Acotación del primorial

El primorial de un número natural n es el producto de todos los números primos menores o iguales a n. Por ejemplo, el primorial de 5 es 30 porque el producto de los primos menores o iguales que 5 es

La propiedad de Erdös de acotación de los primoriales afirma que

Para todo número natural n, su primorial es menor o igual que 4ⁿ.

Definir las funciones

tales que

  • (primorial n) es el primorial de n. Por ejemplo,

  • primoriales es la sucesión de los primoriales. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck la propiedad de Erdös de acotación de los primoriales.

Soluciones

Otras soluciones

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  • El código se debe escribir entre una línea con <pre lang=»haskell»> y otra con </pre>

Pensamiento

«Las matemáticas son la reina de las ciencias y la teoría de los números es la reina de las matemáticas.»

Carl Friedrich Gauss.

Longitud de la parte periódica

La propiedad de la longitud de la parte periódica afirma que

Si p es un número primo distinto de 2 y de 5, entonces la longitud del período de 1/p es el menor entero positivo n tal que p divide a 10^n - 1.

El objetivo de este ejercicio es la verificación de dicha propiedad.

Las fracciones se representan por un par de enteros. Por ejemplo, el número 2/3 se representa por (2,3). Su tipo es

Los números decimales se representan por ternas, donde el primer elemento es la parte entera, el segundo es el anteperíodo y el tercero es el período. Por ejemplo,

Su tipo es

Definir, usando las funciones cocientesRestos y primerRepetido de los ejercicios anteriores, las funciones

tales que

  • (decimal f) es la representación decimal de la fracción f. Por ejemplo,

  • (longitudPeriodo f) es la longitud de la parte periódica de la representación decimal de la fracción f. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck la propiedad de la longitud de la parte periódica; es decir, k es un número natural distinto de 0 y 2 y p es el primo k-ésimo, entonces la longitud del período de 1/p es el menor entero positivo n tal que p divide a 10^n - 1..

Soluciones

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Pensamiento

«En el desarrollo de la comprensión de los fenómenos complejos, la herramienta más poderosa de que dispone el intelecto humano es la abstracción. La abstracción surge del reconocimiento de las similitudes entre ciertos objetos, situaciones o procesos en el mundo real y de la decisión de concentrarse en estas similitudes e ignorar, por el momento, sus diferencias.»

Tony Hoare

Cocientes y restos de la transformación decimal

La transformación de una fracción en un número decimal se realiza mediante una sucesión de divisiones. Por ejemplo, para transformar a decimal la fracción

La transformación anterior se puede representar mediante la siguiente lista de cocientes y restos

Definir la función

tal que (cocientesRestos (n,d)) es la lista de los cocientes y restos de la transformación decimal de la fracción n/d como se ha indicado anteriormente. Por ejemplo,

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Pensamiento

«Hay dos maneras de diseñar un software. Una forma es hacerlo tan simple que obviamente no haya deficiencias. Y la otra forma es hacerlo tan complicado que no haya deficiencias obvias.»

Tony Hoare.

Primer elemento repetido

Definir la función

tal que (primerRepetido xs) es justo el primer elemento repetido de la lista xs o Nothing si no tiene elementos repetidos. Por ejemplo,

Soluciones

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Pensamiento

«¿Cuál es el núcleo central de la ciencia de la computación? ¿Qué es lo que lo diferencia de los otros temas con los que se relaciona? ¿Qué es lo que el hilo de unión que reúne estas ramas dispares en una sola disciplina? Mi respuesta a estas preguntas es simple: es el arte de programar un ordenador. Es el arte de diseñar métodos eficientes y elegantes para conseguir que un ordenador resuelva problemas, teóricos o prácticos, pequeños o grandes, simples o complejos. Es el arte de traducir estos diseños programas correctos y eficientes.»

Tony Hoare.

La conjetura de Mertens

Un número entero n es libre de cuadrados si no existe un número primo p tal que p² divide a n; es decir, los factores primos de n son todos distintos.

La función de Möbius μ(n) está definida para todos los enteros positivos como sigue:

  • μ(n) = 1 si n es libre de cuadrados y tiene un número par de factores primos.
  • μ(n) = -1 si n es libre de cuadrados y tiene un número impar de factores primos.
  • μ(n) = 0 si n no es libre de cuadrados.

Sus primeros valores son 1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, 0, 1, …

La función de Mertens M(n) está definida para todos los enteros positivos como la suma de μ(k) para 1 ≤ k ≤ n. Sus primeros valores son 1, 0, -1, -1, -2, -1, -2, -2, …

La conjetura de Mertens afirma que

Para todo entero x mayor que 1, el valor absoluto de la función de Mertens en x es menor que la raíz cuadrada de x.

La conjetura fue planteada por Franz Mertens en 1897. Riele Odlyzko, demostraronen 1985 que la conjetura de Mertens deja de ser cierta más o menos a partir de 10^{10^{64}}, cifra que luego de algunos refinamientos se redujo a 10^{10^{40}}.

Definir las funciones

tales que

  • (mobius n) es el valor de la función de Möbius en n. Por ejemplo,

  • (mertens n) es el valor de la función de Mertens en n. Por ejemplo,

  • (graficaMertens n) dibuja la gráfica de la función de Mertens, la raíz cuadrada y el opuestos de la raíz cuadrada para los n primeros n enteros positivos. Por ejemplo, (graficaMertens 1000) dibuja

Comprobar con QuickCheck la conjetura de Mertens.

Nota: El ejercicio está basado en La conjetura de Merterns y su relación con un número tan raro como extremada y colosalmente grande publicado por @Alvy la semana pasada en Microsiervos.

Soluciones

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Pensamiento

«El control de la complejidad es la esencia de la programación informática.»

Brian Kernighan.