridivisibles = 
    [entero [d1,d2,d3,d4,d5,d6,d7,d8,d9,d10] 
     | d2 <- [0..9]
     , d3 <- [0..9] \\ [d2]
     , d4 <- [0..9] \\ [d2,d3]
     , divisible [d2,d3,d4] 2
     , d5 <- [0..9] \\ [d2,d3,d4]  
     , divisible [d3,d4,d5] 3
     , d6 <- [0..9] \\ [d2,d3,d4,d5]  
     , divisible [d4,d5,d6] 5
     , d7 <- [0..9] \\ [d2,d3,d4,d5,d6]  
     , d8 <- [0..9] \\ [d2,d3,d4,d5,d6,d7]  
     , divisible [d6,d7,d8] 11
     , divisible [d5,d6,d7] 7
     , d9 <- [0..9] \\ [d2,d3,d4,d5,d6,d7,d8]  
     , divisible [d7,d8,d9] 13
     , d10 <- [0..9] \\ [d2,d3,d4,d5,d6,d7,d8,d9]  
     , divisible [d8,d9,d10] 17
     , d1 <- [1..9] \\ [d2,d3,d4,d5,d6,d7,d8,d9,d10]  
    ]

-- (entero ns) es el número cuyos dígitos son ns. Por ejemplo,
--    entero [3,2,5]  ==  325
entero :: [Integer] -> Integer
entero = read . concatMap show

divisible :: [Integer] -> Integer -> Bool
divisible xs n =
    entero xs `mod` n == 0

import Data.List ((\\))

pandigitalesTridivisibles :: [Integer]

pandigitalesTridivisibles =

[entero [d1,d2,d3,d4,d5,d6,d7,d8,d9,d10]

| d2 <- [0..9]

, d3 <- [0..9] \\ [d2]

, d4 <- [0..9] \\ [d2,d3]

, divisible [d2,d3,d4] 2

, d5 <- [0..9] \\ [d2,d3,d4]

, divisible [d3,d4,d5] 3

, d6 <- [0..9] \\ [d2,d3,d4,d5]

, divisible [d4,d5,d6] 5

, d7 <- [0..9] \\ [d2,d3,d4,d5,d6]

, d8 <- [0..9] \\ [d2,d3,d4,d5,d6,d7]

, divisible [d6,d7,d8] 11

, divisible [d5,d6,d7] 7

, d9 <- [0..9] \\ [d2,d3,d4,d5,d6,d7,d8]

, divisible [d7,d8,d9] 13

, d10 <- [0..9] \\ [d2,d3,d4,d5,d6,d7,d8,d9]

, divisible [d8,d9,d10] 17

, d1 <- [1..9] \\ [d2,d3,d4,d5,d6,d7,d8,d9,d10]

]

-- (entero ns) es el número cuyos dígitos son ns. Por ejemplo,

-- entero [3,2,5] == 325

entero :: [Integer] -> Integer

entero = read . concatMap show

divisible :: [Integer] -> Integer -> Bool

divisible xs n =

entero xs `mod` n == 0

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