Exercitium

Números muy divisibles por 3

PorJosé A. Alonso 4-noviembre-201511-noviembre-2015

Se dice que un número n es muy divisible por 3 si es divisible por 3 y sigue siendo divisible por 3 si vamos quitando dígitos por la derecha. Por ejemplo, 96060 es muy divisible por 3 porque 96060, 9606, 960, 96 y 9 son todos divisibles por 3.

Definir las funciones

   muyDivPor3             :: Integer -> Bool
   numeroMuyDivPor3Cifras :: Integer -> Integer

1 2	muyDivPor3 :: Integer -> Bool numeroMuyDivPor3Cifras :: Integer -> Integer

tales que

(muyDivPor3 n) se verifica si n es muy divisible por 3. Por ejemplo,

     muyDivPor3 96060 == True
     muyDivPor3 90616 == False

1 2	muyDivPor3 96060 == True muyDivPor3 90616 == False

(numeroMuyDivPor3CifrasC k) es la cantidad de números de k cifras muy divisibles por 3. Por ejemplo,

     numeroMuyDivPor3Cifras 5                    == 768
     numeroMuyDivPor3Cifras 7                    == 12288
     numeroMuyDivPor3Cifras (10^6) `rem` (10^6)  == 332032

numeroMuyDivPor3Cifras 5 == 768

numeroMuyDivPor3Cifras 7 == 12288

numeroMuyDivPor3Cifras (10^6) `rem` (10^6) == 332032

Soluciones

import Data.List (genericLength)

muyDivPor3 :: Integer -> Bool
muyDivPor3 n 
    | n < 10    = n `rem` 3 == 0
    | otherwise = n `rem` 3 == 0 && muyDivPor3 (n `div` 10)

-- 1ª definición
-- =============

numeroMuyDivPor3Cifras :: Integer -> Integer
numeroMuyDivPor3Cifras k = 
    genericLength [x | x <- [10^(k-1)..10^k-1], muyDivPor3 x]

-- 2ª definición
-- =============

numeroMuyDivPor3Cifras2 :: Integer -> Integer
numeroMuyDivPor3Cifras2 k = 
    genericLength [x | x <- [n,n+3..10^k-1], muyDivPor3 x]
    where n = k*10^(k-1)

-- 3ª definición
-- =============

numeroMuyDivPor3Cifras3 :: Integer -> Integer
numeroMuyDivPor3Cifras3 k = genericLength (numeroMuyDivPor3Cifras3a k)

numeroMuyDivPor3Cifras3a :: Integer -> [Integer]
numeroMuyDivPor3Cifras3a 1 = [3,6,9] 
numeroMuyDivPor3Cifras3a k = 
    [10*x+y | x <- numeroMuyDivPor3Cifras3a (k-1),
              y <- [0,3..9]]

-- 4ª definición
-- =============

numeroMuyDivPor3Cifras4 :: Integer -> Integer
numeroMuyDivPor3Cifras4 1 = 3
numeroMuyDivPor3Cifras4 k = 4 * numeroMuyDivPor3Cifras4 (k-1)

-- 5ª definición
-- =============

numeroMuyDivPor3Cifras5 :: Integer -> Integer
numeroMuyDivPor3Cifras5 k = 3 * 4^(k-1)

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

--    λ> numeroMuyDivPor3Cifras 6
--    3072
--    (3.47 secs, 534,789,608 bytes)
--    λ> numeroMuyDivPor3Cifras2 6
--    2048
--    (0.88 secs, 107,883,432 bytes)
--    λ> numeroMuyDivPor3Cifras3 6
--    3072
--    (0.01 secs, 0 bytes)
--    
--    λ> numeroMuyDivPor3Cifras2 7
--    0
--    (2.57 secs, 375,999,336 bytes)
--    λ> numeroMuyDivPor3Cifras3 7
--    12288
--    (0.02 secs, 0 bytes)
--    λ> numeroMuyDivPor3Cifras4 7
--    12288
--    (0.00 secs, 0 bytes)
--    λ> numeroMuyDivPor3Cifras5 7
--    12288
--    (0.01 secs, 0 bytes)
--
--    λ> numeroMuyDivPor3Cifras4 (10^5) `rem` 100000
--    32032
--    (5.74 secs, 1,408,600,592 bytes)
--    λ> numeroMuyDivPor3Cifras5 (10^5) `rem` 100000
--    32032
--    (0.02 secs, 0 bytes)

import Data.List (genericLength)

muyDivPor3 :: Integer -> Bool

muyDivPor3 n

| n < 10 = n `rem` 3 == 0

| otherwise = n `rem` 3 == 0 && muyDivPor3 (n `div` 10)

