Interpretaciones de FNC (fórmulas en forma normal conjuntiva)

Nota: En este ejercicio usaremos las mismas notaciones que en el anterior importando los módulos Evaluacion_de_FNC y Atomos_de_FNC.

Definir las siguientes funciones

tales que

  • (interpretacionesClausula c) es el conjunto de interpretaciones de la cláusula c. Por ejemplo,

  • (interpretaciones f) es el conjunto de interpretaciones de la fórmula f. Por ejemplo,

Nota: Escribir la solución en el módulo Interpretaciones_de_FNC para poderlo usar en los siguientes ejercicios.

Soluciones

Otras soluciones

  • Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
  • El código se debe escribir entre una línea con <pre lang=»haskell»> y otra con </pre>

Pensamiento

«En matemáticas, el arte de hacer preguntas es más valioso que la resolución de problemas.»

Georg Cantor.

Átomos de FNC (fórmulas en forma normal conjuntiva)

Nota: En este ejercicio usaremos las mismas notaciones que en el anterior importando el módulo Evaluacion_de_FNC.

Definir las siguientes funciones

tales que

  • (atomosClausula c) es el conjunto de los átomos de la cláusula c. Por ejemplo,

  • (atomosFNC f) es el conjunto de los átomos de la FNC f. Por ejemplo,

Nota: Escribir la solución en el módulo Atomos_de_FNC para poderlo usar en los siguientes ejercicios.

Soluciones

Otras soluciones

  • Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
  • El código se debe escribir entre una línea con <pre lang=»haskell»> y otra con </pre>

Pensamiento

«La esencia de las matemáticas es su libertad.»

Georg Cantor.

Evaluación de FNC (fórmulas en forma normal conjuntiva)

Una FNC (fórmula en forma normal conjuntiva) es una conjunción de cláusulas, donde una cláusula es una disyunción de literales y un literal es un átomo o su negación. Por ejemplo,

es una FNC con tres clásulas tales que la primera cláusula tiene 2 literales (x(1) y -x(3)), la segunda tiene 1 (x(2)) y la tercera tiene 3 (-x(2), x(3) y x(1)).

Usaremos las siguientes representaciones:

  • Los átomos se representan por enteros positivos. Por ejemplo, 3 representa x(3).
  • Los literales se representan por enteros. Por ejemplo, 3 representa el literal positivo x(3) y -5 el literal negativo -x(5).
  • Una cláusula es una lista de literales que representa la disyunción se sus literales. Por ejemplo, [3,2,-4] representa a (x(3) v x(2) v -x(4)).
  • Una fórmula en forma normal conjuntiva (FNC) es una lista de cláusulas que representa la conjunción de sus cláusulas. Por ejemplo, [[3,2],[-1,2,5]] representa a ((x(3) v x(2)) & (-x(1) v x(2) v x(5))).

Una interpretación I es un conjunto de átomos. Se supone que los átomos de I son verdaderos y los restantes son falsos. Por ejemplo, en la interpretación [2,5]

  • el literal x(2) es verdadero (porque 2 ∈ [2,5])
  • el literal x(3) es falso (porque 3 ∉ [2,5])
  • el literal -x(4) es verdadero (porque 4 ∉ [2,5])
  • la cláusula (x(2) v x(3)) es verdadera (porque x(2) es verdadero)
  • la cláusula (x(3) v x(4)) es falsa (porque x(3) y x(4) son falsos)
  • la FNC ((x(2) v x(5)) & (-x(4) v x(3)) es verdadera porque lo son sus dos cláusulas

En el ejercicio se usarán los siguientes tipos de datos

Definir las siguientes funciones

tales que

  • (valorLiteral i l) es el valor del literal l en la interpretación i. Por ejemplo,

  • (valorClausula i c) es el valor de la cláusula c en la interpretación i. Por ejemplo,

  • (valor i f) es el valor de la fórmula en FNC f en la interpretación i. Por ejemplo,

Nota: Escribir la solución en el módulo Evaluacion_de_FNC para poderlo usar en los siguientes ejercicios.

Soluciones

Otras soluciones

  • Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
  • El código se debe escribir entre una línea con <pre lang=»haskell»> y otra con </pre>

Pensamiento

«Todo buen matemático es al menos medio filósofo, y todo buen filósofo es al menos medio matemático.»

Gottlob Frege.

Conjetura de Lemoine

La conjetura de Lemoine afirma que

Todos los números impares mayores que 5 se pueden escribir de la forma p + 2q donde p y q son números primos. Por ejemplo, 47 = 13 + 2 x 17

Definir las funciones

tales que

  • (descomposicionesLemoine n) es la lista de pares de primos (p,q) tales que n = p + 2q. Por ejemplo,

  • (graficaLemoine n) dibuja la gráfica de los números de descomposiciones de Lemoine para los números impares menores o iguales que n. Por ejemplo, (graficaLemoine n 400) dibuja

Comprobar con QuickCheck la conjetura de Lemoine.

Nota: Basado en Lemoine’s conjecture

Soluciones

Otras soluciones

  • Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
  • El código se debe escribir entre una línea con <pre lang=»haskell»> y otra con </pre>

Pensamiento

«Todo el mundo sabe lo que es una curva, hasta que ha estudiado suficientes matemáticas para confundirse a través del incontable número de posibles excepciones.»

Felix Klein.

Conjetura de Collatz generalizada

Sea p un número primo. Toma un número natural positivo, si es divisible entre un número primo menor que p divídelo entre el menor de dicho divisores, y en otro caso multiplícalo por p y súmale uno; si el resultado no es igual a uno, repite el proceso. Por ejemplo, para p = 7 y empezando en 42 el proceso es

La conjetura de Collatz generalizada afirma que este proceso siempre acaba en un número finito de pasos.

Definir la función

tal que (collatzGeneral p x) es la sucesión de los elementos obtenidos en el proceso anterior para el primo p enpezando en x. Por ejemplo,

Comprobar con QuickCheck que se verifica la conjetura de Collatz generalizada; es decir, para todos enteros positivos n, x si p es el primo n-ésimo entonces 1 pertenece a (collatzGeneral p x).

Nota: El ejercicio etá basado en el artículo Los primos de la conjetura de Collatz publicado la semana pasada por Francisco R. Villatoro en su blog La Ciencia de la Mula Francis.

Soluciones

Otras soluciones

  • Se pueden escribir otras soluciones en los comentarios.
  • El código se debe escribir entre una línea con <pre lang=»haskell»> y otra con </pre>

Pensamiento

«Las matemáticas son la ciencia que utiliza palabras fáciles para ideas difíciles.»

Edward Kasner y James R. Newman