-- 1ª definición

-- =============

numeroMuyDivPor3Cifras :: Integer -> Integer

numeroMuyDivPor3Cifras k =

genericLength [x | x <- [10^(k-1)..10^k-1], muyDivPor3 x]

-- 2ª definición

-- =============

numeroMuyDivPor3Cifras2 :: Integer -> Integer

numeroMuyDivPor3Cifras2 k =

genericLength [x | x <- [n,n+3..10^k-1], muyDivPor3 x]

where n = k*10^(k-1)

-- 3ª definición

-- =============

numeroMuyDivPor3Cifras3 :: Integer -> Integer

numeroMuyDivPor3Cifras3 k = genericLength (numeroMuyDivPor3Cifras3a k)

numeroMuyDivPor3Cifras3a :: Integer -> [Integer]

numeroMuyDivPor3Cifras3a 1 = [3,6,9]

numeroMuyDivPor3Cifras3a k =

[10*x+y | x <- numeroMuyDivPor3Cifras3a (k-1),

y <- [0,3..9]]

-- 4ª definición

-- =============

numeroMuyDivPor3Cifras4 :: Integer -> Integer

numeroMuyDivPor3Cifras4 1 = 3

numeroMuyDivPor3Cifras4 k = 4 * numeroMuyDivPor3Cifras4 (k-1)

-- 5ª definición

-- =============

numeroMuyDivPor3Cifras5 :: Integer -> Integer

numeroMuyDivPor3Cifras5 k = 3 * 4^(k-1)

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- λ> numeroMuyDivPor3Cifras 6

-- 3072

-- (3.47 secs, 534,789,608 bytes)

-- λ> numeroMuyDivPor3Cifras2 6

-- 2048

-- (0.88 secs, 107,883,432 bytes)

-- λ> numeroMuyDivPor3Cifras3 6

-- 3072

-- (0.01 secs, 0 bytes)

-- λ> numeroMuyDivPor3Cifras2 7

-- 0

-- (2.57 secs, 375,999,336 bytes)

-- λ> numeroMuyDivPor3Cifras3 7

-- 12288

-- (0.02 secs, 0 bytes)

-- λ> numeroMuyDivPor3Cifras4 7

-- 12288

-- (0.00 secs, 0 bytes)

-- λ> numeroMuyDivPor3Cifras5 7

-- 12288

-- (0.01 secs, 0 bytes)

-- λ> numeroMuyDivPor3Cifras4 (10^5) `rem` 100000

-- 32032

-- (5.74 secs, 1,408,600,592 bytes)

-- λ> numeroMuyDivPor3Cifras5 (10^5) `rem` 100000

-- 32032

-- (0.02 secs, 0 bytes)

Números libres de cuadrados

PorJosé A. Alonso 3-noviembre-201525-abril-2021

Un número es libre de cuadrados si no es divisible el cuadrado de ningún entero mayor que 1. Por ejemplo, 70 es libre de cuadrado porque sólo es divisible por 1, 2, 5, 7 y 70; en cambio, 40 no es libre de cuadrados porque es divisible por 2².

Definir la función

   libreDeCuadrados :: Integer -> Bool

1	libreDeCuadrados :: Integer -> Bool

tal que (libreDeCuadrados x) se verifica si x es libre de cuadrados. Por ejemplo,

   libreDeCuadrados 70                 ==  True
   libreDeCuadrados 40                 ==  False
   libreDeCuadrados 510510             ==  True
   libreDeCuadrados (((10^10)^10)^10)  ==  False

libreDeCuadrados 70 == True

libreDeCuadrados 40 == False

libreDeCuadrados 510510 == True

libreDeCuadrados (((10^10)^10)^10) == False

Soluciones

-- 1ª definición:
libreDeCuadrados :: Integer -> Bool
libreDeCuadrados x = x == product (divisoresPrimos x)

-- (divisoresPrimos x) es la lista de los divisores primos de x. Por
-- ejemplo,  
--    divisoresPrimos 40  ==  [2,5]
--    divisoresPrimos 70  ==  [2,5,7]
divisoresPrimos :: Integer -> [Integer]
divisoresPrimos x = [n | n <- divisores x, primo n]

-- (divisores n) es la lista de los divisores del número n. Por ejemplo,
--    divisores 30  ==  [1,2,3,5,6,10,15,30]  
divisores :: Integer -> [Integer]
divisores n = [x | x <- [1..n], n `mod` x == 0]

-- (primo n) se verifica si n es primo. Por ejemplo,
--    primo 30  == False
--    primo 31  == True  
primo :: Integer -> Bool
primo n = divisores n == [1, n]

-- 2ª definición
libreDeCuadrados2 :: Integer -> Bool
libreDeCuadrados2 n = 
    null [x | x <- [2..n], rem n (x^2) == 0]

-- 3ª definición
libreDeCuadrados3 :: Integer -> Bool
libreDeCuadrados3 n = 
    null [x | x <- [2..floor (sqrt (fromIntegral n))], 
              rem n (x^2) == 0]

-- Comparación de eficiencia
-- =========================

--    λ> libreDeCuadrados 510510
--    True
--    (0.76 secs, 89,522,360 bytes)
--    λ> libreDeCuadrados2 510510
--    True
--    (1.78 secs, 371,826,320 bytes)
--    λ> libreDeCuadrados3 510510
--    True
--    (0.01 secs, 0 bytes)

-- 1ª definición:

libreDeCuadrados :: Integer -> Bool

libreDeCuadrados x = x == product (divisoresPrimos x)

-- (divisoresPrimos x) es la lista de los divisores primos de x. Por

-- ejemplo,

-- divisoresPrimos 40 == [2,5]

-- divisoresPrimos 70 == [2,5,7]

divisoresPrimos :: Integer -> [Integer]

divisoresPrimos x = [n | n <- divisores x, primo n]

-- (divisores n) es la lista de los divisores del número n. Por ejemplo,

-- divisores 30 == [1,2,3,5,6,10,15,30]

divisores :: Integer -> [Integer]

divisores n = [x | x <- [1..n], n `mod` x == 0]

-- (primo n) se verifica si n es primo. Por ejemplo,

-- primo 30 == False

-- primo 31 == True

primo :: Integer -> Bool

primo n = divisores n == [1, n]

-- 2ª definición

libreDeCuadrados2 :: Integer -> Bool

libreDeCuadrados2 n =

null [x | x <- [2..n], rem n (x^2) == 0]

-- 3ª definición

libreDeCuadrados3 :: Integer -> Bool

libreDeCuadrados3 n =

null [x | x <- [2..floor (sqrt (fromIntegral n))],

rem n (x^2) == 0]

-- Comparación de eficiencia

-- =========================

-- λ> libreDeCuadrados 510510

-- True

-- (0.76 secs, 89,522,360 bytes)

-- λ> libreDeCuadrados2 510510

-- True

-- (1.78 secs, 371,826,320 bytes)

-- λ> libreDeCuadrados3 510510

-- True

-- (0.01 secs, 0 bytes)

Factoriales iguales a su número de dígitos

PorJosé A. Alonso 30-octubre-201520-noviembre-2015

Se dice que un número n tiene un factorial especial si el número de dígitos de n! es igual a n. Por ejemplo, 22 tiene factorial especial porque 22! es 1124000727777607680000 que tiene 22 dígitos.

Definir la función

   factorialesEspeciales :: [Integer]

1	factorialesEspeciales :: [Integer]

tal que su valor es la lista de los números que tienen factoriales especiales. Por ejemplo,

   take 2 factorialesEspeciales  ==  [1,22]

1	take 2 factorialesEspeciales == [1,22]

Nota: Si factorialesEspeciales es una lista finita, argumentar porqué no puede tener más elementos.

Soluciones

import Data.List (genericLength)

factorialesEspeciales :: [Integer]
factorialesEspeciales =
    [n | n <- [1..], tieneFactorialEspecial n]

tieneFactorialEspecial :: Integer -> Bool
tieneFactorialEspecial n = n == genericLength (show (factorial n))

factorial :: Integer -> Integer
factorial n = product [1..n]

-- El cálculo es
--    ghci> factorialesEspeciales
--    [1,22,23,24  C-c C-cInterrupted.

-- Para comprobar que no hay más definimos

crecimiento :: [(Integer,Integer)]
crecimiento = [(n,n - genericLength (show (factorial n))) | n <- [1..]]

-- Al evaluarla

--    ghci> take 30 crecimiento 
--    [(1,0),(2,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,3),(7,3),(8,3),(9,3),(10,3),(11,3),
--     (12,3),(13,3),(14,3),(15,2),(16,2),(17,2),(18,2),(19,1),(20,1),(21,1),
--     (22,0),(23,0),(24,0),(25,-1),(26,-1),(27,-2),(28,-2),(29,-2),(30,-3)]

-- se observa que, a partir de n = 25, el número de cifras del factorial
-- de n es mayor que n.

import Data.List (genericLength)

factorialesEspeciales :: [Integer]

factorialesEspeciales =

[n | n <- [1..], tieneFactorialEspecial n]

tieneFactorialEspecial :: Integer -> Bool

tieneFactorialEspecial n = n == genericLength (show (factorial n))

factorial :: Integer -> Integer

factorial n = product [1..n]

-- El cálculo es

-- ghci> factorialesEspeciales

-- [1,22,23,24 C-c C-cInterrupted.

-- Para comprobar que no hay más definimos

crecimiento :: [(Integer,Integer)]

crecimiento = [(n,n - genericLength (show (factorial n))) | n <- [1..]]

-- Al evaluarla

-- ghci> take 30 crecimiento

-- [(1,0),(2,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,3),(7,3),(8,3),(9,3),(10,3),(11,3),

-- (12,3),(13,3),(14,3),(15,2),(16,2),(17,2),(18,2),(19,1),(20,1),(21,1),

-- (22,0),(23,0),(24,0),(25,-1),(26,-1),(27,-2),(28,-2),(29,-2),(30,-3)]

-- se observa que, a partir de n = 25, el número de cifras del factorial

-- de n es mayor que n.

Próximos a múltiplos de 6

PorJosé A. Alonso 29-octubre-20155-noviembre-2015

Se dice que un par de números (x,y) está próximo a un múltiplo de 6 si es de la forma (6*n-1,6*n+1). Por ejemplo, (17,19) está cerca de un múltiplo de 6 porque (17,19) = (6*3-1,6*3+1).

Definir la función

   proximosAmultiplosDe6 :: (Integer,Integer) -> Bool

1	proximosAmultiplosDe6 :: (Integer,Integer) -> Bool

tal que (proximosAmultiplosDe6 (x,y)) se verifica si el par (x,y) está próximo a un múltiplo de 6. Por ejemplo,

   proximosAmultiplosDe6 (17,19)                          ==  True
   proximosAmultiplosDe6 (18,20)                          ==  False
   proximosAmultiplosDe6 (5,19)                           ==  False
   proximosAmultiplosDe6 (1,3)                            ==  False
   proximosAmultiplosDe6 (74074073407403,74074073407405)  ==  True
   proximosAmultiplosDe6 (86419752308637,86419752308639)  ==  False

proximosAmultiplosDe6 (17,19) == True

proximosAmultiplosDe6 (18,20) == False

proximosAmultiplosDe6 (5,19) == False

proximosAmultiplosDe6 (1,3) == False

proximosAmultiplosDe6 (74074073407403,74074073407405) == True

proximosAmultiplosDe6 (86419752308637,86419752308639) == False

Soluciones

-- 1ª solución
proximosAmultiplosDe6 :: (Integer,Integer) -> Bool
proximosAmultiplosDe6 (x,y) =
    (x+1) `mod` 6 == 0 && y == 6*n+1
    where n = (x+1) `div` 6

-- 2ª solución
proximosAmultiplosDe6' :: (Integer,Integer) -> Bool
proximosAmultiplosDe6' (a,b) = 
    a+1 == b-1 && mod (a+b) 6 == 0

-- 1ª solución

proximosAmultiplosDe6 :: (Integer,Integer) -> Bool

proximosAmultiplosDe6 (x,y) =

(x+1) `mod` 6 == 0 && y == 6*n+1

where n = (x+1) `div` 6

-- 2ª solución

proximosAmultiplosDe6' :: (Integer,Integer) -> Bool

proximosAmultiplosDe6' (a,b) =

a+1 == b-1 && mod (a+b) 6 == 0

Lista con repeticiones

PorJosé A. Alonso 27-octubre-20153-noviembre-2015

Definir la función

   tieneRepeticiones :: Eq a => [a] -> Bool

1	tieneRepeticiones :: Eq a => [a] -> Bool

tal que (tieneRepeticiones xs) se verifica si xs tiene algún elemento repetido. Por ejemplo,

   tieneRepeticiones [3,2,5,2,7]          ==  True
   tieneRepeticiones [3,2,5,4,7]          ==  False
   tieneRepeticiones (5:[1..2000000000])  ==  True
   tieneRepeticiones [1..20000]           ==  False

tieneRepeticiones [3,2,5,2,7] == True

tieneRepeticiones [3,2,5,4,7] == False

tieneRepeticiones (5:[1..2000000000]) == True

tieneRepeticiones [1..20000] == False

Soluciones

tieneRepeticiones :: Eq a => [a] -> Bool
tieneRepeticiones []     = False
tieneRepeticiones (x:xs) = x `elem` xs || tieneRepeticiones xs

tieneRepeticiones :: Eq a => [a] -> Bool

tieneRepeticiones [] = False

tieneRepeticiones (x:xs) = x `elem` xs || tieneRepeticiones xs

Números muy divisibles por 3

Soluciones

Números libres de cuadrados

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Factoriales iguales a su número de dígitos

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